LTI离散系统的频响特性计算机仿真分析

1、优质文本精品文本摘摘 要要线性时不变离散时间系统是最根本的数字系统, 差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型, 单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数,零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容.在信号与系统分析中,有关离散系统的理论与应用也越来越重要。离散信号与系统分析的数学模型是差分方程,对于高阶的差分方程,由于计算量庞大,人工计算难于实现。MATLAB 的出现解决了这一问题,利用 MATLAB 函数,只需要简单的编程,就可以实现系统的时域、频域分析,对系统的频响特性进行分析,为实际的系统设计奠定了根底。本设计首先介绍了线性时不变离散系统的根底理论，并对离散系统的系统函数及

2、其频率响应特性进行了探讨。其次，基于 MATLAB 设计环境下离散系统的频响特性进行了设计仿真，建立了典型的离散系统的模型，利用 MATLAB 函数绘制了离散时间系统频率特性曲线、零极点图,并对系统稳定性进行了判定。最后对仿真所得到的频率响应图进行了比照及分析，得出结论，到达设计要求。【关键词关键词】 MATLAB 离散时间系统 系统分析 系统函数精品文本AbstractLinear time-invariant discrete-time system is one of the basic digital systems. Difference equation and transmiss

3、ion function are common mathematical models to describe the system. Besides, unit impulse response and frequency response are primary characteristic parameters to the system. To the systems analysis, it is important to compute zero-state response and causality stability analysis. in the signal and s

4、ystem analysis, the discrete system theory and applications are increasingly important. Discrete signals and systems analysis is a mathematical model of differential equations, differential equations for the order, due to the huge computation, artificial calculation difficult to achieve. The emergen

5、ce of MATLAB to solve this problem, by using MATLAB function, only need a simple program, the system can be achieved in time domain, frequency domain analysis, frequency response characteristics of the system analysis, system design for the actual foundation. This design first introduced for linear

6、time-invariant discrete system is based on theory, and discrete system function and frequency response are discussed. Secondly, the design environment based on MATLAB frequency response of discrete system simulation was designed to establish a typical model of discrete systems using MATLAB functions

7、 is drawn discrete-time system frequency characteristic curves, zero-pole diagram, and system stability determined. Finally the simulated frequency response obtained by a comparison and analysis concluded that meet the design requirements. 【Key words】 MATLAB，discrete-time system， systems analysis， t

8、ransmission function精品文本目录目录第 1 章 绪论 .11.1 选题目的及意义.11.2 国内外研究综述.11.3 研究的主要内容及预期目标.21.4 研究方法.3第 2 章 LTI 离散系统概述.42.1 系统分类.42.1.1 连续时间系统和离散时间系统 .42.1.2 线性系统和非线性系统 .42.1.3 时变系统和时不变系统 .52.1.4 因果系统和非因果系统 .62.2 LTI 离散系统综述.62.3 LTI 离散系统的数学模型.72.3.1 离散时间系统的数学模型差分方程 .72.3.2 系统函数 .72.4 离散时间系统的模拟.82.5 离散时间系统的频率

9、响应特性.92.5.1 离散时间系统的频率响应.92.5.2 频率响应特性的几何确定 .9第 3 章 LTI 离散系统的频率响应特性及其仿真分析.123.1 离散系统的频率响应特性分析.123.2 取样响应.123.3 离散时间系统的系统函数H(z).143.3.1 系统函数的零极点分布与单位样值响应的关系 .163.3.2 系统的因果性和稳定性 .18第 4 章 设计仿真 .204.1 离散系统零极点图.204.2 离散系统的零极点分布与系统稳定性.224.3 离散系统的频率特性.23第 5 章 结论 .25参考文献 .26致 谢 .27优质文本第第 1 章章 绪论绪论1.1 选题目的及意义

10、线性时不变离散时间系统是最根本的数字系统,差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型,单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数,零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容.离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统,它有多种类型,其中线性时变离散时间系统是最根本、最重要的系统【1】.差分方程反映了系统输入与输出的运动状态,是在时域描述系统的通用数学模型;系统函数是零状态下系统输出与输入的 Z 变换之比,在时域与频域之间起桥梁作用.分析系统就是在 系统结构或系统模型条件下,从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系,前者重点研究系统的时间特性,后者主要研究系统的频率特性.频率特性与系

11、统性能紧密相关，通过分析频率特性研究系统性能是一种广泛使用的工程方法，能方便地分析系统中的各局部参量对系统总体性能的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径，所以我们对系统的频响特性要进行深入的分析。1.2 国内外研究综述国内外研究综述离散系统的应用普及现代科学技术的诸多领域。离散系统的概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、标准的科学态度的培养。离散理论课程的研究，不但作为计算机科学与技术及

12、相关专业的理论根底及核心主干课，对后续设计提供必需的理论支持。更重要的是旨在“通过加强数学推理，组合分析，离散结构，算法构思与设计，构建模型等方面专门与反复的研究、训练及应用，培养提高学生的数学思维能力和对实际问题的求解能力LTI 离散系统在通信、生物医学、地震、遥感等方面应用广泛,在信号与系统分析中,有关离散系统的理论与应用也越来越重要。离散信号与系统分析的数学模型是差分方程,对于高阶的差分方程,由于计算量庞大,人工计算难于实现【2】。MATLAB 的出现解决了这一问题,利用 MATLAB 函数,只需要简单的编程,就可以实现系统的时域、频域分析,对系统的特性进行分析,为实际的系统设计奠定了根

13、底。优质文本1.3 研究的主要内容及预期目标本设计主要研究的是线性时不变LTI离散系统的频率响应特性,差分方程和系统函数是描述该系统的常用数学模型,单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数, 零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态,是在时域描述系统的通用数学模型;系统函数是零状态下系统输出与输入的 Z 变换之比,在时域与频域之间起桥梁作用.分析系统就是在系统结构或系统模型条件下,从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系,前者重点研究系统的时间特性,后者主要研究系统的频率特性.此题要求从系统分析流程、系统模型创立、系统时域分析、系统频域分析

14、和因果稳定性分析等方面,研究线性时不变离散时间系统的根本分析方法,并以实例形式列举 MATLAB 在系统分析过程中的具体应用【3】。在离散系统中，人们最关心的是零状态响应，即在起始状态为零时，仅由输入信号引起的响应。在零状态条件下，离散系统由单位序列引起的响应称为单位响应，( )x n)(n记为由于单位样值响应表征了系统自身的性能因此，在时域分析中可以根据( )h n( )h n来判断系统的某些重要特性，如因果性、稳定性，以此区分因果系统与非因果系统，( )h n稳定系统与非稳定系统。当离散系统的单位响应后，系统对于任意输入序列的( )h n( )x n零状态响应便可以确定下来。由此，我们将零

15、状态响应的 z 变换与输入序列 y n y n的 z 变换之比定义为系统函数.在 LTI 离散系统中，假设的收敛域包含单( )x n( )H z( )H z位圆，即Z1，或者说只要离散系统是稳定的，那么将 z 换为就可以得到离散Tje系统的频率特性。系统函数的零极点分布完全决定了系统的频响特性,假设某系统函数的零极点, H z那么系统函数便可确定下来。通过对系统函数零极点的分析,可以分析离散系统以下几个方面的特性:系统单位样值响应的时域特性,离散系统的稳定性,离散系统的频率特性。( )h n本设计要求我们对 LTI 离散时间系统的频响特性进行分析，对于离散时间系统而言,不仅要知道它的零点和极点

16、,还要了解它的频率特性,我们将利用系统函数的零、极点,通过几何方法描绘出离散系统的频响图,但当零、极点个数比拟多时,利用几何方法绘制并不容易, 大量的手工计算非常复杂，MATLAB 工具箱提供的函数可以准确方便的画出系统的频响特性图。本设计的目标是利用 MATLAB 工具的强大功能直接绘制出 LTI 离散系统系统的幅频、相频特性图,从图上直观的看出幅度和相位随频率的变化趋势，分析出系统的频响特性。优质文本1.4 研究方法研究方法对于线性时不变离散时间系统的频响特性的研究，主要用以下两个方法去研究一是系统分析，二是计算机仿真。系统分析Systems Analysis一词最早是在 20 世纪 30

17、 年代提出的，当时是以管理问题为主要应用对象，是 管理信息系统 的一个主要和关键阶段，负责这个阶段的关键人物是 系统分析员，完成这个阶段任务的关键问题是开发人员与用户之间的沟通。到了 40 年代，由于它的应用获得成功，得到了进一步的开展。以后的几十年，无论是研究大系统的问题，还是建立复杂的系统，都广泛应用了系统分析的方法。系统分析方法来源于系统科学。系统科学是20 世纪 40 年代以后迅速开展起来的一个横跨各个学科的新的科学部门，它从系统的着眼点或角度去考察和研究整个客观世界，为人类认识和改造世界提供了科学的理论和方法。它的产生和开展标标志着人类的科学思维由主要以 “实物为中心 逐渐过渡到以

18、“系统为中心 ，是科学思维的一个划时代突破。计算机仿真技术是以多种学科和理论为根底，以计算机及其相应的软件为工具，通过虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术。本设计所使用的软件为MATLAB.MATLAB 是一种广泛应用于工程计算和数值分析等领域的大型科技应用软件，它具有顶尖的数值计算和符号运算功能、强大的图形处理功能、简捷易学的编程语言，为实现信号的分析与处理提供了强有力的工具。优质文本第第 2 章章 LTI 离散系统概述离散系统概述2.1 系统分类所谓系统，是由假设干相互联系.相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。系统的分类方法很多，可以从不同的角度对系统进行分类。在信号与系

19、统分析中，常以系统的数学模型和根本特性分类。系统可分为连续时间系统和离散时间系统，线性系统和非线性系统，因果系统和非因果系统，动态系统和静态系统，稳定系统和非稳定系统，集总参数系统和分布参数系统等【4】。连续时间系统和离散时间系统如果系统的输入和输出信号均为连续时间信号，那么称该系统为连续时间系统，简称连续系统。例如：由 R.L.C 等元件组成的电路都是连续时间系统。连续时间鼓励信号 f(t)通过系统产生的响应 y(t)记作 2-y(t)=Tf(t)1 如果系统的输入和输出信号均为离散时间信号，那么称该系统为离散时间系统，简称离散系统。离散时间鼓励信号 f(n)通过系统产生的响应 y(n)记作

20、 2-y(n)=Tf(n)2线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统凡能同时满足其次性和叠加性的系统称为线性系统。但凡不能同时满足其次性和叠加性的系统称为非线性系统。假设电路中的无源元件全是线性元件，那么这样的电路系统一定是线性系统，但不能说含有非线性元件的电路系统就一定是非线性系统。线性，指系统的输入和输出之间同时满足齐次性和叠加性。即，假设系统的输入为优质文本 2-3 12x(n)=Ax (n)+Bx (n) 那么系统输出为 2-412y(n)=Ay (n)+By (n)对于任何 A 和 B 都成立。其中y (n)是输入为 x(n)时系统的输出。齐次性是指当输入信号乘以某常数时，输出信号也

21、相应地乘以同一常数。如图 2-1 所示X(n)ay(n)图 2-1 LTI 离散系统的齐次性 当假设干个输入信号同时作用于系统时，总的输出信号等于各个输入信号单独作用时所产生的输出信号之和。这个性质称为叠加性。如图2-2 所示 1(n)x 2(n)x图 2-2 LTI 离散系统的叠加性时变系统和时不变系统 如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之外无任何其他变化，那么系统是时不变的。；换句话说，当 y(n)=Tx(n)时，假设有 00() ()y nnT x nn2-5那么系统是时不变的,否那么系统是时变的。系统是否是时变的，其检验方法如下：令 2-11( )( )y

22、 nT x n6 2-72210( )( )()y nT x nT x nnT )()(21nynyT优质文本考察一下是否等于？假设相等，那么系统是时不变的；假设不相2 y (n)10)(y nn等，那么系统是时变的。如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之外无任何其他变化，那么系统是时不变的。时不变性，指如果将系统的输入信号延迟 秒，那么得到的输出除了这 秒延时以外是完全相同的，称这样的系统是“时不变的。即假设系统输入 x(t)，对应的输出为 y(t)，那么输入为时系统的输出为。x(t+ )y(t+ )时不变系统：就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时

23、间先后，输出信号响应的形状均相同。用数学表示为 Tx(n)=yn那么 2-00Tx(n-n )=yn-n 8这说明序列先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。x(n) 因果系统和非因果系统凡具有因果性的系统称为因果系统；凡不具有因果性的系统称为非因果系统。任何时间系统都具有因果性，因而都是因果系统这是因为时间具有单方向性，时间是一去不复返的。非时间系统是否具有因果性，那么要看它的自变量是否具有单方向性。例如，一个复杂的光学系统，即使其输入的物体是单侧的，其输出的像也可能是双侧的，他就不具有因果性。本设计主要研究的是线性时不变离散时间系统的频响特性。2.2 LTI 离散系统综述离散时间系

24、统是将一个序列变换成另一序列的系统, 它有多种类型, 其中线性时不变离散时间系统 是最根本、最重要的系统。如果离散系统中乘法器的系数不随时间变化，这种系统便称为时不变离散系统。线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为 h(n)，即 2-9h(n)=T (n) 优质文本任一输入序列 x(n)的相应；由于系统是线性的，y(n)=Tx(n)=T (n-k)所以上式可以写成 2-10y(n)=T (n-k) 又由于系统是时不变的，即有；T (n-k)=h(n-k)从而得 ； 2-y(n)=h(n-k)=x(n

25、) h(n)11 1X (n)2X (n)图 2-3 LTI 离散系统的线性2.3 LTI 离散系统的数学模型用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。离散系统的功能是完成鼓励信号 x(n)转变为响应信号 y(n)的运算，如图 2-4 所示，记为 2-y(n)=Tx(n)12x(n)y(n)图 2-4 离散时间系统离散时间系统同时具有叠加性和齐次性。当假设干个输入信号同时作用于系统时，总的输出信号等于各个输入信号单独作用时所产生的输出信号之和。这个性质称为叠加性。齐次性是指当输入信号乘以某常数时，输出信号也相应地乘以同一常数。离散时间系统的数学模型差分方程常系数线性差分方

26、程的一般形式可表示为： 2-011011( )(1)(1)()( )(1)(1)()NNMMy ny ny nNy nNx nx nx nMx nMaaaabbbbTT n+(n)1a1y2a2y优质文本13式2-13中 a 和 b 是常数，函数的位移阶次是 M，未知函数的位移( )x n( )y n阶次即表示此差分方程的阶次 N。差分方程不仅可以用来描述离散时间系统的输入-输出关系，求解微分方程也往往可以借助它进行系统函数线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述,即 =f(k-i) 2-Niikaiy0)(Mjjb014其中(k)为系统的输出序列,f(k)为输入序列。将上面差分方程两边进

27、行变换得: H(Z)= 2-)()(zFZYNiiiMjjjzazb00)()(zAzB15LTI 离散时间系统的输出的变换与输入的变换的比值为该系统的Y(z)F(z)传递函数,即为系统函数【5】。H(z)=X(z)Y(z)2.4 离散时间系统的模拟连续时间系统可以通过模拟器件，如晶体管.电阻.电容和电感等构成的某种电路来实现，从而完成对连续信号的处理；离散时间系统可用适当的运算单元连接起来加以模拟或实现，从而完成对离散信号的运算处理数值计算。1.根本运算单元离散时间系统根本运算单元有延时器.加法器和标量乘法器，如图 2-5 所示。他们反映或表示了离散时间系统输入和输出的最根本运算关系，通过根

28、本运算单元架构了有序且更复杂的系统。 x(n)x(n-1)(a) 离散时间系统延时器D优质文本 ( ) ( )ax nax n (b)离散时间系统标量乘法器 ( )x n12 x (n)+x (n)(c)离散时间系统加法器图 2-5 离散时间系统的根本运算单元2.系统模拟如何用延时器.加法器和标量乘法器等根本运算单元模拟离散时间系统？假设系统结构或系统模拟图 ，那么可以唯一地确定系统的输入输出关系差分方程。相反，依据离散时间系统的输入输出关系，即差分方程，也可完成系统模拟，得到系统结构，如图 2-6 所示。 x(n)y(n) 图 2-6 某离散时间系统2.5 离散时间系统的频率响应特性离散时间

29、系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应对于线性时不变离散时间系统，当系统函数收敛域包括单位圆时，其H(z)频率特性表示为 H(=H(z)= 2-16ejwTejwTz )()(THeTj式2-16中，称为离散时间系统的幅频特性或幅频响应 ；j T H(e )为的幅角，称为离散时间系统的相频特性或相频响应 。 ( T) j T H(e )对于由实系数差分方程描述的离散系统，有 ， ()()j Tj THHeeTT D优质文本与连续时间系统正弦鼓励下的响应类似，也可看做离散时间系统j T H(e )鼓励为正弦序列时的稳态响应“加权。因为当时X(n)=Azsin(n T)u(n)sin()( )(

30、)()j Tj TAzTX zzzee有 2-sin()( )( )( )( )()()j Tj TAzTY zX z H zH zzzee17仅考虑极点位于单位圆内的情况，那么H(z) 2-1( )Mizj Tj TiiazbzY zzpzzAee18式2-18中，,对于稳态响应局部，可求得ab 2-( )() sin()j tsy nA Hn TTe 19因此，当鼓励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为鼓励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为鼓励初相位与系统相频特性值之和。频率响应特性的几何确定如果系统函数在z平面上零、极点的分布，那么可通过几何方法简便、H(z)直观地

31、求出离散系统的频率响应，即11()( )()MrrNiizH zGzzp有优质文本 11()( )()()()Mj Trj TrNj TiiH zGHTezepe 2-20仿照连续时间系统中计算的几何作图法，在平面也可以逐点求得离散时H(j )间系统的频率响应【6】。利用极坐标表示形式 rj TjrreezB ij TiijpeeA于是幅频响应为 )11(Mrj TrNiiHGBeA2-21其幅频响应为 11MnrirIT 2-22如图2-7所示，图中 、分别表示z平面上极点到单位圆上某点 的iAiipTje矢量-的长度和夹角，如下图。如果单位圆上点D不断移动，就可以Tjeip得到全部的频率响

32、应，显然由于是周期为的周期数，因而Tje2T也是周期函数，因此只要D点转一周就可以确定系统的频率响应。利用j T H(e )这种方法可以比拟方便地由的零、极点位置求出系统的频率响应。可见频H(z)率响应的形状取决于的零、极点分布，即取决于离散时间系统的形式及差H(z)分方程各系数的大小。优质文本122A1p2pT1A011BD2B21z2zjImzImzRez1-1图2-7 频率响应H(的几何确定法Tje由的几何表示可以看出，位于z=0处的零点或极点对幅频特性不产j T H(e )生作用，而只影响相频特性。当点旋转移动到某靠近单位圆的极点附近Tjeip时，由于取最小值，会使相应的幅频特性呈现峰

33、值；相反，当。当点旋iATje转移动到某个靠近单位圆的零点附近时，由于取极小值，而会使相应的rzrB幅频特性呈现谷值。优质文本第第 3 章章 LTI 离散系统的频率响应特性及其仿真分析离散系统的频率响应特性及其仿真分析3.1 离散系统的频率响应特性分析稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值,计算系统的频率响应,可将系统函数中的Z变量用代入即可得到. 频率响应是一个复函数,其模叫幅Tje度响应,其相角叫相位响应,它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律.从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况,从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况.根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响,

34、 概念清楚、简单直观,对信号综合也意义重大,但要将一个较复杂的频率响应复函数转化成幅度响应和相位响应并图示,计算量大且容易出错,图示结果也不一定精确.利用MATLAB函数这些问题都迎刃而解【7】.大多数离散时间信号都可以分解为的线性组合，所以研究 LTI 离散时j ne间系统的频率响应具有极大的意义。在 LTI 的离散时间系统域分析中,常用传递函数和频率响应)来表示系统。对离散系统而言,不仅要知道它的零H(z)H(j )点和极点,还要了解它的频率特性,利用系统函数的零、极点,通过几何方法可以大概描绘出离散系统的频响图,但当零、极点个数比拟多时,利用几何方法绘制并不容易，MATLAB 提供了函数

35、可以准确方便的画出系统的频响特图。3.2 取样响应1单位样值响应定义与作用意义 如果系统的输入为单位样值信号，初始状态均( )ny(-1)y(-2) ,y(-3) y(-N)为零，由产生的系统零状态响应定义为单位样值响应，单位样值信号( )nh(n)和单位样值响应序列在离散时间系统时域分析中起着十分重要的作用。( )nh(n) 在离散时间系统中，鼓励信号本身是一个离散序列，所以离散鼓励信号序列中的每一个离散量施加于系统，离散系统就输出一个与之相对应的响应量，所有响应量叠加起来，便得到系统对任意鼓励信号的零状态响应，也是一个离散序列。当离散的鼓励信号序列为 x(n)= ( ) () ix ini

36、优质文本3-1系统在鼓励作用下，单位样值响应有x(n)= ( )ny(n)=Tx(n)=h(n)由系统的时不变性有 由齐次性 (n-i)h(n-i) x(i) (n-i) x(i)h(n-i)由叠加性 ( ) ()( ) ()iix inix i h ni故零状态响应 ( )( ) ()zsiynx i h ni3-2这种叠加是离散叠加，即求和运算，而不是积分运算，叠加的过程表现为求卷积和，记作 zs y (n)=( ) ()=x(n) h(n)ix i h ni3-3式3-3说明系统在任一信号鼓励下的零状态响应 都能够通过单位样值响应与鼓励信号的卷积和来求解。研究单位样值响应的意义在于单位样

37、值信号是一种根本信号，通过单位样值响应可求解任一信号鼓励下的零状态响应。此外，通过单位样值响应还可以研究系统的性质，它表征了系统本身的传递特性。2单位样值响应的求解单位样值响应的求解单位脉冲序列作用于离散时间 LTI 系统所产生的零状态响应称为单位n脉冲响应, 用符号表示【8】。h(n)对 N 阶 LTI 离散时间系统，满足方程h(n) 00jnbinhamjjnii3-4的求解求解方法: h(n)(1)递推法求单位样值响应优质文本例 3-1:, 试求其单位样值响应。yn-1/3yn-1=xnh(n) yn-1/3yn-1=xnhn-1/3hn-1= n对于因果系统， h-1=0 , x-1=

38、-1=0(2)等效初始条件法 将 dk-j对系统的瞬时作用那么转化为系统的等效初始条件。等效初始条件由差分方程和 h-1=h-2= =h-n=0 递推求出。例 3-2：yn-1/3yn-1=xn即 hn-1/3hn-1=n由 h-1=0 通过上述差分方程可迭代出 h0=1将 h0=1 作为边界条件特征方程为即 31由 h0=1 可求出 C=1由于单位样值响应表征了系统自身的性能因此，在时域分析中可以根h(n)据来判断系统的某些重要特性，如因果性、稳定性，以此区分因果系统与h(n)非因果系统，稳定系统与非稳定系统。210 100113111013311212( )3311 1 ( )33nhhh

39、hhhh nh nn 1,01 330,0nnnh nu nn0311 ( )3nh nC1 ( ) 3nh nu n优质文本3.3 离散时间系统的系统函数H(z)1. 的定义H(z)一个线性时不变离散时间系统的零状态响应其时域为y(n)=x(n)*h(n) 3-5 根据z变换时域卷积定理可知 YXH（z）（z）（z）3-6式(3-6)中， 和分别表示y(n).x(n)和h(n)的z变换。因此定义( )Y z( )X z( )H z ( )( )( )Y ZH zX z3-7为离散时间系统的系统函数，它表示系统零状态响应的z变换与其对应的鼓励的z变换之比值。由式3-7可知 H(z)=&

40、h(n)3-8即系统函数就是离散时间系统单位序列响应的z变换。H(z)h(n)2. 的物理意义H(z)由式和式可知YXH（z）（z）（z）( )( )( )Y ZH zX z H(z)=&h(n)3-9优质文本 即系统函数就是离散时间系统单位序列响应的z变换。H(z)h(n)假设鼓励序列( )kf kz，那么代入式(3-5)，系统零状态响应为 -00( )( )( )( )( )kk ikikfiiykh kzh i zzh i zz H z 3-10因此，也可以看做系统对幂函数鼓励kz的零状态响应的加权函数。H(z)3、的求解方法H(z)对于系统函数的求法一般有以下几种：H(z)(1

41、) 假设鼓励和其零状态响应的z变换，那么根据式(3-7)定义求。(2) 假设系统差分方程时，那么对差分方程两边取单边z变换，并考虑到当n0时， y(n)和x(n)均取零，从而求得。H(z)(3) 假设系统的单位序列响应，那么可根据式(3-8)求。h(n)H(z)例例3-3 设某离散时间系统的差分方程为y(n)+4y(n-1)+y(n-2)-y(n-3)=5x(n)+10 x(n-1)+9x(n-2)试求其系统函数。H(z)解解 对所给差分方程两边取单边z变换，当nzplane(A,B)b=0.2 0.1 0.3 0.1 0.2;a=1 -1.1 1.5 -0.7 0.3;q=roots(a),

42、p=roots(b)q=0.2367+0.89150.2367-0.89150.3133+0.50450.3133-0.5045p=-0.5000+0.8660-0.5000-0.86600.2500+0.96820.2500-0.9682zplane(b,a)程序运行结果如图 4-1 所示优质文本图 4-1系统零极点分布图从图 4-1 看到,系统函数有两个极点不在单位圆内,所以该系统是一个不稳定系统。除了 MATLAB 函数库中所提供的这些函数直接绘制零极点图之外,利用MATLAB 的快速编程的优势,也可自行编写程序来实现这一功能。下面编写了 MATLAB 实用函数 ljdt( ),求零极点

43、,并绘制零极点图,同时还绘制出了单位圆。程序如下:function ljdt(A,B)A=0.2 0.1 0.3 0.1;B=1 -1.1 1.5 -0.7;p=roots(A);q=roots(B);p=p;q=q;x=max(abs(p q 1);x=x+0.1;y=x;clfhold onaxis(-x x -y y)w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)axis(square)优质文本plot(-x x,0 0)plot(0 0,-y y)text(0.1,x,jImz)text(y,1/10,Rez)plot(real(p),imag(p),x)plot

44、(real(q),imag(q),o)title(离散系统的零极点)hold off离散系统的系统函数,调用以上程序就可以绘制出系统零极点图,那么系统的稳定性就可以从图上直观的显示出来。4.2 离散系统的零极点分布与系统稳定性离散系统的零极点分布与系统稳定性离散系统稳定的时域条件和 Z 域条件是等价的。因此，只要考察系统函数H(z)的极点分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便的求出离散系统的极点位置，从而判断系统的稳定性。但对于高阶系统，手工求解极点的位置那么显得非常困难，需要 MATLAB 的实用函数 ljdt( )来实现这一过程【11】。例 4-2：离散系

45、统的系统函数为:1231230.20.10.30.1(z)1 1.11.50.7Hzzzzzz在 MATLAB 中调用上面程序实现如下:?a=0.2 0.1 0.3 0.1; b=1 -1.1 1.5 -0.7; ? ljdt(,)运行结果如图 4-2 所示。优质文本图 4-2系统零极点分布图从图 4-2 上可以看到,该系统函数有 2 个极点不在单位圆内,所以此系统是不稳定系统。结果分析：（1） 假设 H(z)的所有极点全部位于单位圆内，那么系统稳定。（2） 假设 H(z)的极点只要有一个位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，那么系统不稳定。4.3 离散系统的频率特性从以上分析我们知道，离散系统

46、的系统函数 Hz反映了系统本身固有的特性。那么，当离散序列通过离散系统时，系统是如何对不同频率的输入序列进行加工和处理的呢？例 4-3数字滤波器,-1-2-1-20.2+0.3z +zH(z)=1+0.4z +z取样点数为 128 点,那么利用 MATLAB 函数 freqz()可以直接绘制系统的幅优质文本频、相频特性图,MATLAB 程序如下:?num=0.2 0.3 1;den=1 0.4 1;freqz (num,den,128)该滤波器的幅频和相频特性图如图 4-3 所示图 4-3 系统频率响应图从图 4-3 上可以很直观的看出幅度和相位随频率的变化趋势。从幅频曲线上可直观看到各频率分

47、量的幅度变化情况, 从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况.另外还可利用函数 impz( )由系统的传递函数求冲激响应等等,方便的进行离散时间系统的时域分析。结果分析:稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值,计算系统的频率响应,可将系统函数中的Z变量用代入即可得到.频率响应是一个复函数,其模叫幅ejw度响应,其相角叫相位响应,它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律.根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响, 概念清楚、简单直观, 对信号的综合也有重大意义,它能将一个较复杂的频率响应复函数转化成幅度响应和相位响应并图示,计算量不大且不容易出错, 图示结果也精确.利用MATLAB函

48、数使一些问题都迎刃而解.以上仿真分析了离散时间系统函数的零极点图和系统稳定性,同时对系统的频响特性进行了仿真。可见利用 MATLAB 可以使离散系统域分析更加简便,为系统分析提供了有效、优质文本便捷的方法,结果准确可靠。第 5 章 结论随着科学技术的开展，离散系统的理论研究与实践迈上了一个新的台阶。优质文本将 MATLAB 引入离散时间系统中，可以深入浅出地分析信号的特点以及系统的特性，实现了实验与分析同步进行。实践说明，利用 MATLAB 的计算功能易于理解和接受抽象的理论，并能够更深刻地分析 LTI 离散系统的频响特性，使科技人员对大量原始数据的分析变得轻松自如和得心应手，真正将科技人员从繁重的数学运算中解放了出来。本毕业设计经过对 LTI 离散系统理论知识的概述，通过运用 MATLAB 仿真软件，构建了典型的 LTI 离散系统。分析结果说明利用 MATLAB 辅助分析离散时间系统, 具有编程简单、计算准确、绘图方便、结果直观等特点, 只要掌握了系统分析的概念原理和方法, 繁杂的分析计算及图形显示均可用 MATLAB实现，这不仅使大量的手工计算得以简化,也使得系统分析更为简便和高效; 利用 MATLAB 的绘图功能,有利于分析结果的直观理解, 也有