第章时间序列模型

1、 时间序列分析方法由时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 提出。提出。 这种建模方法这种建模方法不以经济理论为依据不以经济理论为依据，而是，而是依据变量自身的变依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。 注意序列的平稳性注意序列的平稳性。如果时间序列非平稳，应先通过差分使。如果时间序列非平稳，应先通过差分使其平稳后，再建立时间序列模型。其平稳后，再建立时间序列模型。 估计估计ARMA模型方法是模型方法是极大似然法极大似然法。 对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一不是惟一的。

2、的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式选择就越准确合理。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式选择就越准确合理。ARIMA模型模型的特点的特点（第（第3版版282页）页）当当代代计计量量经经济济模模型型体体系系 随机过程随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称随时间由随机变量组成的一个有序序列称为为随机过程，用随机过程，用xt，tT表示，简记为表示，简记为xt或或xt 。 时间序列时间序列：随机过程的一次观测结果：随机过程的一次观测结果(一次实现一次实现),时间序时间序列中的元素称为观测值。时间序列也用列中的元素称为观测值。时间序列也用xt，tT表示，表示，简记为简记为xt或或xt 。

3、假设样本观测值假设样本观测值 来自无穷随机变量序列来自无穷随机变量序列 那么这个无穷随机序列称为随机过程。那么这个无穷随机序列称为随机过程。 12,ny yy2112,nyyy yy（第（第3版版282页）页） 协方差平稳过程协方差平稳过程（covariance stationary process） 如果一个随机过程如果一个随机过程xt满足以下性质，满足以下性质， (1) 均值：均值： E(xt) = (常数常数) (2) 方差：方差： var(xt) = 2 (常数常数) (3) 自协方差：自协方差： k= E(xt - ) (xt+k - ) = k 2（一种更为简便的方法是用（一种更为

4、简便的方法是用自相关系数自相关系数来描述自协方差，即来描述自协方差，即通过自协方差除以方差进行标准化后而得到通过自协方差除以方差进行标准化后而得到k=rk /r0。）。） 这时称这时称xt是协方差平稳过程，也称是协方差平稳过程，也称宽平稳或弱平稳过程。宽平稳或弱平稳过程。 平稳过程指随机过程的平稳过程指随机过程的统计规律不随时间的推移而发生变化统计规律不随时间的推移而发生变化。 直观上，平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。直观上，平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。 单整过程（单整过程（unit root process） ( )tyI d非平稳过程指随机过程的统计规律

5、随着时间的推移而发生变化。非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变化。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后，可以转变为平稳的。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后，可以转变为平稳的。对于随机过程，如果必须经过对于随机过程，如果必须经过d次差分之后才能变换成为一次差分之后才能变换成为一个平稳的过程，而当进行个平稳的过程，而当进行d-1次差分后仍是一个非平稳过程，次差分后仍是一个非平稳过程，则称此随机过程具有则称此随机过程具有d 阶单整性，记为阶单整性，记为 差分差分指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。 一阶差分可表示为：一阶差分可表

6、示为： xt - xt -1 = xt = (1- L) xt = xt - L xt 其中其中 称为一阶差分算子称为一阶差分算子； 滞后算子滞后算子： 用用L表示表示 定义一阶滞后算子为：定义一阶滞后算子为：Lxt=xt-1 k阶滞后算子定义为：阶滞后算子定义为：Ln xt = xt - n 若随机过程若随机过程xt(t T ) 满足以下条件则称为白噪声过程满足以下条件则称为白噪声过程 (1) E(xt) = 0 (2) Var (xt) = 2 , t T (3) Cov (xt, xt - k) = 0, (t - k ) T , k 0 a. 由白噪声过程产生的时间序列由白噪声过程产生

7、的时间序列 b. 日元对美元汇率的收益率日元对美元汇率的收益率 -3-2-1012320406080100120140160180200white noise-4-202450100150200250300DJPY白噪声是平稳的随机过程白噪声是平稳的随机过程 经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程（第（第3版版283页）页） 对于对于xt=xt -1+ut，若，若ut 为白噪声过程，称为白噪声过程，称xt 为随机游走过程。为随机游走过程。 随机游走过程的随机游走过程的均值为零，方差为无限大均值为零，方差为无限大。 xt = xt -1 + ut = u

8、t + ut-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + (1) E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 0, (2) Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 随机游走过程是随机游走过程是非平稳的随机过程非平稳的随机过程。 对随机游走进行一阶差分，可将其转化为平稳过程。对随机游走进行一阶差分，可将其转化为平稳过程。 xt= xt- xt-1= ut-25-20-15-10-50520406080100120140160180200random walk808590951001051105010015020025030

9、0JPYe. 由随机游走过程产生时间序列由随机游走过程产生时间序列 f. 日元对美元汇率日元对美元汇率（第（第3版版291页）页） xt= 1xt -1+ 2 xt -2+ p xt -p+ut 其中：其中： i , i = 1, p 是自回归参数，是自回归参数，ut 是白噪声过程。是白噪声过程。 xt是由它的是由它的p个滞后变量的加权和个滞后变量的加权和以及以及ut相加相加而成。而成。 上式用滞后算子表示为：上式用滞后算子表示为：(1- 1L- 2L2- pLp)xt = L)xt=ut L)=1- 1L- 2L2- pLp 称为特征多项式或自回归算子称为特征多项式或自回归算子l 平稳性：平

10、稳性： 若特征方程若特征方程 z)=1- 1z- 2z2- pzp=(1G1z)(1G2z).(1Gpz)=0 的的所有根的绝对值都大于所有根的绝对值都大于1，则，则AR(p)是一个平稳的随机过程。是一个平稳的随机过程。自回归过程的变量自回归过程的变量xt ，仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。 之所以称之为之所以称之为特征方程，特征方程，是因为它是因为它的根决定了过程的根决定了过程 xt的特征。的特征。（第（第3版版284页）页）（第（第3版版284页）页） xt= 1xt-1+ut 平稳性的条件是特征方程平稳性的条件是特征方程 (1- 1

11、L)=0根的绝对值必须大于根的绝对值必须大于1，满足，满足 |1/ 1| 1，也就是，也就是 | 1| 1 xt=ut + 1ut-1+ 12xt-2=ut+ 1ut-1+ 12ut-2+（短记忆过程短记忆过程） 因为因为ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程：过程： E(xt) = 0 Var (xt) = u2 + 12 u2 + 14 u2 + = 上式说明若保证上式说明若保证xt平稳，必须保证平稳，必须保证 | 1| 1。-4-202420406080100120140160180200AR(1)22111u（第（第3版版284页）页）在在

12、Equation specification对话框输入：对话框输入：D(Y) C AR(1)（第（第3版版286页）页）为了验证这一性质，首先将为了验证这一性质，首先将yt-1用滞后算子表示用滞后算子表示Lyt yt=Lyt +ut yt-Lyt =ut （1-L） yt=ut 特征方程为：特征方程为：1-z=0其中有根其中有根z=1落在单位圆上，而不是单位圆之外。落在单位圆上，而不是单位圆之外。该过程是非平稳的，它是随机游走过程。该过程是非平稳的，它是随机游走过程。 下面的模型是平稳的吗？下面的模型是平稳的吗？ yt =yt-1+ut xt= 1xt-1+ 2xt-2+ut 平稳性的条件是特

13、征方程平稳性的条件是特征方程1- 1L- 2L2=0的两个根在单位圆外：的两个根在单位圆外： 21122412 2 + 1 1 2 - 1 1 | 2 |1解得：解得：（第（第3版版286页）页） (1) AR(p)平稳性的必要条件是平稳性的必要条件是(p个自回归系数之和小于个自回归系数之和小于1 )： 1+ 2+ p1, 或或| 1| 1。 当当| 1| 1时，时，MA(1)过程应变换为过程应变换为 ut=(1+ 1L)1xt =(1- 1L+ 12L2- 13L3+) xt 这是一个这是一个无限阶的以无限阶的以几何衰减几何衰减为权数的自回归过程为权数的自回归过程。 对于对于MA(1)过程有

14、过程有 E(xt)=E(ut)+E( 1ut-1)=0 Var(xt)=Var(ut) +Var( 1ut1)=(1+ 12) u2-4-3-2-1012320406080100 120 140 160 180 200MA(1)（第（第3版版288页）页）-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5MA rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)（第（第3版版287页）页）4. 自回归与移动平均过程的关系自回归与移动平均过程的关系(1) 一个平稳的一个平稳的AR(p)过程：过程： (1- 1L- 2L2

15、- pLp)xt=ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程：可以转换为一个无限阶的移动平均过程： xt=(1- 1L- 2L2- pLp)-1ut= L)-1ut (2) 一个可逆的一个可逆的MA(p)过程：过程： xt=(1+ 1L+ 2L2+ qLq)ut= L)ut 可以转换成一个无限阶的自回归过程：可以转换成一个无限阶的自回归过程： (1+ 1L+ 2L2+ qLq)-1xt= L)-1xt=ut(3) 对于对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是过程只需考虑平稳性问题，条件是 L)=0的根的根（绝对值）必须大于（绝对值）必须大于1。不必考虑可逆性问题。不必考虑可逆性问题。(4)

16、对于对于MA(q)过程只需考虑可逆性问题，条件是过程只需考虑可逆性问题，条件是 L)=0的根（绝的根（绝对值）必须大于对值）必须大于1，不必考虑平稳性问题。，不必考虑平稳性问题。自回归移动平均（自回归移动平均（autoregressive moving average）过程）过程:其平稳性依赖于自回归部分其平稳性依赖于自回归部分: (L) = 0的根全部在单位圆之外。的根全部在单位圆之外。其可逆性依赖于移动平均部分：其可逆性依赖于移动平均部分： (L) = 0的根全部在单位圆之外。的根全部在单位圆之外。实际中最常用的是实际中最常用的是ARMA(1, 1)过程过程: xt- 1xt-1=ut+

17、1ut-1 (1- 1L)xt=(1+ 1L)ut只有当只有当 1 1 1和和 1 1 1时，时，上述模型才是平稳的，可逆的。上述模型才是平稳的，可逆的。 xt= 1xt-1+ 2xt-2+ pxt-p+ t- - 1 t-1- - 2 t-2 - - - q t-q-4-202420406080100120140160180200ARMA、ARMA(p,q)（第（第3版版288页）页）根据根据ARMA特征方程特征方程 (L) = 0的的根取值不同，分为三种情形：根取值不同，分为三种情形：(1) 若若全部根取值在单位圆之外，则该过程是全部根取值在单位圆之外，则该过程是平稳平稳的；的；(2) 若

18、某个根或全部根在单位圆之内，则该过程是若某个根或全部根在单位圆之内，则该过程是强非平稳强非平稳的。的。 例如，例如， xt = 1.3 xt-1 + ut （特征方程的根（特征方程的根 = 1/ 1.3 = 0.77） 上式两侧同减上式两侧同减 xt-1得：得： xt = 0.3 xt-1 + ut （仍然非平稳）。（仍然非平稳）。(3) 如果特征方程的若干根取值恰好在单位圆上，则这种根称为如果特征方程的若干根取值恰好在单位圆上，则这种根称为 单位根，这种过程也是单位根，这种过程也是非平稳非平稳的。定义：的。定义： 假设一个随机过程含有假设一个随机过程含有d个单位根，其经过个单位根，其经过d次

19、差分之后可以变换次差分之后可以变换为一个平稳的自回归移动平均过程为一个平稳的自回归移动平均过程。则该随机过程被称为。则该随机过程被称为 。（第（第3版版290页）页） 考虑随机过程的一般表达式：考虑随机过程的一般表达式： (L) d yt = (L) ut 其中其中 (L) 是平稳的自回归算子，是平稳的自回归算子， (L) d为广义自回归算子，为广义自回归算子， (L)是可逆的移动平均算子。是可逆的移动平均算子。 若取若取xt = d yt ，则上式可表示为，则上式可表示为: (L) xt = (L) ut 即即yt 经过经过d 次差分后，可用一个平稳的、可逆的次差分后，可用一个平稳的、可逆的

20、ARMA过程过程xt 表示表示,称称yt 为单整为单整(单积单积)自回归移动平均过程自回归移动平均过程ARIMA (p, d, q)。 当当p 0, d = 0, q 0 时，时，当当d = 0 , p = 0, q 0 时时当当d = 0 , p 0, q = 0 时，时，当当 p = d = q = 0时，时，ARIMA变成变成ARMA (p, q)过程过程;ARIMA变成变成MA (q)过程过程;ARIMA变成变成 AR (p)过程过程;ARIMA变成白噪声过程变成白噪声过程;几种常见的非平稳随机过程几种常见的非平稳随机过程 (1) ARIMA(0,1,0)过程过程 yt=ut 其中其中

21、 p = q =0, d = 1 (L) = 1 - 1 L , (L) = 1 (2) ARIMA (0, 1, 1)过程过程 yt=ut+ 1ut1= (1+ 1L) ut 其中其中p = 0 , d = 1, q = 1, (L) = 1, (L) = 1+ 1 L (3) ARIMA(1, 1, 0)过程过程 yt- 1 yt 1=ut 其中其中 p = 1, d = 1 , q = 0 , (L) = 1 - 1 L , (L) = 1 (4) ARIMA(1,1,1)过程过程 yt- 1 yt-1=ut+ 1ut-1 或或 (1- 1L) yt= (1+ 1L) ut 其中其中 p

22、 = 1, d = 1, q = 1, (L) = 1 - 1 L, (L) = 1+ 1L建立时间序列建立时间序列ARIMA (p,d,q)模型流程图模型流程图 1 识别识别 用相关图和偏相关图用相关图和偏相关图识别模型形式（确定参数识别模型形式（确定参数 d, p, q） 2 估计估计 对初步选取的模型进行参数估计对初步选取的模型进行参数估计 3 诊断与检验诊断与检验 包括参数的显著性检验和残差的随机性检验包括参数的显著性检验和残差的随机性检验 模型可取吗模型可取吗 止止 不可取不可取 可取可取 12.3 时间序列模型的建立时间序列模型的建立（第（第3版版302页）页）（第（第3版版302

23、页）页）（第（第3版版301页）页）12.3 时间序列模型的建立时间序列模型的建立与预测与预测4681012145055606570758085909500Y-0.2-0.10.00.10.20.35055606570758085909500DY1 1、如何识别？如何识别？ 估计结果为：估计结果为：Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + vt (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Q (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0-1) = 15.52 2、如何估计？如何估计？ 因为因为Q(10) = 5.2 0 （经

24、济问题中常见）（经济问题中常见） 图图b. -1 0 （经济问题中少见）（经济问题中少见） 平稳平稳AR(1)过程的自相关函数：过程的自相关函数： k = 1k （k 0）2. 平稳自回归过程的自相关函数平稳自回归过程的自相关函数 AR(p) 过程的自相关函数过程的自相关函数 根据特征方程根取值的不同，自相关函数有两种不同表现：根据特征方程根取值的不同，自相关函数有两种不同表现： 当根为实数时，自相关函数随着当根为实数时，自相关函数随着k 的增加呈现的增加呈现指数衰减；指数衰减；当特征方程含有当特征方程含有一对共轭复根时，自相关函数按一对共轭复根时，自相关函数按正弦振荡形式衰减正弦振荡形式衰减

25、。实际中平稳实际中平稳AR过程的自相关函数常表现为过程的自相关函数常表现为指数衰减和正弦衰减指数衰减和正弦衰减混合形式。混合形式。-.4.0.42468101214-.4-.2.0.2.4.62468101214 图图a. 两个特征根为实根两个特征根为实根 图图b. 两个特征根为共轭复根两个特征根为共轭复根注意：注意： 当根取值远离单位圆时，当根取值远离单位圆时，k不必很大，自相关函数就会衰减至零。不必很大，自相关函数就会衰减至零。 当特征方程的根接近当特征方程的根接近1时，自相关函数将衰减的很慢。时，自相关函数将衰减的很慢。3. 3. 移动平均过程的自相关函数移动平均过程的自相关函数 （1）

26、 MA(1) 过程的自相关函数过程的自相关函数 xt=ut+ 1ut-1 k=E(xtxt-k)=E(ut+ 1ut-1)(ut-k+ 1ut-k-1) 当当k = 0时，时， 0=E(xt xt)=E(ut+ 1ut -1)(ut+ 1ut -1) =E(ut2+ 1utut-1+ 1utut-1+ 12ut-12)=(1+ 12) 2 当当k = 1时时 1=E(xtxt-1)=E(ut+ 1ut -1)(ut -1+ 1ut -2) =E(utut-1+ 1ut-12+ 1utut-2+ 12ut-1ut-2)= 1E(ut -1)2= 1 2 当当 k 1 时，时， k=E(ut+ 1

27、ut -1)(ut -k+ 1ut -k -1)=0 综合以上三种情形，综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函数为过程自相关函数为12101, 0, 110, 1kkkkk-.4-.2.0.2.42468101214-.4-.2.0.2.42468101214图图a. 1 0 图图b. 1 0 MA(1) 过程的自相关函数具有截尾特征（当过程的自相关函数具有截尾特征（当k 1时，时， k = 0） （2）MA(q) 过程的自相关函数过程的自相关函数112222212.,1,2,.1.0,kkkq kqqkkqkq 当当k q 时，时， k = 0，说明，说明 k (k = 0, 1, ) 具

28、有截尾特征。具有截尾特征。注意注意此特征可用来识别此特征可用来识别MA(q)过程过程的阶数的阶数。 4. ARMA (p,q) 过程的自相关函数过程的自相关函数 ARMA( p, q) 过程的自相关函数表现形式与过程的自相关函数表现形式与AR(p)过程的过程的自相关函数相类似。根据模型中自回归部分的阶数自相关函数相类似。根据模型中自回归部分的阶数p以及以及参数参数 i的不同，的不同， ARMA( p, q) 过程的自相关函数呈指数过程的自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。衰减和（或）正弦衰减混合形式。 相关图可以识别相关图可以识别ARMA过程中过程中MA分量阶数分量阶数p。 5. 相

29、关图（相关图（Auto correlogram） 估计的自相关函数，样本自相关函数估计的自相关函数，样本自相关函数 当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图相关图或或 估计的自相关函数估计的自相关函数： 其中，其中，0, k = 0, 1 , 2, K, ( K 1时，时， kk = 0。所以。所以AR(1)过程的过程的 偏自相关函数特征是偏自相关函数特征是在在k = 1出现峰值（出现峰值（ 11 = 1）然后截尾）然后截尾。-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20

30、.00.20.40.60.82468101214图图a. 11 0 图图b. 11 p时，时， kk = 0。 偏自相关函数在滞后期偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，以后有截尾特性，此特征可用来此特征可用来 识别识别AR(p)过程的阶数。过程的阶数。注意注意 对于对于MA(1)过程：过程：xt = ut + 1 ut-1 整理：整理： 1/(1+ 1L)xt=ut ， (1- 1L+ 12L2-)xt=ut , xt= 1xt-1- 12xt-2+ 13xt-3-+ut 当当 1 0时，自回归系数的符号是正负交替的；时，自回归系数的符号是正负交替的； 当当 1 0时，自回归系数的符号全是负

31、的。时，自回归系数的符号全是负的。因为因为MA(1) 过程可以转换为无限阶的过程可以转换为无限阶的AR过程，所以其过程，所以其 偏自相关函数呈偏自相关函数呈指数衰减指数衰减特征。特征。3. 移动平均过程的偏自相关函数移动平均过程的偏自相关函数 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 图图a. 1 0 图图b. 1 0 因为任何一个可逆的因为任何一个可逆的MA(q) 过程都可以转换成一个无限阶过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递减的的系数按几何递减的AR过程，所以：过

32、程，所以： MA(q) 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征。 ARMA( p, q) 过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与形式与MA(q)过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动平均部分的阶数平均部分的阶数q以及参数以及参数 i的不同，的不同， ARMA( p, q) 过程的过程的偏自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。偏自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。4.4.偏相关图偏相关图（Partial Correlogram） 对于时间序列数据，偏自相关函数通常

33、是未知的，可以用对于时间序列数据，偏自相关函数通常是未知的，可以用样本样本估计偏自相关函数。估计偏自相关函数。 因为因为AR过程和过程和ARMA过程中过程中AR分量的偏自相关函数具有分量的偏自相关函数具有截尾特性，所以截尾特性，所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图取实际中对于偏相关图取k = 15就足可以了。就足可以了。 ACF和和PACF估计值的方差近似为估计值的方差近似为T-1。所以在观察相关图和偏。所以在观察相关图和偏相关图时，若相关图时，若ACF和和PACF估计值的绝对值超过估计值的绝对值超过2 T-1/2（2个标个标准差），就

34、被认为是显著不为零。准差），就被认为是显著不为零。 0.05022kkNTT 用用EViews计算估计的自相关函数和偏自相关函数。计算估计的自相关函数和偏自相关函数。点击点击View选选correlogram功能。功能。2(1/ 522(1/)0.28T 虚线表示到中心线虚线表示到中心线2 2个标准差宽度：个标准差宽度：自相关函数呈几何衰减；自相关函数呈几何衰减；其偏自相关函数的非零个数就等于其偏自相关函数的非零个数就等于AR模型的阶数。模型的阶数。其自相关函数的非零个数等于其自相关函数的非零个数等于MA模型的阶数；模型的阶数；偏自相关函数呈几何衰减。偏自相关函数呈几何衰减。自相关函数呈几何衰

35、减；自相关函数呈几何衰减；偏自相关函数呈几何衰减。偏自相关函数呈几何衰减。 AR(1) 实根实根 AR(2) 实根实根 AR(2) 复根复根MA (1) MA (2) MA (2) AR(1) AR(2) AR (2)MA (1) 实根实根 MA (2)实根实根 MA (2) 复根复根-6-4-20246850100150200250300AR2 (phi=0.8)-25-20-15-10-50550100150200250300AR1 (phi=1)-3-2-10123450100150200250300AR3 (phi=0.4)-4-3-2-10123450100150200250300a

36、r4 (phi=0)-3-2-101234255075100125150175200MA1 (theta=0.4)-4-3-2-1012345255075100125150175200MA2 (theta=0.9)MA(1)序列与相关图序列与相关图 -4-3-2-101234255075100125150175200MA3 (theta= -0.4)-4-3-2-101234255075100125150175200MA4 (theta=-0.9) （第（第3版版304页）页）ARIMA模型识别举例模型识别举例 Yt的差分变量的差分变量 Yt的自相关图和偏自相关图如下，的自相关图和偏自相关图如

37、下，Yt有可能有可能是个什么形式的过程？写出是个什么形式的过程？写出Yt的表达式。能事先说出参数的表达式。能事先说出参数的符号吗？的符号吗？12.4 时间序列模型的估计时间序列模型的估计对于时间序列模型，一般采用对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数极大似然法估计参数。 需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项（漂移项）。模型中均未包含常数项（漂移项）。 如果包含漂移项，该漂移项并不影响模型的原有性质，因为如果包含漂移项，该漂移项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含漂

38、移项的模型转换为不含漂移项通过适当的变形，可将包含漂移项的模型转换为不含漂移项的模型。的模型。 （第（第3版版293页）页） Wold分解定理分解定理 （第（第3版第版第293页）页） Wold分解定理分解定理 （第（第3版第版第293页）页） Wold分解定理分解定理 Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + ut (8.7) (5.4) 在在Equation specification对话框输入：对话框输入：D(Y) C AR(1)注意注意：EViews输出结果表示的是对序列输出结果表示的是对序列(Dyt -0.142862)估计估计AR(1)模型模

39、型 Dyt = 0.0076 + 0.2627 (Dyt-1 - 0.0076) + 0.2767 (Dyt-3 - 0.0076) + ut (7.4) (3. 0) (3.2) 在在Equation specification对话框输入：对话框输入：D(Y) C AR(1) AR(3) dLnyt = 0.0271 + ut +0.5963ut-1 (2.1) (5.6) 在在Equation specification对话框输入：对话框输入：D(Y) C MA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.0367)+ut+0.4758 ut-1 (0.7) (6.7) (2.

40、8)在在Equation specification对话框输入：对话框输入：D(Y) C AR(1) MA(1) 12.5 时间序列模型的检验时间序列模型的检验 估计完模型后，应对估计结果进行诊断与检验。估计完模型后，应对估计结果进行诊断与检验。 估计的模型是否成立主要从以下几个方面检查：估计的模型是否成立主要从以下几个方面检查： 模型参数估计量必须通过模型参数估计量必须通过t检验检验； 模型的残差序列必须通过模型的残差序列必须通过Q检验检验 ； 模型的模型的全部特征根的倒数都必须在单位圆以内全部特征根的倒数都必须在单位圆以内（ 自回归、自回归、移动平均两部分满足平稳性和可逆性）。移动平均两部

41、分满足平稳性和可逆性）。 同时也要尽量做到：模型结构应当尽量简练；参数稳定同时也要尽量做到：模型结构应当尽量简练；参数稳定性要好；预测精度要高。性要好；预测精度要高。 残差序列的残差序列的Q检验检验Q检验的零假设是检验的零假设是 H0： 1 = 2 = = K = 0即模型误差项的即模型误差项的K阶自相关系数全为零，误差项是一个白噪声过程。阶自相关系数全为零，误差项是一个白噪声过程。 Q统计量定义为：统计量定义为：221(2)()KkkQT TrKpq其中，其中，T表示样本容量，表示样本容量，rk 表示用残差序列计算的自相关系数值，表示用残差序列计算的自相关系数值，K表表示自相关系数的个数，示

42、自相关系数的个数，p 表示模型自回归阶数，表示模型自回归阶数，q表示移动平均阶数。表示移动平均阶数。计算计算Q统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其他成份，自相关系数不等于零，则其他成份，自相关系数不等于零，则Q值将很大。反之值将很大。反之Q值将很小。值将很小。判别规则是：判别规则是： 若若Q 2 ( K - p - q) ，则拒绝则拒绝H0。因为因为Q(10) = 5.2 20.05( 10-1-0) = 16.9可以认为模型误差序列为非自相关序列可以认为模型误差序列为非自相关序列。 设对时间序列样本设对时间序列样本xt

43、, t = 1, 2, , T，所拟合的模型是，所拟合的模型是ARMA(1,1) xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut-1 则理论上则理论上T + 1期期xt的值为：的值为：xT+1 = 1 xT + uT+1 + 1 uT 上式中上式中 1, 1和和uT 用其估计值代替用其估计值代替, uT+1未知，但未知，但E(uT+1) = 0， 故取故取uT+1 = 0， 那么，那么，xT+1的实际预测式为：的实际预测式为： 理论上理论上xT+2的预测式是：的预测式是：xT+2 = 1 xT+1 + uT+2 + 1 uT+1 ，此时仍取，此时仍取uT+1 = 0 uT+2 = 0，则，则

44、xT+2的预测式是：的预测式是： 与此类推，与此类推， xT+3的预测式是：的预测式是： 随着预测期的加长，预测式中移动平均项逐步随着预测期的加长，预测式中移动平均项逐步淡出淡出预预测模型，预测式变成了纯自回归形式。测模型，预测式变成了纯自回归形式。12.6 时间序列模型的时间序列模型的预测预测1Tx1Tx 1T u 2Tx11Tx 3Tx12Tx 对于对于MA (q) 过程，当预测期超过过程，当预测期超过q 时，预测值等于零。时，预测值等于零。 若上面所用的若上面所用的xt 是一个差分变量，设是一个差分变量，设 yt = xt ，则得到的，则得到的 预测值相当于预测值相当于 , (t = T

45、 +1, T +2 , )。因为。因为 yt = yt -1 + yt 所以原序列所以原序列 T+1期预测值应按下式计算期预测值应按下式计算 其中其中 是相应上一步的预测结果。是相应上一步的预测结果。ty +1Ty1+TTyy1tyfile:li-12-1file: 5arma07案例案例1（中国人口时间序列模型）（中国人口时间序列模型） 从人口序列图可以看出，我国人口总水平除在从人口序列图可以看出，我国人口总水平除在1960和和1961年出现回落外，年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。其余年份基本上保持线性增长趋势。51年间平均每年增加人口年间平均每年增加人口1423.06万人，万

46、人，年平均增长率为年平均增长率为16.8。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把逐渐下降的。把51年分为两个时期，即改革开放以前时期和改革开放以后年分为两个时期，即改革开放以前时期和改革开放以后时期，则前一个时期的年平均增长率为时期，则前一个时期的年平均增长率为20，后一个时期的年平均增长率，后一个时期的年平均增长率为为12.58。从人口序列的变化特征看，这是一个非平稳序列。从人口序列的变化特征看，这是一个非平稳序列。 中国人口序列中国人口序列 中国人口一阶差分序列中国人口一阶差分序列（第（第3版版310页）页）人口序列人口序列

47、yt的相关图，偏相关图的相关图，偏相关图567891011121314505560657075808590950005Y人口差分序列人口差分序列Dyt的相关图和偏相关图的相关图和偏相关图-.1.0.1.2.3505560657075808590950005D(Y)0.136164表达式是表达式是 Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + ut (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Q (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9（1）t检验通过；（检验通过；（2）Q检验通过；（检验通过；（3）特征根倒数

48、在单位圆之内）特征根倒数在单位圆之内EViews估计结果是估计结果是(Dyt -0.1429)的的AR(1)过程估计结果，而过程估计结果，而非非Dyt的的AR(1)过程估计结果。其中过程估计结果。其中0.1429是用是用AR(1)模型估计模型估计的序列的序列Dyt的均值，其含义是的均值，其含义是51年间平均年增加人口数是年间平均年增加人口数是1428.62万人。用样本计算的均值是万人。用样本计算的均值是0.1431。Q(10) = 5.2。因为。因为 Q(10) = 5.2 Q0.05 (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9，所以模型的随机误差序列也达到了非自相关的要求

49、。所以模型的随机误差序列也达到了非自相关的要求。-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5AR rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)特征根倒数在单位圆之内特征根倒数在单位圆之内差分序列差分序列Dyt中的常数中的常数 ，在原序列在原序列yt中是斜率。中是斜率。 （1）在打开工作文件的基础上，从）在打开工作文件的基础上，从EViews主菜单中点击主菜单中点击Quick键，键，选择选择Estimate Equation功能。会弹出功能。会弹出Equation specification对话框。对话框。

50、输入输入1阶自回归时间序列模型估计命令如下：阶自回归时间序列模型估计命令如下：D(Y) C AR(1) 其中其中C表示漂移项。点击表示漂移项。点击OK键。键。（2）模型中若含有移动平均项，）模型中若含有移动平均项，EViews命令用命令用MA(q)表示。表示。（3）点击时间序列模型估计结果窗口中的）点击时间序列模型估计结果窗口中的View键，选键，选Residual Tests, Correlogram-Q- statistics功能，在随后弹出的对话框中指定相关图功能，在随后弹出的对话框中指定相关图的最大滞后期，比如选的最大滞后期，比如选15，点击，点击OK键，即可得到模型残差序列的相键，即

51、可得到模型残差序列的相关与偏相关图以及关与偏相关图以及Q统计量。统计量。（4）点击时间序列模型估计结果窗口中的）点击时间序列模型估计结果窗口中的Forcast键，在随后弹出的键，在随后弹出的对话框中做出适当选择，就可以得到对话框中做出适当选择，就可以得到yt和和Dyt的动态、静态、结构、的动态、静态、结构、非结构预测值。非结构预测值。附录：用附录：用EViews估计时间序列模型的方法估计时间序列模型的方法点击时间序列模型估计结果窗口中的点击时间序列模型估计结果窗口中的Forcast键，在随后弹出的对话框中做出适当键，在随后弹出的对话框中做出适当选择，就可以得到选择，就可以得到yt和和Dyt的的

52、动态动态和和静态预测静态预测值，值，结构预测结构预测和和非结构非结构预测预测值值。12.6812.7212.7612.8012.8412.8812.922001YF?2 S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 2001 2001Included observations: 1Root Mean Squared Error 0.025358Mean Absolute Error 0.025358Mean Abs. Percent Error 0.198685EViews 701,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0007880

53、8284868890929496980002040608GDP45678978808284868890929496980002040608LNY-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5AR rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)8.808.858.908.959.009.059.1020098.9709.0748.865LNYF?2 S.E.2009年天津年天津GDP的预测值为：的预测值为：7859.987亿元亿元-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.

54、51.01.5MA rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)8.858.908.959.009.059.109.1520098.9859.0868.884LNYF?2 S.E.2009年天津年天津GDP的预测值为：的预测值为：7983.388亿元亿元用用1872-1994年的日本人口数年的日本人口数（Y，单位：亿人）序列的差分，单位：亿人）序列的差分序列（记作：序列（记作：DY）得估计模型）得估计模型和模型残差序列的相关图。和模型残差序列的相关图。1. 写出模型的估计式。写出模型的估计式。2. 解释常数项的实际含义。解释常数项的实际含义。3. 求模型的

55、漂移项的值。求模型的漂移项的值。4. 写出估计模型对应的特征方程。写出估计模型对应的特征方程。5. 计算特征根倒数计算特征根倒数 -0.24+0.56i的模的模等于多少。等于多少。6. 说明此模型建立的是否合理？如说明此模型建立的是否合理？如果估计结果为真，果估计结果为真，Dyt 的自相关函的自相关函数是拖尾的，还是截尾的？数是拖尾的，还是截尾的？7. 已知已知Dy1994 = 0.0027, Dy1992 = 0.00409, y1994=1.25034, 试对试对1995年的日本人口总数年的日本人口总数Y1995做样本外做样本外静态预测。并计算预测误差（给静态预测。并计算预测误差（给定定y

56、1995 = 1.25569亿）亿）课堂练习课堂练习 -.4-.2.0.2.4.6246810121960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000ResidualActualFitted 010000200003000040000500006000070000800001960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000YYFYF1 010,00020,00030,00040,00050,00060,00070,00080,000010,00030,00050,00070,00090,000YYFYF1GDP 12.70012.72512.750