2021中考数学专题01新定义材料阅读类创新题

1、2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题1新定义材料阅读类创新题1. （2019年南京第27题）2. （2019年南通第28题）一彳 ，3. （2019年嬴第26题）（ :4. （2019年镇江第26题） 15. （2018年南京第27题） ，6. （2018年亩通第28题）一八、一/，n、一/、一题组四、'题组一/ ，题组二， ，题组三【真题再现】1. （2019年南京第27题）【概念认识】城市.的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可 以按照街道的垂直和平行方向建立平而直角坐标系xQv，对两点d （xl，y

2、l）和8 （也，皿），用以下方式定义两 点间距离:d（4 B）=卜1-刈+历-）吼【数学理解】（1）己知点且（-2, 1）,则d （O, K） =.函数y= -2x+4 （0WxW2）的图象如图所示，8是图象上一点，d（。，B） =3,则点3的坐标是.（2）函数（、0）的图象如图所示,求证：该函数的图象上不存在点C,使d（0, C） =3.（3）函数y=/-5x+7 （x20）的图象如图所示，。是图象上一点，求d（。，D）的最小值及对应的点。的 坐标.【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以河为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直 角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路

3、最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）112. （2019年南通第28题）定义：若实数x, y满足r=2x+r,且xHy, 7为常数，则称点MG, y）为“线 点”.例如，点（0, -2）和（-2, 0）是“线点”.已知：在直角坐标系八。，中，点尸（m, ）.（1）Pl（3. 1）和乃（-3, 1）两点中，点 是“线点”；（2）若点尸是''线点”，用含，的代数式表示加人并求，的取值范围；（3）若点。（，力是“线点”，直线尸。分别交x轴、y轴于点$ B,当|NP。- ZAOB=30°时，直接写 出，的值.3. （2019年常州第26题）【阅读

4、】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关 系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.【理解】（1）如图1，两个边长分别为b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用 两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论：（2）如图2, 行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：“2=.【运用】（3） 边形有个顶点，在它的内部再画册个点，以（加+）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最 多可以剪得1y个这样的三角形.当 =3,m=3时，如图3,最多

5、可以剪得7个这样的三角形，所以尸7.当=4,加=2时，如图4, y=:当=5, 时，7=9：对于一般的情形，在边形内画，个点，通过归纳猜想，可得y= （用含h的代数式表示）.请对 同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.4.（2019年镇江第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的0。）.人们在北半球可观测到北极星， 我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系 有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星 时，短边与棉线的夹角a的大小是变化

6、的.【实际应用】观测点.4在图1所示的O。上，现在利用这个工具尺在点X处测得a为31° ,在点,4所在子午线往北的另一个 观测点瓦 用同样的工具尺测得a为67° .尸。是。0的直径，PQLON.（1）求NP08的度数；（2 ）已知OP = 6400E?,求这两个观测点之间的距离即。上后的长.（互 取3.1 ）指向北极星指向北极星,/指向北极星Q（北极点）/指向北极星AG. E/f所在直线与直线ON 平行：在观测点处的地平线就 是过该点的。的切线哦！5.(2018年南京第27题)结果如此巧合!下而是小颖对一道题目的解答.题目：如图，RtZLISC的内切圆与斜边”相切于点。，.

7、10=3, BD=4,求八"。的面积.解：设5c的内切圆分别与,4C、8。相切于点£ F, CE的长为x.根据切线长定理，得 J£=UD=3, BF=BD=4, CF=CE=x.根据勾股定理，得G+3) 2+ (升4) 2= (3+4) 2.整理，得/+7x=12.所以G+3) (x+4) =1 (x2+7x+12) =/x (12+12) =12.小颖发现12恰好就是3X4,即,43C的面积等于JD与8。的积.这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索.已知：,：!5c的内切圆与空相切于点，切=胴，BD=n.可以一般化吗？(1)若NC=90'，求证：AJ3C

8、的面枳等于加倒过来思考呢？(2)若工。喈。=2机改变一下条件(3)若NC=60° ,月c K F4求证NC=900.”表示AISC的面积.B6.（2018年南通第28题）【定义】如图1,工3为直线/同侧的两点，过点H作直线1的对称点,4',连接B交直线，于点尸，连接，小，则称点尸为点工3关于直线/的“等角点”.【运用】如图2,在平面直坐标系X。），中，己知，（2,叵）,8（-2, -V3）两点.（1）C （4, ）, D （4, ）, E （4, i）三点中，点 是点,4, 8关于直线x=4的等角点； 222（2）若直线1垂直于x轴,点尸（加,）是点且，B关于直线/的等角点,

9、其中m>2, N/lPB=a,求证:tan-=； 22（3）若点尸是点,4, 5关于直线j，=ax+b（aW0）的等角点，且点尸位于直线."的右下方，当乙4尸8=60°时, 求b的取值范围（直接写出结果）.【专项突破】【题组一】1. （2019鼓楼区一模）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、 横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换.例如：如图，将），=、的图象经过倒数变换后可得到的图象.特别地，因为），=图象上纵坐标为。的点是原 点，所以该点不作变换，因此3的图象上也没有纵坐标为0的点.（1）请在下面

10、的平面直角坐标系中画出j，= -x+1的图象和它经过倒数变换后的图象.（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可.说理：请简要解释你其中一个猜想.（3）请画出函数产=已（c为常数）的大致图象.2. （2019鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为和3”1的直角三角形纸片,等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出了以下情况，其中NC=90° , BC=2cm, ADE为等边三角形.（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：图一中的长度 图中3的长度（填或“

11、 = ”）等边三角形.3E经过图形变化.10可以更小.请描述图形变化的过程.（2）有同学画出了图3,但老师指出这种情况不存在，请说明理由.（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长.经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1c，和3c?的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多 少？画出示意图并写出这个最小值.3. （2019建邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”.（1）如图，四边形”8内接于。，点E在C。的延长线上，且证明：四边形方CE是“等对 角四边形”.（2）如图，在“等对角四边形"中，NDAB=/BCD=53°

12、, N3=90° , 乂3=17, 3c=18,求 CD的长.（sin53。4，cos53° 4, tan53° 4）（3）如图，在RtAJCD中，ZJCD=90° , ND4C=3O° , CD=4,若四边形H5CD是“等对角四边形”,.（直接写出结果）且 N8=N。,则BD的最大值是I4. （2020河南一模）【问题提出】在A43C中，43=dCW3C,点。和点工在直线的同侧，BD=BC, ZBAC=a, ZDBC=,且a+B = 120° ,连接求的度数.（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当a=90°

13、, 3 = 30°时，利用轴对称知识，以，8为对称轴构造 ，四。的轴对称图形<&）,连接C。'（如图2）,然后利用a = 90° , B=30°以及等边三角形等相关知识便 可解决这个问题.请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：£>' 8C的形状是 三角形；4g3的度数为.【问题解决】在原问题中，当NQ5CVNJ5c （如图D时,请计算N33的度数:【拓展应用】在原问题中，过点d作直线XE_L3Z）,交直线5。于E,其他条件不变若3c=7, JZ）=2.请直接 写出线段3E的长为.1【题组二】5. （20

14、19滦水区一模）（1）发现：如图1,点H为线段3C外一动点，且8。=，乂3=从 填空：当点,4位于 时，线段HC的长取得最大值，且最大值为 （用含。，6的式子表示）（2）应用：点,4为线段8c外一动点，且3c=4,.宓=1,如图2所示，分别以一通，,4c为边，作等边三角形 ，助 和等边三角形/CE,连接 8, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由：直接写出线段8E长的最大值.（3）拓展：如图3,在平而直角坐标系中，点X的坐标为（2, 0）,点8的坐标为（6, 0）,点尸为线段.婚外 一动点，且E4=2, PM=PB, /BPM=90请直接写出线段区修长的最大值及此时点尸的坐标.I6.

15、（2019淮阴区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值.【从特殊入手】我们不妨设定圆。的半径是五,四边形88是。的内接四边形，.4C_L3Q.请你在图中补全特殊位置时的 图形，并借助所画图形探究问题的结论.【问题解决】已知：如图，定圆O的半径是R,四边形X3CZ）是。O的内接四边形，求证：.证明：17. （2018秦淮区一模）【数学概念】若四边形，BCD的四条边满足4-CZ）=.4D8C,则称四边形，宓CD是和谐四边形.【特例辨别】（1）下列四边形：平行

16、四边形，矩形，菱形，正方形.其中一定是和谐四边形的是.【概念判定】（2）如图，过O。外一点尸引圆的两条切线PS、PT,切点分别为,4、C,过点尸作一条射线分别交。 于点8、D,连接一铝、BC、CD、DA.求证：四边形,438是和谐四边形.【知识应用】如图，8是。的直径，和谐四边形488内接于0。，且请直接写出，8与CD的关系.8. （2020丰台区模拟）在平面直角坐标系xOv中，对于两个点P,。和图形M如果在图形犷上存在点N（M,N可以重合）使得RM=QM那么称点尸与点。是图形印的一对平衡点.（1）如图1,已知点d （0, 3）, B （2, 3）.设点O与线段,送上一点的距离为力则d的最小值

17、是,最大值是：3在尸1 （丁 0）,尸2（1，4）, P3 （-3, 0）这三个点中，与点O是线段K3的一对平衡点的是（2）如图2,已知圆O的半径为1,点。的坐标为（5, 0）,若点E G, 2）在第一象限，且点。与点E是圆。的一对平衡点，求X的取值范围.（3）如图3,已知点H（-3, 0）,以点。为圆心，。以长为半径画弧交x轴的正半轴于点K,点C（a, b）（其 中b20）是坐标平面内一个动点，且。=5,圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧EK上的任意两个点 都是圆。的一对平衡点，直接写出b的取值范围.II【题组三】9. （2019印江区一模）【操作体验】如图，已知线段43和直线/，用直尺

18、和圆规在/上作出所有的点尸，使得乙板=30° ,如图，小明的作 图方法如下：第一步：分别以点工8为圆心，X8长为半径作弧，两弧在."上方交于点O；第二步：连接。4, OB；第三步：以。为圆心，。4长为半径作O。，交，于尸1，乃：所以图中尸1,为即为所求的点.（1）在图中，连接尸M, PB,说明乙4P18=3O° ：【方法迁移】（2）如图，用直尺和圆规在矩形488内作出所有的点尸，使得尸C=45° ,（不写做法，保留作图痕迹）.【深入探究】（3）已知矩形”8, BC=2. AB=m,尸为X。边上的点，若满足NBR7=45°的点尸恰有两个，则加的取

19、值 范围为.（4）已知矩形.158, 43=3, BC=2, P为矩形.4CD内一点，且N8R7=135° ,若点尸绕点.4逆时针旋转 90°到点。，则尸。的最小值为.10. （2019如皋市一模）定义:把函数），=笥（m>0）的图象叫做正值双曲线.把函数尸笥（m<0）的图象叫做 负值双曲线.（1）请写出正值双曲线的两条性质：（2）如图，直线/经过点.4 （ - 1, 0）,与负值双曲线尸菁（加<0）交于点8 （ -2, - 1）.尸是射线43上的 一点，过点尸作x轴的平行线分别交该负值双曲线于河，N两点（点M在点N的左边）.求直线/的解析式和加的值：是否

20、存在点尸，使得S.7MV=4S.7PM?若存在，请求出所有满足条件的点尸的坐标：若不存在，请说明理由.11. （2019通州区一模）平面直角坐标系中，对于任意的三个点,4、B、C,给出如下定义：若矩形的任何一条 边均与某条坐标轴平行，且工 B、C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点4B,。的“三点矩形”.在 点B,。的所有“三点矩形”中，若存在而积最小的矩形，则称该矩形为点,4, B,。的“最佳三点矩形”.如图1,矩形。EFG,矩形"C4都是点/ B, C的“三点矩形"，矩形CH是点,4, B,。的“最佳三点矩形”.如图2,己知“'（4, 1）, N（-2,

21、3）,点尸（江）.（1）若m = l，=4,则点N,尸的“最佳三点矩形”的周长为,而积为:若|=1,点M, M尸的“最佳三点矩形”的面积为24,求的值；（2）若点尸在直线y=-2x+4上.求点河，N,尸的“最佳三点矩形”而积的最小值及此时加的取值范围；当点河，M尸的“最佳三点矩形”为正方形时，求点尸的坐标；（3）若点尸在抛物线上，且当点M, M尸的''最佳三点矩形”而积为12时，-UW -1或1忘机忘3,直接写出抛物线的解析式.I12. （2019顺义区一模）在平而直角坐标系工。，中，乂、3为平面内不重合的两个点，若。到.4、8两点的距离相等,则称点。是线段4的“似中点2 34

22、 sM（1）已知乂 （1, 0）, B （3, 2）,在点 C （1, 3）、。（2, 1）、E （4, -2）、尸（3, 0）中，线段.18 的“似中 点”是点:（2）直线）=昼+后与x轴交于点河，与y轴交于点N.若点”是线段的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；若。尸的半径为2,圆心尸为（f, 0）,若O尸上存在线段MN的“似中点''，请直接写出f的取值范围.【题组四】13. （2019 海门市一模）定义：在平面直角坐标系人。，中，对于点尸和图形如果线段。尸与图形河有公共点 时，就称点尸为关于图形M的“亲近点”.已知平面直角坐标系中，点，（1,福），8 （5,福），连接

23、（1）在尸1 （1, 2）, P1 （3, 2）,尸3（5, 2）这三个点中，关于线段,43的“亲近点”是：（2）若线段CD上的所有点都是关于线段.四的“亲近点”，点C （f, 2梅"3百）、D （什6, 2后t-3痘）, 求实数，的取值范雨：（3）若OH与轴相切，直线/：）= 一行x + b过点8,点E是直线/上的动点，G）E半径为2,当OE上所有点 都是关于GU的“亲近点”时，直接写出点E横坐标的取值范围.214. （2019海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点且（2, 1）, B （2, 4）,连结若对于平面内一点P,线段48上只要存在点0,使得尸心触，则称点P是线段4

24、的“卫星点”.1 4（1）在点C（4, 2）, D （2, 白，E （- 2）中，线段4的“卫星点”是点：6 3（2）若点尸1，尸2是线段,48的“卫星点”（点尸1在点尸2的左侧），且尸1尸2 = 1，尸1尸2、轴，点尸坐标为（0, 2）.若将APlB尸的面积记为S,当S最大时，求点尸1的坐标:直线尸尸1的解析式尸相x+2 GW0）,直线冲2的解析式产x+2 5X0）,求丁勺取值范围.八6 -5To 1 2 3 4 X-1 -215,（2019朝阳区一模）在平面直角坐标系xQv中，对于任意两点Pl Gl, yi）和尸2（山，）2）,称d（尸1,尸2）网-刈+伊-”|为尸1、P2两点的直角距离.

25、（1）己知：点.4（1，2）,直接写出d （0-4） =:（2）已知：3是直线j=-%+3上的一个动点.如图1,求d （。，5）的最小值：如图2, C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求，（& C）的最小值.216. （2019建湖县二模）【操作发现】如图（1）,在Q4和08 中，OA = OB, OC=OD, ZAOB= ZCOD=45° ,连接zlC, BD交于点、M.,4。与BD之间的数量关系为乙LWB的度数为【类比探究】如图（2）,在Q43 和OCD 中，ZAOB=ZCOD=90Q , NQ1B= NOCD=30° ,连接 XC,交助的延长线于点A

26、C请计算二的值及乙必四的度数: dD【实际应用】如图（3）,是一个由两个都含有30。角的大小不同的直角三角板."C、OCE组成的图形，其中NACB=ZDCE=90° , ZJ=ZD=30°且。、从8在同一直线上，CE=1, BC=6,求点之间的距离.2【题组五】17. （2018咸宁）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把 这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解:（1）如图1，己知RtAlBC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点使四边形X3CQ是以为“相似对角线”的四边形（保

27、留画图痕迹，找出3个即可）：（2）如图2,在四边形中，乙/C=80° , Z-WC= 140° ,对角线8。平分NX3C.求证：3。是四边形.438的“相似对角线”：（3）如图3,已知用是四边形EFGH的“相似对角线"，/EFH=NHFG=30。，连接EG,若EFG的而枳 为2百，求尸H的长.2218. （2019梁溪区一模）如图，已知矩形H3C。，.43=4, BC=5.请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法）.（1）在图1的矩形X88中画出一个面积最大的菱形.（2）我们通常把长与宽之比为心：1的矩形称为标准矩形，请你

28、在图2的矩形XBCD中画出一个面积最大的标 准矩形.19. （2019 东城区一模）在平而直角坐标系大厅中，对于尸、。两点给出如下定义：若点尸到x、>轴的距离中的最大值等于点。到x、j，轴的距离中的最大值，则称尸、。两点为“等距点”，如图中的尸、。两点即为“等距点”.（1）己知点,4的坐标为（-3, 1）在点E （0, 3）、尸（3, -3）、G（2, -5）中，点工的“等距点”是:若点3在直线y=x+6上，且4 8两点为“等距点”，则点8的坐标为:（2）直线/： y=kx - 3 （k>0）与x轴交于点C,与y轴交于点Z）.若T1 （-1, ri）、T1 （4,及）是直线/上的两

29、点，且小、乃为“等距点”，求A的值；当先=1时，半径为7的。0上存在一点河，线段CZ）上存在一点M使得,吆、N两点为“等距点”，直接写出7的取值范围.20. (2018南通三模)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线.(1)如图，在J5C中，.4。为角平分线，NB=50° , ZC=300 ,求证：为J5C的优美线.(2)在,4C中，N8=46。，.10是的优美线，且,血)是以.43为腰的等腰三角形，求/用1C的度数.(3)在ZUB

30、C中，43=4, ,4C=2,.切是ZU5C的优美线，且A的 是等腰三角形，求优美线.山 的长.2【题组六】21. （2019常州二模）小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组建了三人探究小组，探 究小组对以下问题有了发现：如图6，已知一次函数y=x+l的图象分别与x轴和y轴相交于点瓜F.过一次函数j，=x+l的图象上的动点产 作PBLr轴，垂足是8,直线3P交反比例函数 >=一二的图象于点。过点。作。C_Ly轴，垂足是C,直线 QC交一次函数y=x+l的图象于点二当点尸与点E重合时（如图a）, NPO,4的度数是一个确定的值.请你加入该小组，继续探究：（1）当点尸与点E重合时，ZPOA=° ：（2）当点尸不与点E重合时，（1）中的结论还成立吗？如果成立说明理由：如果不成立，说明理由并求出NPQ4 的度数.22. （2018深水区一模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平