线性规划与基本不等式

1、学习必备欢迎下载1在已知五个点A(1,1)，B(1,1)，C( 1， 1)，D (1， 1)，O(0,0) 中，位于直线x 2y 1 0 上方 ( 不含边界 )的点的个数是 _2若正数 a， b 满足 ab ab 3，则 ab 的取值范围是 _3已知 x，y R，且满足 x y 1，则 xy 的最大值为 _344已知 x3y 2 0，则 3x 27y 1 的最小值为 _5，则 f(x)x24x 55已知 x的最小值为 _22x 46 y x 1(x 0)的值域为 _7函数 3x2 26 的最小值是 _xx 18已知 x>1， y>1，且 lg xlg y4，那么 lgx·

2、lgy 的最大值是 _x9若对任意x 0， x2 3x1 a 恒成立，则a 的取值范围是_10设 a>0，b>0，且 ab a b 1 0，则 a b 的取值范围为 _11. 已知两个正变量 x, y 满足 x y 4 ，则使不等式 14m 恒成立的实数 m 的取值范围是.xy12设 a0， b 0，若3是 3a 和 3b 的等比中项，则 1 1的最小值为 _ab13已知 23 2(x 0，y 0)，则 x·y 的最小值是 _ 14已知 0 x，则函数 y sinx2的最小值为xysinx_15若点 (1,3)和 ( 4， 2)在直线 2x y m 0 的两侧，则 m 的

3、取值范围是 _x 016不等式组x 3y 4所表示的平面区域的面积等于_3x y 4x y 4，17已知点 P( x，y)的坐标满足条件y x，点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等x 1于 _1|x| 2，18如果 x、y 满足不等式组y 3，那么目标函数z x y 的最小值是 _x y 5，19设数列 an 的前 n 项和为 Sn ， an 与 Sn 满足 an+Sn =2（n N* ）；求数列 an 的通项公式；学习必备欢迎下载2x y 10，20画出不等式组x 2y 10，表示的平面区域x y 11221已知 a， b 为正实数，且a b 1，求 a b的最小值22.

4、 在数列an 中 , 已知 an 1, a11, 且 an 1an2, n N . 记 bn (an1) 2 , n N . 求an 1an12证：数列 bn是等差数列；23为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2 的长方体二级净水处理池 (如下图 ) ，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400 元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100 元，池底建造单价为每平方米 60 元(1)一般情况下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？(2)若受地形限制，净水处理池的长、宽都不能超过14.5m，那么此时净水池的设计为多少米时，可使总造价最低？124 (1) 求函数

5、y x 2x(x<0) 的最大值；1(2)求函数 y x3 x(x>3) 的最小值； (3)求函数 y x(a 2x)(x>0， a 为大于 2x 的常数 )的最大值25在ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b, c , 向量 m ( 2sin B, 2 cosB),n (3 cosB,cosB) , 且 m n 1 .(1) 求角 B ;(2)若 a , b , c 成等差数列 , 且 b 2, 求ABC 的面积 .26在ABC 中 , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边 , 且 sin A cosC cos A sin C3,2

6、若 b7, ABC 的面积 S ABC3c 的值 .3 , 求 a4学习必备欢迎下载1在已知五个点A(1,1)，B(1,1)，C( 1， 1)，D (1， 1)，O(0,0) 中，位于直线x 2y 1 0 上方 ( 不含边界)的点的个数是 _解析： 位于直线x 2y 1 0 上方的点坐标满足不等式x2y 1 0，将上述五个点的坐标分别代入式子x 2y 1 中知，点 B 坐标满足不等式 x2y 1 0. 答案： 12若正数a， b 满足 ab ab 3，则 ab 的取值范围是_解析： a 0， b 0， a b 3 2 ab 3， ab 2 ab 3， ( ab 3)( ab 1) 0. ab3

7、， ab9.答案： 9， )3已知 x，y R，且满足 x y 1，则 xy 的最大值为 _34解析： x0， y 0 且 1 x y 2xy， xy 3.3412当且仅当 x y即 x 3， y 2 时取等号342答案： 34已知 x3y 2 0，则 3x 27y 1 的最小值为 _解析： x 3y 2 0， x3y 2， 3x27y 1 3x33y 1 2 3x·33y 1 23x3 y 12 3217，1当且仅当x1，y 3时等号成立答案： 7x24x 55，则 f(x)5已知 x的最小值为 _22x 4221x 4x 5x 2解析： f(x)2x42 x 2 1 x 2 11

8、·2x 2 · 1 1，2x22x 2x15当且仅当2且 x2，即 x 3 时取得最小值 1.x 2答案： 116 y x x(x 0)的值域为 _解析： 当 x>0 时，由基本不等式，得11y x 2x·时，等号成立xx 2，当且仅当 x 1当 x<0 时， y x1 ( x)1 ，x x x>0， ( x)1 2， x当且仅当 x 1 ， x即 x 1 时，等号成立学习必备欢迎下载 y x1 2.x1综上，函数 y x x的值域为 (， 22， )答案： (， 2 2， )7函数 3x22 6的最小值是 _x1解析： 3x2 26 3(x2

9、1)26 3 6 2 3.当且仅当 3(x2 1)26时取 “”x 1x 1x 1答案： 6 238已知 x>1， y>1，且 lg xlg y4，那么 lgx·lgy 的最大值是 _x9若对任意 x 0， x2 3x1 a 恒成立，则 a 的取值范围是 _解析： ax1对任意 x0 恒成立，设ux 1 3， 只需 a1恒成立即可 x 0，x2 3x11xux x3 u 5(当且仅当 x 1 时取等号 )由 u 5 知 0 1 111，u 5， a5.答案： 510设 a>0，b>0，且 ab a b 1 0，则 a b 的取值范围为 _解析： ab a b

10、1 0，a b 2 a b 1 ab () .2令 ab t，则 t 1t24，即 t2 4t 4 0，解得 t 2 2 2，或 t 2 2 2，又 t a b>0，故 t 2( 2 1)答案： 2 22， )11.已 知 两 个 正 变 量 x, y 满 足 x y4，则使不等式 14m 恒 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是xym9.412设 a0， b 0，若3是 3a 和 3b 的等比中项，则11的最小值为 _ab解析： 因为 3a·3b 3，所以 a b 1，1 1 (ab)(11bab a) 2 22· 4，当且仅当a bababa b答案：

11、413已知23 2(x 0，y0)，则 x·y 的最小值是 _xy解析： 2 23 26，xyxyba1a b即 a b 2时“ ” 成立 xy61， xy6 1， xy 6，23当且仅当 x y即 x 2， y 3 时取等号答案： 6214已知 0 x ，则函数 y sinx sinx的最小值为 _2解析： 令 t sinx，则 t (0,1 ，函数y t t，用函数的单调性定义不难证明此函数在(0,1 上是减函数所学习必备欢迎下载2以当 t1 时， yt 有最小值3.答案： 315若点 (1,3)和 ( 4， 2)在直线 2x y m 0 的两侧，则m 的取值范围是 _答案： 5

12、 m 10x 016不等式组x 3y 4所表示的平面区域的面积等于_3x y 4解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是(0，43)， (0,4)，(1,1) ，所以三角形的面144.积 S × (4 )×12334答案： 3x y 4，17已知点 P(x，y)的坐标满足条件y x，点 O 为坐标原点，那么 |PO|的最小x 1值等于 _，最大值等于 _解析： 如图所示，线性区域为图中阴影部分，|PO |指线性区域内的点到原点的距离， 最短为12 122，最长为12 32 10.答案： 2101 |x| 2，18如果 x、y 满足不等式组y 3，那么

13、目标函数 z x y 的最小值是x y 5，_答案： 919设数列 an 的前 n 项和为 Sn ， an 与 Sn 满足 an+Sn =2（n N* ）；（）求数列 an 的通项公式；解：（ 1）令 n 1，有 2 a1 2 得 a1 1，由 an+1+Sn +12， an+Sn 2，得： 2an+1- an 0（ n N* ），an 11， an 是以 1为首项，1为公比的等比数列，an1；an222n 12x y 10，20画出不等式组x 2y 10，表示的平面区域x y 1解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示1221已知 a， b 为正实数，且a b 1，求 a b的最小值学习必备

14、欢迎下载1 2a b2a 2b解： a ba b 1 ba 2ab 23 22ba 32 2.abb2a当且仅当 a b ，即 a2 1，b 22时取 “ ”12故 a b的最小值是3 22.22. 在数列 an中 , 已知 an1, a11, 且 an 1an2, nN .an 1an1（ 1）记 bn( an1) 2 , n N. 求证：数列bn是等差数列；2解：（ 1）an 1anan 12, nN,an 12an2an 1an 2.a n1即 (an 11) 2(a n1 ) 22.22又 bn( an1) 2 , bn 1bn2(n N )2故数列 bn 是以 2 为公差的等差数列

15、.23为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2 的长方体二级净水处理池 (如下图 ) ，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100 元，池底建造单价为每平方米60 元(1)一般情况下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？(2)若受地形限制，净水处理池的长、宽都不能超过14.5 m，那么此时净水池的设计为多少米时，可使总造价最低？解： (1)设净水池长为x m，高为 h m，则宽为22560× 200 800h(x x ) 12000 800h·2200200200xm，则总造价f(x) 400(2x

16、 2·x ) ·h 100 ·x ·h225x·x 12000.225当且仅当x x(x>0)，即 x 15 时上述不等式取到 “ ” ，故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低0< x 14.5，40029(2)由条件可得200即 x 29 ， 2 . 14.5，0< x2254002922540029考察函数tx x 在区间29， 2 上的单调性， 可得出 t x x在区间29，2上是单调递减函数， 故当 x 14.5 时， f(x)有最小值，即当净水池的长为14.5 m 时，总造价最低124 (1) 求函数 y x 2

17、x(x<0) 的最大值；1(2)求函数 y x(x>3) 的最小值；(3)求函数 y x(a2x)( x>0， a 为大于 2x 的常数 ) 的最大值解： (1) x<0， x 0，学习必备欢迎下载 y x 1 ( x)1 2x 2x 2 x · 1 2. 2x2当且仅当x 2 时，取等号， ymax 2.(2) x>3， x3 0， y1 x1 ( x 3) 3 5，当且仅当x 31 ，即 x4 时，取等号，x 3x 3x 3 ymin 5.(3) x>0， a>2x， a 2x 0， y x(a 2x) 1× 2x·(

18、a 2x)1× 2x a 2x 22222 a8 ，当且仅当2xa 2x 即 xa4时，取等号a2 ymax 8 .25在ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , 向量 m(2 sin B,2cosB) , n( 3 cosB,cosB) ,且 m n 1 .(1) 求角 B ;(2)若 a, b ,c 成等差数列, 且 b2, 求ABC 的面积 .解 :(1)mn1 ,2sin B3 cos B2cos2 B1 ,3 sin 2B cos2B2 , sin( 2B) 1 ,116又 0B,2B,2B,B666623(2)b2 , 2bac ,ac4 .又 b 2a2c 22accosB ,4a2c 22accos, 即 4 a 2c 2ac3将a