高等数学：9-7 stokes公式

1、1第七节第七节 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流环流量与量与旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意义物理意义-环流量与旋度环流量与旋度小结小结 思考题思考题 作业作业circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英国数学家、物理学家国数学家、物理学家第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2 本节介绍空间曲面积分与曲线积分本节介绍空间曲面积分与曲线积分并同时介绍向量场的两个重要概念并同时介绍向量场的两个重要概念斯托克斯公式斯托克斯公式. .环量与旋度环量与旋度. .之间的关系之间的关系斯托克斯斯托克斯(Stokes)公

2、式公式 环流量与旋度环流量与旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 设设 的正向与的正向与的的侧侧符符合合右右手手规规则则，),(),(zyxQzyxP函函数数在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内在在包包含含曲曲面面 ),(zyxR zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线,是以是以边界的分片光滑的边界的分片光滑的有向闭曲面有向闭曲面,具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,则有公式则有公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋

3、度为4 即有即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd方向余弦方向余弦.是是指定一侧的法向量指定一侧的法向量 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度5的正向与的正向与的侧符合右手规则的侧符合右手规则: 当右手除拇指外的四指依当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时的绕行方向时, 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则拇指所指的方向与拇指所指的方向与上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向

4、曲面的正向边界曲线的正向边界曲线.称称斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度 n 6斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度(3) 在坐标面上在坐标面上,应用格林公式把应用格林公式把(2)得到的平面闭得到的平面闭曲线积分化为二重积分曲线积分化为二重积分.因此因此斯托克斯公式是格林斯托克斯公式是格林注注证明思路证明思路(1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;(2) 把空间闭曲线把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上上的曲线积分化为坐标面上的闭曲线积分的闭曲线积分;分三步分三步当当为为 xOy 坐标面

5、上的平面区域时坐标面上的平面区域时, 斯托克斯托克斯公式就是格林公式斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广公式在曲面上的推广.yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd7 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos 另一种形式另一种形式)cos,cos,(cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式 zRyQxPddd zRyQxPddd zRyQxPddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(8Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面

6、上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度9解解zyyxxzddd yxzzyxyxxzzydddddd法一法一 按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ,计算曲线积分计算曲线积分例例1 ,dddzyyxxz1 zyx是平面是平面 其中其中被三坐标面所截成的被三坐标面所截成的三角形的整个边界三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则的法向量之间符合右手规则.有有 yxxzzydddddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公

7、式 环流量与旋度环流量与旋度xyzOnxyD11110 xyO111 yx yxxzzydddddd yxdd3.23 .弦弦都都为为正正的的法法向向量量的的三三个个方方向向余余 ).1 , 1 , 1( n213 zyyxxzddd xyD cos )31cos cos yxxzzydddddd的法向量的法向量 (对称性对称性1: zyx平面平面 xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度11按按斯托克斯公式斯托克斯公式, , zyyxxzddd SRQPzyxdcoscoscos Syxzzyxd313131 Syxzzyxd11131 Sd)111(31 法

8、二法二1: zyx yxSdd3d xyDyxdd323 有有斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度xyO111 yxxyD12kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 1. .环流量的定义环流量的定义按按所所取取方方向向的的沿沿曲曲线线称称为为向向量量场场 A上上的的曲曲线线积积分分中中某某一一封封闭闭的的有有向向曲曲线线则则沿沿场场 A zRyQxPsdAdddcirculationcurl环流量环流量. .二、物理意义二、物理意义-环流环流量与量与旋度旋度设向量场设向量场斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度1

9、3 sAd利用利用Stokes公式公式, , zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,环流量环流量SRQPzyxkjid 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度)dd,dd,dd(Sdyxxzzy14.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiA rot旋度旋度2. 旋度的定义旋度的定义).rot(ARQPzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度15.处处的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322y