2010届高三数学一轮复习必备精品：空间向量及应用(精)

1、七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载20092010 学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第36讲空间向量及其应用一. 【课标要求】（1）空间向量及其运算1经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示；3掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用1理解直线的方向向量与平面的法向量；2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3能用向量方

2、法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；4能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何 问题中的作用二. 【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测 2010 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教 材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三. 【要点精讲】1空间向

3、量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置， 仍与原来的向量相 等，用同向且等长的有向线段表示； 平面向量仅限于研究同一平面内的平移， 而空间向量 研究的是空间的平移。2.向量运算和运算率OS= a+bBA = oA -OB = a -b06 =丸O(丸R)加法交换率：a +b =b + a.加法结合率：(a +b) +c = a +(b +c).七彩教育网 免费提供 Word 版教学

4、资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载数乘分配率：九(a + b)=阳+入b.七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3平行向量（共线向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于 b 记作a/ b。注意：当我们说a、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。共线向量定

5、理：对空间任意两个向量a（a 0）、b,a/ b 的充要条件是存在实数h使 b = a注：上述定理包含两个方面： 性质定理：若a/ b （a工0,则有 b= ka,其中h是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数 九，使 b = &a（a工0,则有a/ b （若 用此结论判断a、b 所在直线平行，还需a（或 b ）上有一点不在 b （或a）上）。对于确定的，和a, b = a 表示空间与a平行或共线，长度为 a|,当 o 时 与a同向，当 0 时与a反向的所有向量若直线 I /a,A 丨,P 为 I 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。推论：如果 I 为经过

6、已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点 O,点 P 在直线 I上的充要条件是存在实数 t，满足等式OP = OAta其中向量a叫做直线 I 的方向向量或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB 的中点公式。注意：表示式（* ）、（* ）既是表示式，的基础，也是常用的直线参数方程的表示 形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面 、丄平行或a在用平面 内，我们就说向量a平行于平面：，记作a/ ：。注意：向量a/ ：与直线 a/ ：的联系与 区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理

7、 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使p = xa yb.注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y，使MP = xMA yMB,或对空间任一定点 O,有OP =0M xMA yMB.在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面 MAB 的向量表示在 I 上取AB = a，则式可化为OP=(1-t)OA tOB.当t二1时，点 P 是线段 AB 的中点，则2- 1LOP (OA OB ).七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七

8、彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载aO(2 )aa说明：规定0 y、z：=R，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把a, b,c叫做空间的一个基底，a, b ,c都叫做基向量；空间任意三个不 共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于0 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP = xOA yOB zOC.6数量积（1）夹

9、角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点则角/ AOB 叫做向量a与 b 的夹角，记作 a, b说明：由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的O,作 OA = a , OB = b ,Aba合,a(4)七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载从而有-OA, OB=OA,-OB=二-OA,OB.(2)向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。a b cos a,b叫做向量a、b 的数量积，记作a b。即a b=a b cos a, b，向量AB 在 e 方向上的正射影a e AB |cos

10、 a,e二A B(4)性质与运算率(a) b =?；.(a b) a b = b a a (b c) = a b a c四【典例解析】题型 1 空间向量的概念及性质例仁有以下命题：如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；O,A,B,C为空间四点，且向量OAOBOC不构成空间的一个基底，那 么点O,代B, C一定共面；已知向量a, b,c是空间的一个基底，则向量a b, a-b,c，也 是空间的一个(3)向量的数量积:a e =cos a,e。a_L b：= a b =0|a | = a a.七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中

11、、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载基底。其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)解析：对于如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b的关系一定共线”；所以错误。正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例 2.下列命题正确的是()(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b, c共面就是它们所在的直线共面；(C)零向量没有确定的方向；(D)若a/b，则存在唯一的实数 ，使得a二 b；解析：A 中向量b为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一 样，D 中

12、需保证b不为零向量答案 C。七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载点评：零向量是一个特殊的向量， 时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 题型 2:空间向量的基本运算例 3如图：在平行六面体ABCD _ABJGDJ中,M为AG与B1D1的交点。若AB = a,AD二b,AA1= c，则下列向量中与BM相等的向量是()(D)1ab c2 2BM =BBB1M J(AD - AB) AA12答案为 A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程， 掌握好空间向量的用途。 用向量的方法处 理

13、立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化， 本题考查的是基本的向量相等， 与向量的 加法考查学生的空间想象能力例 4.已知：a = 3m - 2n - 4p = 0,b二(x 1)m 8n 2yp,且m,n, p不共面.若a/b,求x, y的值.解：a/b,且a屮0,. b = a,即(x 1)m 8n 2yp = 3m 2 - n - 4 p.一一-x亠182 y又m,n,p不共面，.x = -13, y = 8.3- 2- 4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型 3:空间向量的坐标例 5. (1)已知两个非零向量a= (a1, a2, a3),b= ( b1, b2

14、, b3),它们平行的充要条 件是()rfe- wfA.a: |a|=b: |b|B.a1 S=a2 b2=a3 b3FFC.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数 k,使a=kb(2)已知向量a= ( 2, 4, x) ,b= (2, y, 2),若|a|=6,a丄b,则 x+y 的值是()A. - 3 或 1B.3 或1C. - 3D.1(3)下列各组向量共面的是( )A.a=(1,2 ,3),b：=(3, 0 , 2),c：=(4,2 ,5)B.a=(1 ,0 , 0),b：=(0,1 ,0),c=(0,0 ,1)C.a=(1 ,1, 0),b：=(1, 0, 1),c=(0,

15、1, 1)(B)2a解析：C1七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载D.*a=(1,1, 1),b=(1,1, 0),*=(1, 0 ,1)七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载解析：（1） D ;点拨：由共线向量定线易知;4+16+x2=36x = 4,x = 4,(2) A点拨: 由题知总+幼+“二0二“或P =1.;(3) A点拨: 由共面向量基本定理可得点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况例 6.已知空间三点 A (-

16、 2, 0, 2), B (- 1 ,1,2), C ( 3, 0, 4)。设a=AB,b= AC ,(1)求a和b的夹角 v；(2)若向量 ka+b与 ka 2b互相垂直，求 k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要 求的结果.解： A( 2, 0, 2), B ( 1 , 1, 2), C( 3 , 0 , 4) ,=AB,b=AC,a=(1,1,0),b= (一1,0,2).1+0+0710(1) cos 寸=a. b =、2,5- 10,|a|b| a 和 b 的夹角为一10。(2) / ka+b=k (1 , 1 , 0) + ( 1, 0

17、 , 2) = ( k 1, k , 2),ka 2b= (k+2 , k, 4),且(ka+b)( ka 2b),( k 1 , k , 2) (k+2, k, 4) =(k 1)(k+2)+k2 8=2k2+k 10=0。5则 k= 2 或 k=2。点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。(a+b) (ka 2b)=k2a2 kab5* _2b2=2k2+k 10=0 ,解得 k= 2 ,或 k=2。题型 4:数量积例 72009 江西卷文)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，贝恠下列命题中， 错误的为A.AC _ BD B.AC/截面PQMNC.AC =BDD.异面直线PM

18、与BD所成的角为45答案：C【解析】由PQ/AC,QM/BD,PQ丄QM可得AC丄BD,故A正确；由PQ/AC可得AC/截面PQMN,故B正确;1七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确;七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载综上C是错误的，故选C.点评：本题考查平面向量的数量积及运算律1 12222x1+y1=(x1+y1) -2x1y1=1 , 2x1y1=( 2 ) 1= 2 . /. X1y1=

19、 4 X1.6 24fJ.6-、2.6 -246 .2 y1 :4X1同理可得.6 24y2 :X2U6 72X2 =-_46-2y2 -4X1 a刽,X2寸6 +V2=y2：4 6 -；24二y1二-V2X1 = y 2 :46+込X2二y1二4 cos=4.6 -i2414 = 2. 0 n = 3例 8 (1)设向量a与b的夹角为二，a =(3,3)，2b -a =(-1,1)，.解：设向量a与b的夹角为二 且a =(3,3),2b-a =(-1,1) b=(1,2),cos斗 同b3压3、.2 ,510(2)设空间两个不同的单位向量a=(x1, y1, 0),b=(x2, y2, 0)

20、与向量c=(1, 1,1)的夹角都等于 4 (1) 求 X 什 y1和 X1y1的值；求的大小(其中 OV n解析(2)2 2 2解：(1)TIa|=|b1=1，二 x1+y1=1 x1 22=y2=1.、又6a与c的夹角为 4 ,ac=|a|c|cos 4 = 2121212= 2 .又aC=x1+y1,x1+y1= 2 另外- a b(2)cos=-=X1X2+y1y2,|a|b|由(1)知，X 计 y1= 2 ,丄X1y1= 4 . X1, y1是方程x2七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供 Wo

21、rd 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载评述：本题考查向量数量积的运算法则题型 5:空间向量的应用例 9. (1)已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1 ,求证： 13a 1 + , 13b 1+ . 13c 1 ab的应用，解题 时要先根据题设条件构造向量a,b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对 应做功问题例 10如图，直三棱柱ABC-ABIG中，BG _ ABBG _ A,C,求证：AB,= AQ.证明：；AC=AQ VQ,BC BC CC1, A1C BC1二(A1C1C1C) (BC CCJ = A1C1BC - CQ2二0,

22、 GC2= A1C1BC.同理AB1= AB BB1,BC BB1BQ,AB1BCAB BC CC；=0( BB1CCJ. AB BC A1C1B0,又AG二AC, BC (AB AC) =0.设D为BC中点，则AB AC=2AD.2BC AD=0,. BC _ AD,AB = AC,又A A = B1B,AC = AB1.点评：从上述例子可以看出，利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法 则，向量的运算，数量积以及平行，相等和垂直的条件1.过厶ABC的重心任作一直线分别交AB AC于点D E.若AD =xAB,AE =yAC,1 1xy丄0，贝 U的值为()x y(A) 4( B)

23、 3( C) 2( D) 1七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载1 1解析：取厶 ABC 为正三角形易得:：-=3 .选 B.x y评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力.2如图，设 P、Q ABC 内的两点,A . 2B .- 3C.- 2D.3- - ”- - - 1 = &ABD =CD CB2q，又 A、B、D 三点共线，则AB=AD即丿厂k = -2& k = 2，故选 A .【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面

24、向量基本定理的运用.要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法J-J1.3已知平面向量a=(3, -1),b=(,).2 2(1 )求a b；- b-*由(2)设c = a +(x 3)b,d = ya + xb(其中x式0)，若c丄d，试求函数关系式y = f(x)并解不等式f (x)7. (1)a b=0;(2)由c - d得，4y x(x -3) =0,1所以y二一x(x -3)；-2一一. _AQ=2AB31A.-+ -AC，则 ABP-C.的面积与厶 ABQ 的面积之比为1D.3如下图，设AM AB,5- - -1ANAC，贝V AP = AM AN.5由平行四边形法则，知A ABPN

25、P / AB，所以- - 二占ABCANAC同理可得二AB21ABC -ABPABQ4-，选 B.53.e1, e2是平面 * -线两向量-b-出AB =e ke2, CB =2e+佥，CD =3ei-佥,若A, B, D三点共线，则k的值是,已七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载12x(x-3)7变形得：x -3x-280，解得x - 7或x -4.-七彩教育网 免费提供 Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载5.已知 a=(COSt,si no), b=(cosP,si n0

26、), a 与 b 之间有关系式 |ka+ b|=d3a-kb|.其中 k 0.(1)用 k 表示 a、b;五.【思维总结】本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示， 空间向量的坐标运算， 平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底 i，j，k建立坐标系，对于 O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点 的坐标，直线的坐标表示简化， 要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则一个向量在不同空间的表达方式不一样，(2)求 a b 的最小值，并求此时,a 与 b 的夹角 r 的大小.由已知| a |=| b | =1.| ka b|=| a|ka