保险精算学减因力和中心减率PPT学习教案

1、会计学1保险精算学减因力和中心减率保险精算学减因力和中心减率分减因的减因力的定义，首先引入函数： kxl 12101,1,2,.,1limkkxyy xTxxxmxmTkxxkkkkkxx hxxTThxxmTkxxkldkmmllllmllklldldxhll 相当于把暴露于 个减因力下的总人数分成，.，等 个组，每组人数只受相应减因的作用而减少。第 个减因的减因力定义为：可见第1页/共17页 11111011011kTkyyyxxkTkyyyxxxkTkxyyxxkTkTkxy xyytxx txxTTTTTxyyx tx txxTTTTxy xyytxxxdlldyxxdlldydldy

2、qpdypdtdldyldtqpdyp多减因力定义公式可以变换为：-上式两边在上积分，有-故依分减因减少人数与总人数的关系，可得所以 10Ttdt第2页/共17页 减因力和减因概率的一个重要差别是各减因力之间是相互独立，而各减因概率之间却相互依赖。 由于减因概率是某区间内由减因引起的减少概率，在这一区间内所有减因都在起作用，因此由某减因引起的减少人数越多，其他减因引起的减少人数越少，各减因概率之间相互依赖。 减因力是衡量各减因的瞬间减因水平，不依赖于某一特定的区间，因此各减因力相互独立。第3页/共17页4.2.2 中心减率中心死亡率的介绍：xxxxxxxxDxPPxxxDmmP 设某 岁的死亡

3、人数为， 岁的平均人数为 ， 是年初 岁人数与年末 岁人数的平均数，有时也用年总人数代替，则 岁的中心死亡率为：22xxxxxxxdmmLmqm 生命表分年龄中心死亡率定义为生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人数中的比例。以表示之，则，在假设死亡均匀分布的情况下：。第4页/共17页 与中心死亡率的概念类似，在多减因分析中有总中心减率和分减因中心减率。 11001100,101TTTxxxTxTTTTx tx ttxx tTxTTx ttxdmLxxLldtpdtmtldtpdt 是在岁受全部减因作用的平均人数。以积分表示：，第5页/共17页 110011001,101.kkTxxxTxTkTkx

4、 tx ttxx tkxTTx ttxmTkxxkdmLxxLldtpdtmtldtpdtmm 是在岁受全部减因作用的平均人数。以积分表示：，显然，多减因表通过中心减率与减因概率之间的关系估计减因概率。第6页/共17页 多减因表的中心减率通常是在假设每个年龄的总减少人数在年内均匀分布下计算的，此时有 1100,0112111221,2112TTTx txxTTTTTTxx txxxxkkkkxxxxTTTTxxxxTTTxxxkkxxTxlltdtLldtltddtldddqthenmLldqon the other hand sincelLdwe obtainmqm 第7页/共17页4.3.

5、1 联合单减因函数联合单减因函数 构成多减因表的各个减因都可以依各自独立的减因力构成单减因表，把由多减因表的各个减因构成的单减因表称为联合单减因表，它是单独考虑各个减因时生成的生命表。 00,1.tkx sktxtdskkkxxx stkktxtxpqepdsqkqk 设联合单减因表的存活函数为则称为 减因绝对减率，以区别于用概率表述的。减因绝对减率与其他减因力无关，也称为独立减率。第8页/共17页4.3.2 联合单减因函数与多减因函数的基本关系联合单减因函数与多减因函数的基本关系 0011:,.mtktTxx skdsdsTtxmTktxtxkTkkktxtxtxtxsincepeesopp

6、it is easy to sayppqq第9页/共17页4.3.3 各减因力恒定假设下的估计各减因力恒定假设下的估计假设各减因力恒定，即 10111000,01,ln.TTx txkkx txkkTkTkTTxxtxx ttxxtxxTxkTxxTxdtTTTxxxtqpdtpdtpdtqpeep 此时，有同时，在减因力恒定的假设下，还有 第10页/共17页 ln.ln.ln,11.kxTxkkxxkkkTTxxxxxTTxxqkTqxxppwe can obtainqqqphenceqq 同理，有上式可用于由多减因概率估计绝对减因率。4.3.4 各减因均匀分布假设下的估计各减因均匀分布假设

7、下的估计假设多减因模型的各个减因在每个年龄上均匀分布，即 ,1,2,.,;01kktxxqtqkmt 第11页/共17页加总所有单减因概率，我们有 ,01TTtxxqtqt 在减因均匀分布的假设下，有 11001,1 exp1 exp11 expln 111.kxTxkkTkkkxxtxx txx tTTtxxkkkxxx tTxqkTTxqxxTxkxqqpqptqqhenceqdtdttqqqqqq 可见，在减因力恒定和减因均匀分布的假设下的相等。第12页/共17页4.3.5 联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计在联合单减因表的各减因均匀分布假设

8、下，有 11001,1,2,.,;01kktxxkkktxx txmkTkkkxtxx ttxx tkqtqkmtpqqpdtpdt 第13页/共17页 1111211120021121012212,112,12xtxtxx ttxx t txxxxxxxxwhen mwe haveqppdtppdtqqtqdtqqand we can alse have qq第14页/共17页 1111231112300112301232322131333123,111112311,123112xtxtxtxx ttxx t txtxxxxxxxxxxxxxxxxxxwhen mwe haveqpppdtpppdtqtqtqdtqqqqqand we can alse have qqqqqqqqq 2121.333xxxqqqm 的情况类似分析。第15页/共17页Eg4.1 假设某联合单减因表的