电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解

1、目目 录录一一静态场的静态场的三三分离变量法分离变量法静态场的静态场的分布型问题：由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分分布型问题：由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分 公式求空间各点的场分布。公式求空间各点的场分布。边值型问题：由已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。边值型问题：由已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。解法解法解析法解析法数值法数值法（镜像法、分离变量法）（镜像法、分离变量法）（有限差分法）（有限差分法） 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某一特定的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决

2、于物理量的的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，即，即初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。 静态场量与时间无关，因此位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程静态场量与时间无关，因此位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就是静态场的是静态场的边值问题边值问题。静态场的静态场的自然自然边界条件边界条件边值问题边值问题微分方程微分方程边界条件边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件

3、衔接条件第一类第一类第二类第二类第三类第三类022nn221121)(sf1S)(2sfnS)()(3sfnS有限值有限值rrlim2. 2. 唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：可判断静电场问题的解的正确性：例例 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？00300201UxdUCUxdUBxdUA 、答案：（答案：（ C C ） 唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法( (试探解、数值解、解析解等）试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。提供了思路及理论根据。1. 1. 唯一性定理唯一性

4、定理 在场域在场域V V中的边界面中的边界面S S上给定上给定 或或 的值，则泊松方程或拉普拉的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域斯方程在场域V V内具有惟一解。内具有惟一解。 n分离变量法分离变量法 分离变量法分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下。一般情况下, ,采用正交坐标系可用分采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与场域边界与正交坐标面重合或平行时正交坐标面重合或平行

5、时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。分离变量法分离变量法0222222zyx无源

6、区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 )()()() , ,(zZyYxXzyx令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得，得 0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量于常数。同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知

7、第二项及第三项也分求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得，分别求得222 , ,zyxkkk0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程0222zyxkkk由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，

8、而且三个常微分方维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为xkxkxxBAxXjjee)(xkDxkCxXxxcossin)(或者或者分离变量法分离变量法 分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的常微分方程的解

9、具有完全相同的形式。这些解的的线性组合线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。定的边界条件。 分离变量法分离变量法 例：图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且例：图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为，金属槽截面为正方形（边长为a a），试求），试求金属槽内电位的分布。金属槽内电位的分布。 xasin100解：解： 1) 选定直角坐标系选定直角坐

10、标系0 xa100000yxay0axax0ayax00yay00 x22222),(),(),(),(sin（D D域内）域内）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）(5(5）接地金属槽的截面接地金属槽的截面2)2) 分离变量分离变量)()(),(yxyx21)6(00dyd10dxd122222121 22222121dyd1dxd1代入式（代入式（1 1）有）有根据根据 可能的取值，可有可能的取值，可有6 6个常微分方程：个常微分方程：2222dyd1，2121dxd1设设)7(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2122 )8(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n21

11、21 称为分离常数称为分离常数, ,可以取值可以取值000和,3 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。)()()(yDCxBAyx000021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn4 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 0B0Bn00aKFaKDBnnnnnsinsin),( 321nanKn0A0A0A0ay00 xy)ann0轴0C0C0C0ax00yx)bnn0轴0a

12、y0ax)c 双曲函数双曲函数yanshxanFyx1nn)sin(),(yanshxanFyx1nn)sin(),(d d） ay ax100ax0sin xanaanshFax1001nnsin)(sinxanF1nnsin 比较系数法：比较系数法：当当 时，时，1n 0F0Fnn yaxsh)asin(sh100)y,x(（D D 域内）域内）当当 时，时，1n 100shFF11 sh100F1 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。 若 ， V1001nnaxnF100sin shnFFnn 0n400),( 531nyanxshannshn1400yx1n

13、sin),(),( 642n),( 531n 利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分 nFxamsinxdxamxanFxdxam1001na0na0sinsin sin接地金属槽内的等位线分布电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 01122222zrrrrr令其解为令其解为 )()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函数，而第一项及第三项与 无关，因无关，因此将上式对此将上式对 求导，得

14、知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为的导数为零，可见第二项应为常数，令常数，令 222dd1k分离变量法分离变量法0dd222k即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为 ，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定是以的变化一定是以 2 2 为周期的周期函为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k 一定是整数，以保一定是整数，以保证函数的周期为证函数的周期为2 2 。令。令 ，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为20mkmBmA

15、cossin)(考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr分离变量法分离变量法上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 222dd1zkzZZ0dd222ZkzZz即即式中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当指数函数。当 kz 为实数时，可令为实数时

16、，可令 zkDzkCzZzzcossin)(式中式中C, D 为待定常数。为待定常数。 将变量将变量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222RmrkrRrrRrz分离变量法分离变量法若令若令 ，则上式变为，则上式变为 222xrkz0)(dddd22222RmxxRxxRx上式为标准的柱上式为标准的柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 )(N)(J)(rkFrkErRzmzm 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而电位微分方的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。程的通解应为三

17、者乘积，或取其线性组合。 式中式中E, F 为待定常数为待定常数, 为为 m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数， 为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，贝塞尔函数的特性知，当当r = 0 时，时， 。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括 r = 0 时，此时，此时只能取第一类时只能取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的解。贝塞尔函数作为方程的解。 )(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm分离变量法分离变量法 若所讨论的静电场与变量若所讨论的静电场与变量 z 无关，则分离常数无关，则分离常数 。那么。那么电位微分方程变为

18、电位微分方程变为0zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 mmFrErrR)( 若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则 m = 0。那么，电位微。那么，电位微分方程的解为分方程的解为 00ln)(BrArR考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 110)cossin( )cossin(ln),(mmmmmmmmmDmCrmBmArrAr分离变量法分离变量法 例例 设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的的导体圆柱放入无限大的均

19、匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。试求导体圆柱外的电场强度。 解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴轴为圆柱轴线，电场强度的方向与线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 xEEe00 当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式，无关。解的形式可取前述一般形

20、式，但应满足下列两个边界条件：但应满足下列两个边界条件： xyaE0O 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 01arrEe0ar因此因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 cos) ,(00rExE 此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为 cos 的函数，可见系的函数，可见系数数 ，且，且 m = 0。因此电位函数为。因此电位函数为00mmCAAcoscos),(11rDrBr01EB201aED 那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1

21、应为应为代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 coscos),(200raErEr则柱外电场强度为则柱外电场强度为 zrrzreeeE1sin1cos1022022EraErareexyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理， 的解应为的

22、解应为mBmAcossin)(分离变量法分离变量法0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 ) 1(dddd12nnrRrrR0) 1(dd2dd222RnnrRrrRr式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 1)(nnrDCrrR将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得分离变量法分离变量法0sinsin) 1(ddsindd2mnn令令 ，

23、则上式变为，则上式变为xcos01) 1(dd)1 (dd222xmnnxxx上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量qrRRaqdodaqqd, add2 球壳内的电位22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad球面的镜像球面的镜像【例2】点电荷对接地空心导体球壳的镜像 导体球面的内表面上感应电荷面密度为qrRRaqdod22223 2()4(2cos )Sr aq adra

24、adad 2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq adaqSqaadad 导体球面的内表面上的感应电荷总量为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 aqqd, add2 球面的镜像球面的镜像【例3】点电荷对不接地导体球面的镜像PqarRd 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正 电荷分布，但总的感应电荷为零 采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则 qPaqrRRddq2,aaqq ddd 球面的镜像球面的镜像【例3】点电荷对不接地导体球面的镜像PqarRd 采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 然后断开接