圆锥曲线题型归纳2

1、华罗庚数学为全国学生提供优质教育圆锥曲线题型归纳题型八轨迹问题、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的 技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。例24.已知直角坐标系中，点Q( 2, 0)，圆C的方程为X? + =1 ,动点M到圆C的切线长与 MQ的比等于常数(O),求动点M的轨迹。2 2 2【解析】设MN切圆C于N,则MN =IMo - ON 。设M(x,y), 则 X2 y2 -1 - . (x -2)2 y2 ,化简得2 2 2 2 2( -1)(xy 4 X (1 4 O5(1) 当，=1时，方程为X，表示一条

2、直线。4聪明在于勤奋，天才在于积累5(2)当，=1时，方程化为(x-2222:V1 32表示一个圆。例25.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 =4.过动点P分别作圆O2、圆O2的切线PM ,PN(M ,N分别为切点)，使得PM = 2PN 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为X轴, 建立如图所示的平面直角坐标系，则01(-2,0)， O2(2,0).由已知 PM=J2PN ,得 PM 2 =2PN 2.因为两圆半径均为 1 ,所以PO12 -1 =2(PO： -1).设 P(X,y),贝U (X 2)2 y2 1 =2(x 2)

3、2 y2 -1,2222即(X -6) y =33.(或 Xy 12x 3=0)方法总结：1、用直接法求动点轨迹一般有建系 ，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。、定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例26.已知动圆过定点2,0 ，且与直线X 一:相切，其中P . 0.求动圆圆心C的轨迹的方程;【解析】如图，设M为动圆圆心，P ,0为记为F ,过点M作直线x = _P2I I

4、 I I的垂线，垂足为 N ,由题意知：MF = MN即动点M到定点F与定直线X=-P的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中2F P ,0为焦点，x = -P为准线，所以轨迹方程为 y2=2px（P0）。2 2例27.已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分 线交OM于点P,求点IP的方程。II【解析】由中垂线知，PA=PM故PA Po = PM Po= OM -10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为2 2(X 3). y2516125 。ABCI可求得动点P的轨迹方程为:例28.已知A

5、、B、C是直线I上的三点，且IABFlBC=6 , O'切直线I于点A,又过B、C作O 0'异于I的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于I的两切线分别切O 0'于D、E两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD| , |PDFIPEI , |CAFICEI ,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC| ,故由椭圆定义知，点P的轨迹是以 B C为两焦点的椭圆，以I所在的直线为X轴，以BC的中点为原点，建立坐标系,2

6、 2U18172方法总结：定义法的关键是条件的转化一一转化成某一基本轨迹的定义条件。、相关点法（代入法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另动点Q（X' y'）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将X' ,y'表示为x,y的式子，再代入 Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。2 2例29.如图，从双曲线 x-y =1上一点Q引直线+y=2的垂线，垂足为 N。求线段QN的中点P的轨

7、迹方程。【解析】设动点 P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x,y）贝U N（ 2x-x1,2y-y）代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y =2又PQ垂直于直线x+y=2,故-一y =1,即卩x-y+y-x=0X-X13 113由解方程组得 x1X y-1,y1 X y1 ,代入双曲线方程即可得 P点的轨迹方2222程是 2x2-2y2-2x+2y-1=02 2例30.已知椭圆 务+ y2=1（a Ab >0）的左、右焦点分别是F1（c,0）、F2（c,0）,Q是椭圆外a b的动点，满足IFIQI=2a点P是线段RQ与该椭圆的交点，点 T在线段F2Q上，并且满足PT TF0,TF2

8、 F0求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为（x, y）.当| PT |=0时，点（a , 0）和点（一a , 0）在轨迹上.当 I PT 卜 0且 ITF2 卜 0 时，由 PT TF2 = 0 ,得 PT TF2 .又I PQ I=I PF2 I ,所以T为线段F2Q的中点设点Q的坐标为（XIy ),X +cX =2因此X=2x-c,Ly =2y由 IRQF2a得(X c)2 y 2 =4a2将代入，可得X2 ya2.综上所述，点T的轨迹C的方程是X2 ya2解法二：（几何法）设点T的坐标为（x, y）.当ipti = 0时，点（a, 0）和点（a , 0）在轨迹

9、上为全国学生提供优质教育当丨 PTl=O且 TF2 I=O时，由 IPTl TF2 卜0 ,得 PT _ TF2 又 IPQ I=I PF2 | ,所以 T为 线段F2Q的中点在厶QF1F2中，IOT I= 11 F1Q Ha ,所以有X2 y2 = a2.2综上所述，点T的轨迹C的方程是X2 y2 =a2方法总结：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例31.在平面直角坐标系 XOy 中,抛

10、物线y=x2上异于坐标原点 O的两不同动点 A、B满足AO Bo（如图所示）求厶AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以 OA的斜率k为参数，由啊y二 kx2 二 X聪明在于勤奋，天才在于积累91ykx ,解得2设厶AOB的重心G（ X，y），则解法二：设 AOB 的重心为 G(x,y),A(X1,y1),B(2,y2),则X1 +x2X =3 ( 1)1OAOB, OB： y X 由k i y = XXJ kJk丿2丄k22 2消去参数k,得重心G的轨迹方程为y =32 23°AOB koA koB一1 ,即 X1X2y”2 =T ,田华罗庚数学又点

11、A, B在抛物线上，有 y =xj,y2 =x；,代入(2)化简得x1x2-1y1+y2l22l212 22 2y -(x1x2)(x1 x2) - 2x1x2(3x)3x33333322所以重心为G的轨迹方程为y=32-。3例32.如图，设抛物线C : y =X2的焦点为F,动点P在直线丨：X 一 y 一 2 =O上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB,且与抛物线 C分别相切于 A、B两点求 APB的重心G的轨迹方程【解析】设切点 A、B坐标分别为(X,X；)和,切线AP的方程为：2x0x - y-x2 =0;-切线BP的方程为：2x1X-y-X1 = 0;解得 P点的坐标为： XP=X

12、0 £ X1 , yP二x0x1X + X + X所以 APB的重心G的坐标为 XG01 P=XP ,3yG2X0X12X0X1(X。Xj2 -X°X134xp2 - yp所以yp =-3yG 4xG ,由点P在直线上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为: X -(-3y 4x2) -2 =0,即y gx2 -x 2).五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法, 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。交轨法实际上是参数法中 的一种特殊情况。2例33.过抛物线y ' 4px(p O)的顶点作互相垂直

13、的两弦OA、OB,求抛物线的顶点 O在直线AB上的射影M的轨迹。2解1 (交轨法)：点A、B在抛物线y2 = 4p( P 0)上，设A(注 4pYa)，B(y旦，Yb),所以 k°A=424pYakoB=4P，由 OA 垂直 OB 得 koA koB = -1,得 yAyB= -16p2，又 AB 方程可求得 Yb2y yA = (X- YA)，即(yA+yB)y-4px-yAyB=0，把 yAyB= -16p2代入得 AB方程Ya Yb 4p4p 4p2Y a + Yb（Ya+yb） y-4px+16p =0 又 OM 的方程为 y -X -4P由消去得 Ya+yb 即得 2 y2

14、 -4p = 0，即得（x 2p）2 y2 = 4 p2。所以点M的轨迹方程为（X-2p）2 y2 =4p2 ,其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆， 除去点（0，0）。解2 （几何法）：由解1中AB方程（ya+yb） y-4px+16p2 =0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB, 所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。所以方程为2 2 2（x-2 P） y = 4p ，除去点（0，0）。方法总结：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点 的两个坐标间的关系即可。例34.已知定点F（ 1，0），动点P在y轴上

15、运动，过点 P作PM交X轴于点M ,并延长MP到点N，且 PM PF= 0, PM 冃 PN |.（1）动点N的轨迹方程;（2）线I与动点N的轨迹交于A，B两点，若 OA OB = -4,且4 6 <| AB F 4 30 ,求直线 l的斜率k的取值范围.解：（1）设动点N的坐标为（x,y），则M (-x,0),P(0,PF=（1,y）,由 PM PF = 0得X+L24（2）设I与抛物线交于点 A（ X1,y1）,B（X2,y2），当I与X轴垂直时，则由=0，因此，动点的轨迹方程为2y =4X(X 0).OA OB =-4,得 =2 2,y2 =-22, AB=4 24 6 ,不合题意

16、，故与l与X轴不垂直，可设直线华罗庚数学为全国学生提供优质教育I的方程为y=kx+b(k 0)则由OA OB- -4,得X1X2 12 -4 ,由点A, B在抛物线y2 =4x(x 0)上,有 y1 =4x1,yj =4x2,故y1y2 = -8.又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2- 4y+4b=0,所以因为4b = -8,b = -2k . : =16(1 2k2), AB 2 = 1 (1t 32)， kk k4 .6 AB 氏4.30,所以 96 <32480聪明在于勤奋，天才在于积累31解得直线I的斜率的取值范围是一1,一$1,1 2 2题型九对称问题2 2XV例35.若

17、椭圆1上存在两点A,B关于I : y =4x m对称，求m的取值范围。23221解法（1）设直线AB的方程为y = X + n ,二由4X-23 消去y得1 +y = 一 X + n42 225x -8nx 16n -48 =O,由题意知该方程有两个不等实根，故225n8设 A Xi, y ,b X2, y ,则X1X2设AB中点M xo, yo ,则4nXo258n25 ,124nV0X0 n =425又点M在直线y = 4x m上，.24 n2516nm . n2525m25< 一82/2 m5解法(2):设A x1,y1 ,B X2, y2 , AB M X0, y , K AB1

18、Ki 4丫2 - V1X2 -X13x12 +2v2 =6J ZJZ又A,B在椭圆上,22,两式相减得 3(x1 +2 Ix1 -X2 )+2(y1 + V2 I V1 - V2 )= 0 ,3x2 2v2 =6即 3 *2x0 2 *2y0 定 y1 = 0 ,也即 y0 = 6x0X2-X1二二中点M在I上丫0 = 4x0 m由(1徉求得M Ifm,m ),又二I必在椭圆内部.3x0 2y0 ： 6< 6 ,解得一空2 ：m ：乙2。5例36.已知实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线S的焦点在X轴上，直线y -3x是双曲线S的一条渐近线，而且原点0,点 A(a，0)和点B (0, -b

19、)使等式 IOA 2 |OB |4 |0A|2 0b2 成3(I)求双曲线S的方程;(II)若双曲线S上存在两个点关于直线I : y = kx 4对称，求实数k的取值范围.2解：(I)根据题意设双曲线 S的方程为Xia2計1,b = 3 且 a2 丄 1 242. 2a +b =-a bJ3解方程组得a =1,b =3.所求双曲线的方程为2y IX1.3(II)解法一(设而不求法)：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l : y =kx 4对称;当k=0时，设双曲线S上的两点M、N关于直线I对称，由I_ MN ,直线MN的方程为y = -x m,则M、N两点的坐标满足方程组 k-X

20、m) k ,2 23x - y - 3.消去y得2 2 2 2 2(3k -1)x2kmx-(m 3)k = 0.显然 3k -1-0,2 2 2 2 ： =(2km)2 4(3k21)(m2 3)k2 0.即 k2m23k2-1 0.设线段MN中点为D(x0,y0),贝U-kmx° ：3k2 -13k2my。：3k2 -1D(x0, y°)在直线 l : y = kx 4上,2 23k m km,4.即 k m =3k T.3k -1 3k -1k2m =3k2 -1k2m2 3k2 -102 2 2km mk 0,解得 m O或 m ： -1.3 .0 或k亠 3k2

21、-12 12 1'31.k 或 k .即 | k | 或 |k|：,且 k = 0.3432了311?3.k 的取值范围是(-二， -)(-一,0) (0, ) (：)3223解法二(点差法)：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线丨：y =kx 4对称;当k =0时，设M(x1,y1)N(x2,y2)且MN的中点P(x, y)则M、N在双曲线上，有22y1X1=132两式相减整理得2y2X2=13«-纺3（1X2）又 yY21X1-X2y1y2X1 -血kx1 x2 =2xy1 y2 =2y1所以y - -3kx代入y =kx 4得P（_ ,3）又P在双曲线的内部，

22、故）2 3 1 或（- 一）" 3 ： 0解得 | k |或 | k | ：,且k - 0.kk32/-/-3113.k 的取值范围是（-：，）（-一,0）（0-） C。3223题型十存在性问题2X 例37.设椭圆E: a2 _ _y2=1( a,b>0)过 M (2，J2)，N(J6,1)两点，O 为坐标原点, b(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA OB ?若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解：(1)因为椭圆E:22Xy22=1 （ a,b>0）ab过 M (

23、2，)，N( 76 ,1)两点，刍1所以a2 b2A丄=1a2 b21解得a28 所以丄Ub242ab2_8 2 2 椭圆E的方程为X 乞=1=484 O（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,且O_OB，设该圆的切线方程为y = kx+m 解方程组.匚 y = kx mx2 y2 得 X +2(kx+m) =8 即 一 + =1 ' 84,2 2(1 2k )x2 2 2 2 24kmx 2m -8=0 ,则 = 16k m -4(1 2k )(2m -8)=8(8k2 2- m 4) 0即8k24km-m2 4 .0 oX1 X221+2k

24、 ,2m2 _8X1X2牙1 2k2 2y1y2 =(kx1 m)(kx2 m) =k x1x2 km(x1 x2) mk2(2m2 -8) 4k2m21 2k22 +m1 2k222m - 8k1 2k2要使OA-OB ,需使住"。，即52 2m -8k+1 2k所以3m2_8k2_8=0 所以/二吟一0。又8k2一m2 4 0，所以2m23m_82所以m23即2、62 6即m或m _ -33因为直线y =kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为Jk222 m,r 21 +k22mI 3m2 -888,r二亠6 ,所求的圆为X2 V8333此时圆的切线y = kx m都满

25、足2、6亠.2用m 或 m - 一33而当切线的斜率不存在时切线为X =2 2X V与椭圆1的两个84交点为（乙2 _二）或（3332 6 2 6、-V)满足Q-QB O综上，存在圆心在原点的圆因为2 2 8X V = _34km_ 21 2k2 ,2m-8X1X2牙1 2kXiX2 口所以(x1 -X2)2 = (x1 X2)2 -4x1x2 =(,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,4km、2, 2m2 -88(8k2E 4 7 _m24)(1 2k2)2I AB I= (XI -X2) ' y1 -y2 - (I k )(X x2)=(1.k2)8(8k2 - 亦

26、 4)(V 2k2)232 4k4 5k2 13 4k4 4k2 1k23 1 4k4 4k2 1,当 k"时 |ABH 321：34k2®43232_所以1乞12,332133 4k 2 4k当 k =0时,AB = 4 632 1 1 1因为 4k22 4 _ 8 所以 0 ： -k2“2 亠 Iyl8，4+4k2所以4：| AB2'3当且仅当k 2时取”=”32 当AB的斜率不存在时，两个交点为(症,一卫)或(-辽,一題),所以此时|AB|=,33333综上,|AB | 的取值范围为 4_| AB |_2、,3 即:| ABp .6,2,333O2例38.在平

27、面直角坐标系 XOy中，经过点(0, 2)且斜率为k的直线I与椭圆 y2 = 1有两个不同2(I)求k的取值范围;(II)设椭圆与X轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A B ,是否存在常数k ,使得向量T T TOP OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由._ 2解: (I)由已知条件，直线l的方程为k,代入椭圆方程得行(kXT)T.整理得1 k2 2 +2 JJkX +1 = 0 直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于l2J=Bk2 -4 I1 k2 '=4k2-20 ,解得k -或k - 即k的取值范围为12丿 2 2()设 P(X, yj, Q(X2,y2),则

28、 OP OQ= (Xi X2,yi y2),由方程,X1X2 =4. 2k1 2k2又 y1 y2 = k(x1 x2) 22 .而 A( 2,0, B(0,),AB = ( _、, 2，).所以 OP OQ 与 AB 共线等价于 X1 X2 - -2(yr y2),将代入上式，解得k诗.由 (I) 知 kV或k与，故没有符合题意的常数X2y2例39.设Fi、F2分别是椭圆+= 1的左、右焦点54(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值；()是否存在过点A ( 5,0)的直线I与椭圆交于不同的两点CD,使得F2C=F2D?若存在，求直线I的方程；若不存在，请说明理由.解

29、：易知 a -5,b = 2,c = 1, F1 = (-1,0), F2(1,0),设 P (x, y),则 PFI PF2 = (-1 X, y) (1 - X, y) = X2 y2 -1, 24 -4 2 -1 = 1 2355；X -'、5, 5, 当X = 0 ,即点P为椭圆短轴端点时，PF1卩F2有最小值3;当X= . 5 ,即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值4 。()假设存在满足条件的直线l ,易知点A ( 5, 0)在椭圆的外部，当直线I的斜率不存在时，直线I与椭圆无交点，所在直线I斜率存在，设为k,直线l的方程为y =k(x-5),'2 211

30、2 2 2 2由方程组 54 ,得(5k4)x -50k X 125k -20=0y k(x-5)依题意 A. =20(16 -80k2)0,得2k5当*亠时，设交点55c(x1,yj、D(X2,y2) , CD 的中点为 R(X0,y°),则 X1X250k25k24X0X1X 2225k25k24=k(xo -5) =k(25k25k24-5)-20k5k24又 F2C=F2Du F2RJ = k Rf2R=T ,0-(kkF2R20k )5k24)25k225k 4220k24 -20k2 20k2=20k2- 4,而 20k2=20k2- 4 不成立,所以不存在直线I ,使得

31、F2C=F2D。综上所述，不存在直线l,使得F2C=F2D2 2例40.椭圆G:X-y-=1(a b . 0)的两个焦点为F1'F2,短轴两端点Bi、B2,已知FvF2、Bra bB2四点共圆，且点 N ( 0, 3)到椭圆上的点最远距离为 5.、2.(1) 求此时椭圆G的方程；(2) 设斜率为k ( k0的直线m与椭圆G相交于不同的两点 E F, Q为EF的中点，问E、F<3两点能否关于过点 P (0, 3 )、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.3解：(1)根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该

32、椭圆中a =、一2b = . 2c,即椭圆方程可为X2 2y2 =2b2 , H (x,y)为椭圆上一点，则 IHN I2 = X2 (y 一3)2 =-(y - 3)2 2b2 18,其中b 乞 b , 0 . b .： 3 ,贝U 目=b时,| HN |2有最大值 b2 6b 9 , b2 6b 9 = 50得b_5、2 (舍去)，2 2 2 2b_3,当目=T时,|HN |2 有最大值 2b218 , 2b 18=50得b -16 ,2 2所求椭圆方程为-y 132162 23216(2)设 E(X1 ,yI), F(X2, y2), Q(X0,yO),则由彳 22两式相减得 x

33、6; + 2ky° = 0 区+ =13216又直线PQ丄直线 m,直线PQ方程为将点Q ( X0,y°)代入上式得,1y。 X0k由得Q( Uk 亠33),Q点必在椭圆内部I，由此得k2弓又k7 -仝4*0或0 *.942P、Q的直线对称。3 ,过右焦点F的直线I与C相交于A、B两4v'94故当k (=,0)(。,)时，BF两点关于点22X yC : + -T =1(a a b >0)例41.已知椭圆 a b的离心率为点，当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为2。(I)求a , b的值;T T T(Il) C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有

34、OP =OA OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与I的方程；若不存在，说明理由。解：(I)设F c,0 ,当I的斜率为时，其方程为x-y-c=0,O到I的距离为0 -0 -c2,故,得() C上存在点P ,使得当I绕F转到某一位置时，有 OP = OA OB成立。由(I)知椭圆C的方程为2 22x +3y =6.设 A(X1,y1), B(X2, y2).(i )当I不垂直X轴时，设I的方程为y = k(x -1)假设C上存在点P,且有OP=OA OB成立,则 P点的坐标为(1+2, y1 十 y2), 2(x1+x2)2+ 3(y1 + y2)2=6 整理得2 2 2 22x1 3y12x

35、2 3y2 4x1X2 6y1y2=62 2 2 2又A、B在C上，即 2X13y1 =6,2x2 3y2 =6故 212 3y1 y23 = 0将y =k(x -1)代入2x2 3y2 = 6,并化简得2222(2 3k )x -6k x 3k -6 = 0S 丄6k23k2_6是 X1 X2=冇'X1X2=右24k2yy =k2(X1 -1)决-2)22 + 3k代入解得,2 C3k =2，此时 122k3k是 5 2= k(%X2 -2)=，即 P(-，)222因此,=-、2 时，P(?,-2)， I 的方程为 '.2y-,2=0 ；2 2综上,例42.当I垂直于C上存在

36、点32h：2 时，P(, ” )，I 的方程为 '.2x - y -、.2 = 0。2 -2)，X轴时，由OA OB =(2,0)知，C上不存在点P使OP=OA OB成立。P(3_)使 OP=OA OB 成立，此时 I 的方程为、.2x_ y -2 = 0.2 22 2X VX-2v+2-0Cr+72 T(a>b a0)C已知直线x zy 2 一 0经过椭圆a b的左顶点A和上顶点D,椭圆C的I 10I ： 右顶点为B，点S是椭圆C上位于X轴上方的动点，直线AS, BS与直线3分别交于M , N两点。(I)求椭圆C的方程；()求线段MN的长度的最小值;(川)当线段MN的长度最小时

37、，在椭圆C上是否存在这样的点T ,使得TSB的面积为5 ?若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由解：(I)由已知得，椭圆 C的左顶点为 A(-2,0),上顶点为D(0,1),. a=2,b=12故椭圆C的方程为 y2 =14()直线AS的斜率k显然存在，且k 0,故可设直线 AS的方程为y =k(x 2),从而QA=k(x + 2)1016k2222M(-,)由 x22 得(1+4k )x +16kx+16k 4 = 0,3 3 + y2=1，.4 y设 S(x1,yJ,则(一2), Xl2216k -4/曰2-8kZ4k2得x12 ,从而y121 4k1 4k1 4k2即S(2-8k22

38、1 4k又 B(2,0)由 <，1y (X-2) 4k10X=310X =得 3y丄Iy 3k1 0 1N(-r ,-故IMN I =3 3k16k1+ 3 3k又k >0二|MN |=空+丄色2Qk 丄 =8 ,当且仅当16k =丄，即k=1时等号成立。3 3k V 3 3k 33 3k4.k =1时，线段MN的长度取最小值843 O1（川）由（）可知，当 MN取最小值时，k此时BS的方程为46 4442X y亠。,特訐昭=2 ,所以41要使椭圆C上存在点T ,使得TSB的面积等于-，只须T到直线BS的距离等于5J2T在平行于BS且与BS距离等于 的直线I上。4设直线l : x+

39、 y + t =0 ,则由垮呼解得tV或t 一5例43.已知双曲线X2 y2=2的左、右焦点分别为F1 , F2 ,过点F2的动直线与双曲线相交于 A, B两点.（I）若动点M满足FM =裁忌FO （其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程;（II）在X轴上是否存在定点 C ,使CACB为常数？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.解：(I)由条件知 Fl(-2,0) , F2(2,0),设 A(x1, y1), B(x2, y2) 设 M (x, y),则 HM =X 2y ),TT-H-> T I TF1A = (x12, y1) , F1B = (x22, y2),F1O = (2,0),由 FMl