高等数学：5-1 定积分

1、1第五章第五章 定积分定积分 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.2第五章第五章 定积分定积分基本要求基本要求 理解定积分的定义和性质理解定积分的定义和性质,微积分基微积分基本定理本定理,了解反常积分的概念了解反常积分的概念,掌握用定积掌握用定积分表达一些几何量与物理量分表达一些几何量与物理量(如面积、体

2、如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法积、弧长、功、引力等）的方法.3第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义关于函数的可积性关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义小结小结 思考题思考题 作业作业 定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质*definite integral41.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出定积分概念也是由大量的实际问题抽象出求由连续曲线求由连续曲线及及0)( xfy所所围围成成0, ybxax和和直直线线.A的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积一、一、

3、定积分问题举例定积分问题举例定积分的概念与性质定积分的概念与性质来的来的, 现举两例现举两例.ab)(xfy Oxy? A5用用矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）habAhxf)(,)()( 矩矩形形面面积积公公式式为为时时常常数数思想思想以直代曲以直代曲显然显然,小矩形越多小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积OxyOxy6ab)(xfy 个个分成分成把区间把区间nba,1iixx 在每个小区间在每个小区间 采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤

4、来求面积A.(1) 分割分割任任意意用用分分点点,1210bxxxxxann (2) 取近似取近似为底，为底，以以,1iixx 的窄曲边梯形的面积的窄曲边梯形的面积上对应上对应表示表示,1iiixxA 定积分的概念与性质定积分的概念与性质;1 iiixxx，小区间小区间,1iixx 长度为长度为)(if 为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替Oxyix1x1 ix1 nx，上任取一点上任取一点i i iA ,( ),1,2,iiiiAAfx in有7 AiniixfA )(lim10 (3) 求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似

5、值的近似值.(4) 求极限求极限 为了得到为了得到A的精确值的精确值,时，时，趋近于零趋近于零)0( 取极限取极限,形的面积形的面积:分割无限加细分割无限加细,定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniixf )(1 极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯,max21nxxx 即小区间的最大长度即小区间的最大长度82. .求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思想思想以不变代变以不变代变设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度)(tvv 是时间间隔是时间间隔tTT上上,21的一个连续函数的一个连续函数, 0)( tv且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.思

6、路思路把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段, 每小段上每小段上速度看作不变速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便便得到路程的近似值得到路程的近似值,最后通过对时间的无限最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质定积分的概念与性质9(1) 分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和iinitvs )(1 (4) 取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值(2) 取近似取近似is ), 2 , 1(ni 0 令令定积分的

7、概念与性质定积分的概念与性质表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.,1iitt 某时刻的速度某时刻的速度10二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f (x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点bxxxxxann 1210把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间, 各小区间长度依次为各小区间长度依次为), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点),(iiix 作乘积作乘积), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 记记,max21nxxx 如果不论对如果不论对

8、(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:; II2) 方法一样方法一样;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 结果形式一样结果形式一样.定积分的概念与性质定积分的概念与性质,ba11被积函数被积函数被积表达式被积表达式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点i 怎样的取法怎样的取法,只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分. .定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分

9、上限积分上限积分变量积分变量a,b积分区间积分区间12 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2) 的结构和上、下限的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质定积分的概念与性质取法取法上上i 有关有关; ;注注取法取法上上i 无关无关. .而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.t

10、t bafd)(u u13, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 baxxfd)(1. 几何意义几何意义2A 1A 3A 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义三、定积分的几何意义和物理意义Oxyab)(xf1A2A3A14几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxxfd)(各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条直线直线 x = =a, x = = b之间的之间的

11、在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积Oxyab)(xf 15例例xx d1102 求求解解4 21xy 2. 物理意义物理意义,0)(时时当当 tvt = b所经过的路程所经过的路程 s.)(tvv oxy11 xx d1102 battvd)(作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻到时刻定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分定积分表示以变速表示以变速16定理定理1 1定理定理2 2或或记为记为.,baRf 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)定积分的概念与性质定积分的概念与性质四、四、关于函数的可积性关

12、于函数的可积性,)(上连续上连续在在设设baxf上上在在则则,)(baxf可积可积. .,)(上有界上有界在在设设baxf且只有有限个间且只有有限个间上上在在则则,)(baxf可积可积. .当函数当函数上上在区间在区间,)(baxf的定积分存在时的定积分存在时,上上在区间在区间称称,)(baxf可积可积. .黎曼可积黎曼可积, , 断点断点, ,充分条件充分条件17解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy ,等分等分n,nixi 分点为分点为分成分成将将1 , 0定积分的概念与性质定积分的概念与性质和和x轴所围成的曲边梯形

13、面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线1 xni2 , 1 小区间小区间,1iixx 的长度的长度,1nxi ni2 , 1 取取,iix ni2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxin1n18nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 niinixf )(1 nn121161对于任一确定的自然数对于任一确定的自然数,n积分和积分和 xx d102当当n取不同值时取不同值时,xx d102 近似值精度不同

14、近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.19定积分的概念与性质定积分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题讨论定积分的近似计算问题.,)(baCxf 设设 baxxfd)(存在存在.n等分等分,用分点用分点bxxxxan ,210分成分成n个长度相等个长度相等的小区间的小区间,长度长度,nabx 取取,1 iix 有有 iniibaxfxxf )(limd)(10 baxxfd)( ni 1nab )(1 ixf nlim)(lim11 niinxfnab每个小区间每个小区间对任一确定的自然数对任一确定的自然数,n)(11 niixfnab , a b将 , a b将20定

15、积分的概念与性质定积分的概念与性质nab baxxfd)()(11 niixfnab), 2 , 1 , 0(ni iiyxf )(记记取取,1 iix ,nabx 如取如取,iix baxxfd)(nab baxxfd)(矩形法矩形法公式公式).(110 nyyy).(21nyyy 矩形法的矩形法的几何意义几何意义xOy)(xfy ab21对定积分的对定积分的补充规定补充规定,)1(时时当当ba baxxfd)(0,)2(时时当当ba baxxfd)( abxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质五、定积分的性质五、定积分的性质在下面的性质中在下面的性质中, 假定定积分都存在假定定积

16、分都存在, 且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小22证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(23证证 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性质性质2 2性质性质1和性质和性质2称为称

17、为定积分的概念与性质定积分的概念与性质线性性质线性性质. . baxxkfd)( baxxfkd)()( 为常数为常数k24cba,例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 3 cbxxfd)( cbxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质假设假设bca baxxfd)( axxfd)( bxxfd)(cc的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.不论不论25证证0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(

18、1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 baxxf0d)(性质性质4 4性质性质5 5定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxd1 baxdab 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba 26解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 定积分的概念与性质定积分的概念与性质xxd20 比较积分值比较积分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例27性质性质5 5的推论的推论1 1证证)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxf

19、xgba0d)(d)( babaxxfxxg定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间上上,ba),()(xgxf 则则 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性质性质5 5 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba 28)(ba 证证| )(|)(| )(|xfxfxf 说明说明性质性质5 5的推论的推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质5 5 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfx

20、xfd| )(|d)( baxd baxd baxd可积性是显然的可积性是显然的.上的上的在在,| )(|baxf由由推论推论1 129证证Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6定积分的概念与性质定积分的概念与性质mM和和设设分别是函数分别是函数上的上的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 则则30解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030

21、 3dsin31403 xx定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分.dsin3103的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 31解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)( Cxf定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分.dsin24的值的值xxx 例例上上在在 2,4)( xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 2132证证Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由闭区间上连

22、续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连续连续, ,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 积分中值公式积分中值公式上上在在,ba至少存在一点至少存在一点 , baxxfabfd)(1)( 使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 33定理用途定理用途 )( f注注定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理） 如果函数如果函

23、数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连续连续, ,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 无论从几何上无论从几何上, 还是从物理上还是从物理上, 都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值. baxxfabfd)(1)( )(ba .,)(上上的的平平均均值值在在区区间间就就是是baxf34).1( 设设解解.2 T周期周期 21例例 200dsin2ttE0 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分几何

24、意义定积分几何意义 E 2tE sin0td0求电动势求电动势在一个周期上的在一个周期上的tEE sin0 平均值平均值35积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质定积分的概念与性质)(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一点至少存在一点 在区间在区间, 使得以区间使得以区间,ba为底边为底边,以曲线以曲线)(xfy 为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的一个矩形的面积的一个矩形的面积.)(xfy ab )( fOxy36例例0dsinlim xxxannn求证求证证证 由由积分中值定理积分中值定理有有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a为常数为常数)nn sin定积分的概念与性质定积分的概念与性质)()(d)(baabfxxfba ()nan373. 定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4.