A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

1、手拉手模型要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：(1) ABD AEC (2)+/BOC=180例1.如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形(1) ABE DBC(2) AE DC(3) AE与DC之间的夹角为60(4) AGBDFB(5) EGBCFB(6) BH 平分 AHC(7) GF / ACA变式精练1:如图两个等边三角形ABD与BCE ,连结AE与证明(1) ABE DBC(2) AE DC(3) AE与DC之间的夹角为60(4) AE与DC的交点设为H , BH平分 AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD与 BCE ,连

2、结AE与CD ,证明(1) ABE DBC(2) AE DC(3) AE与DC之间的夹角为60(4) AE与DC的交点设为H , BH平分 AHC例2：如图，两个正方形 ABCD与DEFG，连结AG,CE ,二者相交于点H问：(1) ADG CDE是否成立(2) AG是否与CE相等(3) AG与CE之间的夹角为多少度(4) HD是否平分 AHE例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG ,连结AG,CE ,二者相交于点H问：(1) ADGCDE是否成立(2) AG是否与CE相等,(3) AG与CE之间的夹角为多少度(4) HD是否平分 AHE例4：两个等腰三角形 ABD与 BCE ,其中AB

3、 BD , CB EB, ABDCBE,连ZAE 与 CD ,问：(1) ABE DBC是否成立(2) AE是否与CD相等(3) AE与CD之间的夹角为多少度(4) HB是否平分 AHC例5:如图，点A. B.C在同一条直线上，分别以 AB BC为边在直线AC的同侧作等边三角形 ABD BCE. 连接AE、DQ AE与DC所在直线相交于F,连接FB.判断线段FR FE与FC之间的数量关系，并证明你的结 论。【练1】如图，三角形 ABC和三角形CDE都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62 ,求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的

4、线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的 线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、 平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线A4ABC中J ； A AD是BC边中线B.，CB-D 方式2:间接倍长A作 CF，AD 于 F,J F；作BH AD的延长线于E/ J 一_连接 BE方式1 :延长AD到E,/使 DE=AD/C连接BE“DEA延长 MD!ij N,M , ,/使 DN=MD/、连接CDABE【例1】 已知： ABC中，AM是中线.求证： AM -(AB 2【练1】在 ABC中，AB 5 , AC 9,则B

5、C边上的中线【练2】如图所示，在 ABC的AB边上取两点E、FAC BC EC FC .、二CNAC).A ;BMCAD的长的取值范围是什么:使AE BF ,连接CE、CF ,求证：【练3】如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC D是AB上一点, 交BC于E.求证：DE=EF倍长中线、截长补短）【例2】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,求证：AC【练1】如图，已知在F ,求证：ABC中，AD是BC边上的中线,AF EF【练2】如图，在 ABC中，AB>AC E为BC边的中点, 于F,交CA的延长线于 G.求证：BF=CG.CF是AC延长线上的一点，且 BD=CF连结DFE

6、是AD上一点，延长BE交AC于FAF EF ,E是AD上一点，且BE AC ,延长BE交AC于AD为/BAC的平分线，过 E作AD的平行线，交 AB【练3】如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F ,交AB 于点G ,若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.【练4】如图所示，已知 ABC中，AD平分 求证：EF / ABBAC , E、F分别在BD、AD 上.DE CD , EF AC .【例BE3】已知AM为 ABC的中线， AMB , CF EF .AMC的平分线分别交【练BE1】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点,4 ,则线

7、段DE的长度为D、E分别在边CA、AB于E、交AC于F .求证:CB 上，满足 DFE 90 .若 AD 3 ,【练2】如图， ABC中，AB=2AC AD平分BC且AD± AC,则/ BAC=D【练3】在 ABC中，点D为BC的中点，点 M、N分别为 AB、AC上的点，且 MD ND.（1）若 A 90 ,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形若能, 直角三角形或钝角三角形该三角形是锐角三角形、(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2 ,求证 AD2 - AB2 AC24【例4】如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE , P为CE中点，连接PA、PD . 探究PA、P

8、D的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形 ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q . 探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在 ABC中，CD AB, BAD BDA , AE是BD边的中线.求证：AC 2AE【例5】如图所示，在 ABC中，AB AC,延长AB到D ,使BD AB , E为AB的中点，连接CE、CD , 求证CD 2EC .【练1】已知 ABC中，AB AC , BD为AB的延长线，且 BD AB , CE为 ABC的AB边上的中线.求证：CD 2CE【练2】如图，CB、C皿另1J是钝角 AEC锐角 ABC中线，且AC

9、=AB/ACB至ABC.求证CE=2CD.【例16如图，两个正方形 ABDE和ACGF,点P为BC的中点，连接 PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形 ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段 ME与MC数量关系和关系.如图，若将上题中正方形 EBGF绕点B顺时针旋转 度数（90 ）,其他条件不变，上述结 论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由许多问题里都有着广泛的应用 边或把两个短边放到一起；全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在（把长边截

10、成两个短.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法 出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等,全等）【例10如图所示,ABC 中,C 900, B 450 , A叶分 BAC 交 BC于 D。求证：AB=AC+CD【练1】如图所示，在ABC 中,B 600 , ABC的角平分线ADCE相交于点Q求证:AE+CD=AC【练2】已知 ABC中，A 60,BD、CE分别平分 ABC和 ACB , BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【练2如图，在四边形 ABCD43,AD / BG AE平分/ BAD交DC于点E,连接BE,且AE&#

11、177; BE,求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图，在4ABC中，/A=90° ,【例11】已知如图所示，在4 用）【练4】点M N在等边三角形 ABC的AB边上运动，BD=DC/BDC=120 , / MDN=60 ,求证 MN=MB+NCABC中,AD是角平分线，且AC=AB+BD说明/ B=2/ C （不只是边，倍角也适AB= AC, BD± AC交 AC于点 D.求证：/ DBC【练1】如图，在 ABC中,1 ,-=Z BAC2【例12如图所示，已知 12 , P为BN上一点，且PD BC于D, AB+BC=2BD求证：BAP BCP 18000【练1】如图

12、，在四边形ABCM, BO BA, AD = CQ B叶分求证： A1800【例13如图所示，在RtABC 中，AB=AC BAC 900,ABDCBD , CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE【练1】已知：如图示, ABC的平分线.求证：CD=2AD ABC中，/ A=90° , /【练2】如图所示，在ABC中， ABC 900 , AD为 BAC的平分线,求证：AC-AB=2BEAD于E点,C=30°, BE【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE EF,交/ DCH的平分线于点 F,求证AE=EF【练4】已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC

13、的延长线上，DE交BC于F,且DF=ER求证：BD=CE【练5】在四边形 ABCN, AB/ DC E为BC边的中点，/ BAE1 EAF, AF与DC的延长线相交于点 F。试探 究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15如图在 ABC中，AB>AC,Z 1 = Z 2, P为 AD上任意一点,求证： AB-AO PB-PCA12PBC【练1】已知AM为 ABC的中线, 求证：BE CF EF .AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .如图，E是 AOB的平分线上一点,EC OA , ED OB ,垂足为C Do 求证：(1) OC=OD (2) DF

14、=CF构造等边三角形1、如图，已知4ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,/ADB=60 , E是AD上一点，且有DE=DB. 求证：AE=BE+BC.2、在等腰 ABC中，AB AC ,顶角 A 20 ,在边 AB上取点D ,使AD BC ,求 BDC .AB C练习1、如图,在 ABC中,/ACB=90 ,BE平分/ ABC,D吐AB于D,如果 AC=3cm那么AE+DE等于B、2 cm3cm4cm5cm练习2、在4ABC 和A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C', 点 D,D'分别是 BC,B'C

15、9;的中点，且 AD=A'D',证明:ABC ABC.（倍长中线）练习3、如图，在 ABC中，BE是/ ABC的角平分线， AD± BE,垂足为 D,求证：/ 2=/1 + /C练习4、如图（1）,已知 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过A的一条直线，且 B C在A E的异侧, BDL AE于 D, CE! AE于 E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD<CE）,其余条件不变，问 BD与DE CE的关系如何请直 接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变，问

16、 BD与DE CE的关系如何请直 接写出结果，不需说明理由.如图所示，在 RtABC中，AB= AG / BAC= 90° ,有过 A的任一条直线 AN 证：DE= BD- CE.（思路：截长补短法）BD± AN 于 D, CE1 AN于 E,求，且/ABD=60 ,BD+DC=A球证：/ ACD=60 .（截长补短）1、如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE, P为CE中点，连接PA、PD . 探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形 ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形 EBGF绕点B顺时针旋转 度数（90 ）,其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说