高等数学：8-5 隐函数的求导公式

1、1一个方程的情形一个方程的情形方程组的情形方程组的情形小结小结 思考题思考题 作业作业( implicit function )第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2 隐函数在实际问题中是常见的隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程平面曲线方程空间曲面方程空间曲面方程空间曲线方程空间曲线方程下面讨论如何由下面讨论如何由隐函数方程隐函数方程0),( yxF0),( zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏导数求偏导数.隐函数的求导公式隐函数的求导公式3一、一个方程的情形一、一个方程的情形 在一元函数微分学中在一元函数

2、微分学中, 现在利用复合函数的现在利用复合函数的链导法链导法给出隐函数给出隐函数(1)0),(. 1 yxF)1(0),( yxF的求导法的求导法.并指出并指出:曾介绍过隐函数曾介绍过隐函数的求导公式的求导公式,隐函数存在的一个充分条件隐函数存在的一个充分条件. .隐函数的求导公式隐函数的求导公式4隐函数存在定理隐函数存在定理1 1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式隐函数的求导公式设二元函数设二元函数的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在点在点, 0),(00 yxFy则方程则方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一邻域内的某一邻域内并有并有),(),(dd

3、yxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;0),( yxF),(00yxP它满足条件它满足条件在点在点隐函数的求导公式隐函数的求导公式(2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,),(xF由由全导数公式全导数公式,得得)(xf0 5连续，连续，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或简写或简写:.ddyxFFxy ),(00yx于是得于是得隐函数的求导公式隐函数的求导公

4、式所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域, 在这个邻域内在这个邻域内),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 6如如, , 方程方程, 0 yxeexy记记,),(yxeexyyxF ; 0)0 , 0( F(1)xxeyyxF ),(yyexyxF ),(与与)0 , 0(在点在点的邻域内连续的邻域内连续;, 01)0 , 0( yF所以方程在点所以方程在点)0, 0(附近确定一个有连续导数、附近确定一个有连续导数、且且yxFFxy dd.yxexey 隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数存在定理隐函数存在定理1 1的隐函数的隐函数00 yx时时当当),(xfy 则则

5、(2)(3)7解解 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 8),(zyxF),(000zyxP, 0),(000 zyxFz则方程则方程; 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有并有具有连续偏导数具有连续偏导数;若三元函数若三元函数的某邻域内的某邻域内0),( zyxF),(000zyx函数函数它

6、满足条件它满足条件在点在点在点在点0),( zyxF2. 由三元方程由三元方程确定二元隐函数确定二元隐函数),(yxfz .,yzxz 求求隐函数存在定理隐函数存在定理2 2隐函数的求导公式隐函数的求导公式的某一邻域的某一邻域,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)满足满足:9隐函数的求导公式隐函数的求导公式(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边分别关于两边分别关于x和和y求导求导,),(yxF应用应用复合函数求导复合函数求导法法得得),(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz ),(yxfz 是方程是方程0),( zyxF所确定的隐

7、所确定的隐设设函数函数, ,则则yFzF yz . 0 zF，且且0),(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx点点所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域,在这个邻域内在这个邻域内因为因为连续连续,于是得于是得10例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxF1222222 czbyax则则,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令令)0( z,zxFFxz zyFFyz 看看作作是是将将时时、在在求求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,.三个自变量的函数三个自变量的函数隐函数的求导公式隐函

8、数的求导公式11将将 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次对再一次对y求偏导数求偏导数,得得对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法.2z 隐函数的求导公式隐函数的求导公式zy12确定了隐函数确定了隐函数设方程设方程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求分析分析在某函数在某函数(或方程或方程)表达式中表达式中,自变量自变量互换后互换后,仍是原来的函数

9、仍是原来的函数 (或方程或方程),称函数称函数(或方程或方程)用对称性可简化计算用对称性可简化计算.解解 将方程两边对将方程两边对x求偏导求偏导,得得关于自变量对称关于自变量对称,yyxzyxz ),(yxzz 将任意两个将任意两个y xz z x xz 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式13再将上式两边对再将上式两边对x求偏导求偏导,yxzyxz 得得 22xz2)()(2yxzy 由由x, y的对称性的对称性知知, 22yz2)()(2yxzx 确确定定了了隐隐函函数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隐函

10、数的求导公式隐函数的求导公式14例例 设有隐函数设有隐函数 ,其中其中F的偏导数连续的偏导数连续,0),( zyzxF 求求 ,xz .yz 解解令令),(),(zyzxFzyxG xG yG zG zxGGxz zyGGyz用复合函数求导法用复合函数求导法)(22 yzF法一法一由公式由公式.zxGGxz 1F1 z2F1 z)(21 xzF,211yFxFzF 212yFxFzF , 0 0隐函数的求导公式隐函数的求导公式15将隐函数方程两边取全微分将隐函数方程两边取全微分, zxF d1即即1F故故2121dddyFxFyzFxzFz 从而从而,211yFxFzFxz 此法步骤清楚此法步

11、骤清楚法二法二 利用全微分利用全微分.212yFxFzFyz 2F , 0),( zyzxF 求求 ,xz .yz zyF d20 2ddzzxxz 2ddzzyyz 0 得得隐函数的求导公式隐函数的求导公式16将方程两边求导将方程两边求导.对对x求偏导求偏导:u vuF 即即 zuF 1vFyuFxuFzxz 自己练习自己练习z是是 x,y 的函数的函数!0),( zyzxF法三法三212yFxFzFyz 012 xzzyvFvF 0 xu xv xz 21zx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式171991年研究生考题年研究生考题,填空填空,3分分2),(222 zyxxyzyxf是由方程是

12、由方程设函数设函数yxd2d 解解 法一法一 用公式用公式2),(222 zyxxyzzyxF设设,22222zyxxyzxF ,22222zyxyxzyF .22222zyxzxyzF 隐函数的求导公式隐函数的求导公式, 1)1,0, 1( xz,2)1,0, 1( yz,(1,0, 1)d()zz确定的 则 在点处的全微分(1,0, 1)dd2dzxy18法二法二 用全微分用全微分xyzd得得2222 zyxxyzyxzd zxyd 2222d2d2d2zyxzzyyxx 0 ,)1, 0 , 1(代入上式代入上式将点将点 yxzd2dd)1,0, 1( 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1

13、9解解令令, zyxu ,xyzv 则则).,(vufz .,),(zyyxxzxyzzyxfz 求求设设,xz xzvf 整理得整理得xz vuvuxyffyzff 11.2.,yx ),(yxyzxzfv )1(0 yxfuuf)1(xz ),(xzxyyz 隐函数的求导公式隐函数的求导公式把把z看成看成x, y的函数的函数对对x求偏导数求偏导数,得得把把x看成看成y, z的函数的函数对对y求偏导数求偏导数,得得20),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 3.,zy 隐函

14、数的求导公式隐函数的求导公式把把y看成看成x, z的函数的函数对对z求偏导数求偏导数,得得21隐函数的求导公式隐函数的求导公式2002年在职攻读硕士学位全国联考年在职攻读硕士学位全国联考(6分分)zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且设设),(,22.d,)1(uz求求所所确确定定 解解 法一法一 利用全微分利用全微分.zzzud2d2d zzd)1(2 xxexxedd yyeyyedd zzezzedd xxex)d(1 yyey)d(1 xxexexxdd yyeyeyydd zzezezzdd zzezd)(1 )1(d)1(d)1(dzeyyexxezzyx .d)1(d

15、)1(2dyeyxexeuyxz 222002年在职攻读硕士学位全国联考年在职攻读硕士学位全国联考zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且设设),(,22.d,)1(uz求求所所确确定定 隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解 法二法二 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.令令 ),(zyxFzyxzeyexe ,)1(xxexF ,)1(yyeyF ,)1(zzezF 故故,11zxezxxz ,11zyezyyz ).1( z xu yuyyuxxuuddd ,)1(2zxex xzz)22( yzz)22(.)1(2zyey 23二、方程组的情形二、方程组的情形(隐函数组隐函数

16、组) 下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 0),(0),(vuyxGvuyxF确定两个确定两个二元函数二元函数,xu ,yu ),(yxuu 求求隐函数存在定理隐函数存在定理3.3.请看课本第请看课本第34页页,故由方程组故由方程组求导方法求导方法.).,(yxvv ,xv .yv 隐函数的求导公式隐函数的求导公式24将恒等式将恒等式 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于两边关于x求偏导求偏导,xu 0),(0),(vuyxGvuyxF解这个以解这个以,xu xv 为未知量的线性方程组为未知量的线性方程组,由由链

17、导法则链导法则得得:xG xF uF vF xv 0 uG xu vG xv 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式,xu ,yu 求求,xv .yv 25解得解得 00 xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF当系数行列式不为零时当系数行列式不为零时,即即vGuGvFuF ),(),(vuGFJ雅可比行列式雅可比行列式. 0 Jacobi,C.G.j.(德德)1804-1851 xuvGuGvFuFvGxGvFxF xvvGuGvFuFxGuGxFuF ,),(),(1vxGFJ .),(),(1xuGFJ 隐函数的求导公式隐函数的求导公式26同理同理, vGuGvFuFvGyGvFyFyu

18、vGuGvFuFyGuGyFuFyv ,),(),(1vyGFJ .),(),(1yuGFJ 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF 00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于两边关于y求偏导求偏导,得得隐函数的求导公式隐函数的求导公式,xu ,yu 求求,xv .yv 27特特,0),(0),(时时 vuxGvuxF如果方程组如果方程组它可能确定两个它可能确定两个现假定它确定现假定它确定),(),(xvvxuu 且两个函数都且两个函数都则求则求xvxudddd与与的方法同前面求的方法同前面求与与xu xv 的方法相同的方法相同. 0),(0),(v

19、uyxGvuyxF为为可微可微,别别一元函数一元函数,隐函数的求导公式隐函数的求导公式28例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx设设及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解分析分析),(xyy ).(xzz 直接代入公式；直接代入公式；法一法一令令, 2),( zyxzyxF.21),(222zyxzyxG 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz , 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG 隐函数的求导公式隐函数的求导公式29 ),(),(zy

20、GFJ, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zy 211yz2 zGyGzFyF ),(),(zxGFzGxGzFxF zx 211xz2 zyzxxy 22dd1 x1 x0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 30, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG ),(),(xyGFxGyGxFyF xy2211 yx22 zyyxxz 222dd1 x1 x1 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 0),(0

21、),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 31)0, 0(,212222 zyzyxzyx设设及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy),(xyy ).(xzz 方程组两边对方程组两边对x求导求导1得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 运用公式推导的方法运用公式推导的方法.法二法二注意注意 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 隐函数的求导公式隐函数的求导公式32例例设方程组设方程组,0022222 vuxyuvyx确定函数确定函数和和

22、),(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解直接代入公式；直接代入公式；运用公式推导的方法运用公式推导的方法.原方程组两边分别对原方程组两边分别对法二法二法一法一x2x求偏导数：求偏导数： 2yv u 0 xu xv u2 v2 0 xu xv 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式u与与v都视为都视为x,y的的二元函数二元函数33解方程组得解方程组得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移项得：移项得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx.)(24222vuvyxvxv ,0的条件下的条件下在在 J xu,)(24222vuuxu vuuv22 vu2x22y 隐函

23、数的求导公式隐函数的求导公式34原方程组两边分别对原方程组两边分别对,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程组得解方程组得yvyu ,求求 0022222vuxyuvyxy求偏导数：求偏导数：隐函数的求导公式隐函数的求导公式35书上第书上第36页例页例4中对中对0),(),(),(),( vuyxvuGFJ即即 ),(),(vuGF因为因为 0),(),(0),(),(vuyyvuyxGvuxxvuyxF的的解释解释.vuvuGGFF 注注),(),(vuyx ux vx uy vy 隐函数的求导公式隐函数的求导公式0 已知已

24、知36求求例例,xr ,x ,yr y 解解 法一法一 sincosryrx对对 x求偏导：求偏导：),(),(yxyxrr cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos xr 0 sin cos r x 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1cosx xr sinr 37对对 y求偏导求偏导,r sin ry cos ,sin yr同理，同理， xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己练自己练.隐函数的求导公式隐函数的求导公式38法二法二 用全微分形式不变性用全微分形式不变性 xd,xr ,x ,yr y sinco

25、sryrx求求 cossinsincosdrrr cosdsindryrx cos xr sin yr yd cosrd r d)sin( sinrd r dcos 隐函数的求导公式隐函数的求导公式cos dsindxy39 dcosdsindd)sin(dcosdrryrrxyxdsindcos rx sin ry cos 隐函数的求导公式隐函数的求导公式dcossinsincosrrsincosddxyrr401995年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 设设解解 ud 0 0),(2 zexy 将将zxxexxyddcosd2321

26、 法一法一得得得得xfxdyfyd zfzd xxd21 yeyd2 zd3 xfxdyf xxdcos zfzd 隐函数的求导公式隐函数的求导公式两边两边求全微分求全微分,两边两边求全微分求全微分,( , , )uf x y z将d,0,.dufzx其中均一阶连续可导且求1232cosddyxexzx41 xuddxxfxfuyxdcosdd xfxexzydcos2321 xffyxcos zyfxex321cos2 42法二法二由由2sin,(, ),0,xG x zx ezz且用公式用公式:GxGz122cosddyxzzGxexzxG xuddxxfxdd xzfzdd .dd, 0

27、,xuzf求求均一阶连续可导且均一阶连续可导且其中其中 x21 xeycos2 , 03 01 02 13 隐函数的求导公式隐函数的求导公式xyfydd xffxzyxcosdd zyfxex321cos2 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 设设( , , ),uf x y z由得431999年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分和和是是由由方方程程设设)()(),(yxxfzxzzxyy 分分别别具具有有和和其其中中所所确确定定的的函函数数FfzyxF,0),( .ddxz求求解解)(yxxfz xyfxfxzdd1dd隐函数的求导公式隐函数的求导公式一阶连续导数和一阶

28、连续偏导数一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将分别将的两端对的两端对x求导求导,得得0dddd xzFxyFFzyx xzyFxzFxyFfxfxzxyfxdddddddd)0()(dd zyzyxyxFFFfxFFfxFfxfxz( , , )0F x y z 和44隐函数的求导公式隐函数的求导公式2002年考研数学年考研数学(四四),7分分),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数有连续偏导数,且且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 解解 法一法一,),(zyxzeyexezyxF 设设则则用公式用公式,11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF .)1(zzezF 故故而而,11zxzxzxe