高等数学：1-7 无穷小的比较

1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限小结小结 思考题思考题 作业作业第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较第一章第一章 函数与极限函数与极限2如如, ,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx,0时时当当 x;0302要快得多要快得多比比xx;00sin快慢相仿快慢相仿与与 xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 观察各极限观察各极限是无穷小是无穷小., x,2x,sin xxx1sin2一、无穷小的比较一、无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快

2、慢快慢”程度不同程度不同.3定义定义,lim)2( 如果如果),0(lim)3( CC 如果如果, 0lim)1( 如如果果,1,时时当当特别特别 C 是是比比就就说说);( o 记作记作是是与与就说就说 是是与与则称则称 . 记作记作 infinitesimal equivalenec无穷小的比较无穷小的比较是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;低阶的无穷小低阶的无穷小;同阶无穷小同阶无穷小;等价无穷小等价无穷小, 设0.且就说 是比4Ck lim)4(如如果果的的是是关关于于就就说说 ),0, 0( kC如如,时时 n;112 non的的是是nn112

3、高阶无穷小高阶无穷小,时时 x的的是是xx1001同阶无穷小同阶无穷小.因为因为20cos1limxxx 的的是是xxcos1 ,0时时所以当所以当x二阶无穷小二阶无穷小.2,21 21无穷小的比较无穷小的比较 k 阶无穷小阶无穷小.5常用等价无穷小常用等价无穷小,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex .21cos12xx ,2111xx ,arcsinxx时时当当0 x无穷小的比较无穷小的比较,111xnx n6例例解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx xxx30tan4lim30)tan(lim4xxx , 4 .ta

4、n4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解xxxsintanlim0 xxxtan(lim0,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 4x?x3x)cos12xx )0( CC无穷小的比较无穷小的比较21cos1lim20 xxx7定理定理1 1证证, lim 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o lim. )(limo )(1limo, 1 因此因此设设则则1 因此因此 ),( o设设则则( ).o无穷小的比较无穷小的比较二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极

5、限8 两个等价无穷小的差两个等价无穷小的差, ,比它们中比它们中的任何一个都是高阶无穷小的任何一个都是高阶无穷小;,)(等价等价仍与原无穷小仍与原无穷小之和之和与它的高阶无穷小与它的高阶无穷小 o.)( o x,0,时时当当例如例如xxx 2sinxx 此定理说明此定理说明: :或者说或者说, ,一个无穷小一个无穷小 )( o , x,x. x无穷小的比较无穷小的比较322xx 9例例 xsin xcos1,0时时当当 x,sinxx,tanxx,21cos12xx 所以所以时有时有当当0 x xtan所以所以时有时有当当0 x所以所以时有时有当当0 x),(xox ),(xox ).(212

6、2xox 无穷小的比较无穷小的比较所以所以时有时有当当0 xarcsin ,xxarcsin( ),xxo x10定理定理2 2, 设设证证 lim lim( lim).(lim 或或A ),(lim 或或且且A lim则则 ) lim lim ).(lim 或或A ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )无穷小的比较无穷小的比较11例例.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0时时当当 x 原式原式等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明, , 两个无穷小之两个无穷小之比的极限比的极限, ,可由它们的等价无穷小之比的极限可由它们的等价无穷小之比的极限代替代替. .给给 型未定

7、式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便. .00,22tanxx,55sinxx xxx52lim0无穷小的比较无穷小的比较.5212例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解,0时时当当 x 原原式式. 8 加、减项加、减项的无穷小不要用等价无的无穷小不要用等价无穷小代换穷小代换.注注,21cos12xx .22tanxx22021)2(limxxx无穷小的比较无穷小的比较13例例xxxx2sinsintanlim30 求求解解 原式原式. 0 解解,0时时当当 x xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 错错 ,0时时当当 x,tanxx,sinxx3

8、0)2(limxxxx )cos1(tanxx 330)2(21limxxx无穷小的比较无穷小的比较14例例xxxx3sin1cos5tanlim0 求求解解 x5tan x3sin xcos1 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 ),(5xox ),(3xox ).(2122xox )( o ,sinxx,tanxx221cos1xx 0limx)(5xox )(2122xox )(3xox x分母同除以分母同除以分子分子,无穷小的比较无穷小的比较15xxxxtansin21lnlim. 10 求求解解xxxxtansin21lnlim0 xxxtan1ln

9、lim0 xxxtansin2lim0 xxxtan)1ln(lim210 xxxtansinlim2025 ,sinxx,tanxx,)1ln(xx 无穷小的比较无穷小的比较16xxxxx2sin11lim320 解解,0时时当当 x,21xx2sin.2x故故.2sin11lim. 2320 xxxxx 求求xx2111 , 0 x)11(2 xx)(212xx )2sin(3xx 以及以及.41221lim0 xxx无穷小的比较无穷小的比较171. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶同阶(等价等价)无穷小无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.无穷小的比较无穷小的比较三、小结三、小结 反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢快慢,18思考题思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？无穷小的比较无穷小的比较解答解答不能不能都是无穷小都是无穷小,但但 )