专题14相似三角形问题攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品原卷名师制作优质教学资料

1、专题 14相似三角形问题【考点综述评价】因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中一是以几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题问题设置常常具有开放性相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏”【考点分类总结】考点 1：利用三角形相似与图象的判断【典型例题】 （

2、 2017 湖北省黄石市）如图，直线l ： y=kx+b（ k 0）与函数 y4A、（ x 0）的图象相交于xC 两点，与 x 轴相交于 T 点，过 A、 C 两点作 x 轴的垂线，垂足分别为B、D，过 A、C 两点作 y 轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、 C 两点的坐标分别为（a，4 ）、（ c， 4），ac其中 a c 0（ 1）如图，求证：EDP = ACP ；（ 2）如图，若A、 D、 E、 C 四点在同一圆上，求k 的值；（ 3）如图，已知c=1，且点 P 在直线 BF 上，试问：在线段AT 上是否存在点M，使得OM AM？请求出点 M 的坐标；

3、若不存在，请说明理由【方法归纳】利用相似三角形，得出比例式，代入得出函数关系式，结合图象进行判断【变式训练】（ 2017湖北省恩施州）如图， AOB=90°，反比例函数y = -2 （ x0）的图象过点A（ 1， a），反比例x函数 ykB，且 AB x 轴（ k 0， x 0）的图象过点x（ 1）求 a 和 k 的值；（ 2）过点 B 作 MN OA，交 x 轴于点 M ，交 y 轴于点 N，交双曲线 yk于另一点，求 OBC 的面积x考点 2：相似三角形中的开放性问题【典型例题】 （ 2017 辽宁省鞍山市）如图，MBN =90°，点C 是 MBN平分线上的一点，过点C

4、 分别作AC BC， CE BN，垂足分别为点C，E，AC= 42 ，点P 为线段BE 上的一点（点P 不与点B、 E 重合），连接CP，以CP为直角边，点P 为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D 落在BC左侧（ 1）求证：CPCE ；CDCB（ 2）连接 BD，请你判断 AC 与（ 3）设 PE=x， PBD 的面积为BD 的位置关系，并说明理由；S，求 S 与 x 之间的函数关系式【方法归纳】两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角需要分类讨论【变式训练】（ 2017 怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y = ax2 +bx - 5 与 x 轴交于 A（ 1，0），B（ 5，

5、0）两点，与y 轴交于点C（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以B， C， D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标；（ 3）如图 2， CE x 轴与抛物线相交于点E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与 y 轴平行的直线与BC， CE 分别交于点F， G，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（ 4）若点 K 为抛物线的顶点，点M（ 4， m）是该抛物线上的一点，在x 轴， y 轴上分别找点P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点P，Q 的坐标考点 3：相似三角形的存在性问题【典型

6、例题】 （ 2017 山东省莱芜市）抛物线yax2bxc 过 A（ 2，3）， B（4， 3），C（ 6， 5）三点（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）如图，抛物线上一点D 在线段 AC 的上方， DE AB 交 AC 于点 E，若满足 DE5，求点 D的AE2坐标；（ 3）如图， F 为抛物线顶点，过A 作直线 l AB，若点P 在直线 l 上运动，点Q 在 x 轴上运动，是否存在这样的点P、 Q，使得以B、 P、 Q 为顶点的三角形与ABF 相似，若存在，求P、Q 的坐标，并求此时 BPQ 的面积；若不存在，请说明理由【方法归纳】一是求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特

7、点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解【变式训练】（ 2017 济宁）定义：点 P 是 ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在 PAB， PBC， PCA 中，若至少有一个三角形与 ABC 相似，则称点 P 是 ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在 ABC 的内部， PBC=A， PCB= ABC，则 BCP ABC，

8、故点 P 是 ABC 的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点33N 是 x 轴正半轴上的任意一点M 是曲线 y（ x 0）上的任意一点，点x（ 1）如图 2，点 P 是 OM 上一点， ONP= M，试说明点 P 是 MON 的自相似点； 当点 M 的坐标是 （3 ，3），点 N 的坐标是（3 ， 0）时，求点 P 的坐标；（ 2）如图 3，当点 M 的坐标是（ 3， 3 ），点 N 的坐标是（ 2， 0）时，求 MON 的自相似点的坐标；（ 3）是否存在点 M 和点 N，使 MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【新题好题训练】k1（ 2017江苏省泰州市）如图，P 为反比例函数y（ k 0）在第一象限内图象上的一点，过点P 分别x作 x 轴， y 轴的垂线交一次函数y= x 4 的图象于点A、B若 AOB