弹性棒的弯曲变形

1、弹性棒的弯曲变形研究案例背景对于某一均匀圆柱形细长弹性棒，在棒的两端施加方向相反大小相等 （等于F ）的轴向压力.实验表明，当且仅当F大于某力F1时，棒才会发生弯曲.这个力F1称为临界力.而当F = F 2 Q 2F时，棒的平衡状态如示意图1那样：棒的两个端点重合（假设棒仍处在弹性限度之内）.试建立数学模型来验证实验的结果.并且完成 以下任务：一、计算力学特征：1. 临界力F1的表达式；2. F2 / F1的精确的理论比值.二、计算F = F2时棒的平衡状态曲线的几何特征：1 .宽度与棒长之比；2 .高度与棒长之比；3. 端点重合处的夹角（单位：度）.示意图1问题的分析仔细思考问题的条件和要求

2、，思考如下：1. 工作前奏一一概念理解F2 / F1的精确的理论比值，通过对材料力学和数学的理解，并查阅了相关资料，认为它是指相对于给定的 &,这里的精确不是指误差为 0,而是指在允许的范围内较2更为精确的比值，比值越精确，模型越是合理。2. 中心任务建立在 F2作用下弹性棒的的曲线方程并求解(1) 问题转化。问题要求确定一个精确F2/F 比值，以及计算出 F = F2时棒的平衡状态曲线的几何特征；即使要求建立一个合理的曲线方程模型来表示弹性棒的变形， 并通过解此方程球的相应的几何特征。(2) 具体方法。具体方法是否得当，不仅仅是该模型建立本身的合理性、逻辑严密性， 而且要求该模型具有

3、可解性，即该模型能够通过现有的数学手段求解。从F1的求解入手，层层递进，使模型逐步优化。1) 按照纯弯曲理论，对细长杆小变形压杆失稳用梁挠曲线近似微分方程式按照材料力学公式求解一一即欧拉公式。2) 在1)的基础上，对大变形理想弹性棒进行分析，据结构力学对称性分析，将 切作用下的弹性棒简化为一端固定，一端自由的弹性棒，类比欧拉公式，得出其挠曲线 微分方程。3) 对该方程进行进一步分析和简化，发现其是不可积方程， 故对该方程利用进行优化，通过在固定端的近似求解，将弹性棒的变形曲线分解成两段。通过边界条件，近似 解出该方程。3. 目标工作得到该方程后，代入相应条件，得出曲线的几何特征。4. 模型反思

4、在支座附近曲线求解上采取了近似处理，将整个棒上弯矩取为常数自由端弯矩，事实上，并非常数。截断点离固端越近，求解越是精确。二. 模型假设1. 棒是均匀的，圆柱形的，细长弹性的。2. 棒的截面尺寸相对于其长度为无穷小。3. 在模型I、中，弹性棒发生的是纯弯曲变形，轴力和剪力对弹性棒的变形不起作用。4. 在模型I中，在 F1作用下，棒处于临界状态，可认为杆发生了极其微小的侧向位移6。5. 在模型II中，不同杆长所形成的曲线是相似的，即不同杆长所形成的曲线的相应几何特征之比应等于杆长之比.三. 符号约定EI :弹性棒的截面抗弯刚度(其中E为弹性模量，I为截面惯性矩)M 截面弯矩，规定以逆时针为正。P

5、:曲率半径。F:压力。U :曲线上任一点的斜率。四. 模型的设计和求解根据问题分析，问题先转化为平衡状态曲线方程的确立，再以此确定相应的F值和几何特征。1.模型I(1) 模型的建立和求解根据问题分析，可将该弹性细长棒等效为两端用球形皎支座支承的细长杆，在它的两端作用轴向压力F,当F的的大小到达F1时杆因水平方向的微小干扰而产生微小弯曲，并在此微弯状态下保持平衡。因属于小变形，可以梁挠曲线的近似微分方程式描述，即图一临界状态条件下d2y _ M(x) dx2 EI(1-1)由图：在任意截面处杆的玩具M(X)有M(x)=Fi yy"二-墅，令 k2=，则EIEI".2y +k

6、y=0代入(1-1)式得:(1-2)其通解为y=A割nkx+B gcoskx ,代入边界条件X=0,Y=0X=L,Y=0解得 B=0, KL=N n (N为整数)，代入k2 = f，得2 2 一(1-3)(1-4)l n ttEIF1 = Y取N=1,即得临界荷载/EIF1=T即为欧拉公式，此公式由欧拉导出。2,模型模型I只能解决小变形问题，在F2作用下棒的弯曲属于大弯曲问题，须从梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式从头推起。(1)模型的建立根据结构力学对称性分析可将细长弹性棒简化为如图所示，取上半段进行研究。梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式为】=M(1-5)p EI2图二F2状态下(1-6)在这里，M,

7、P已不是常量，而是 X的函数，可将上式改写为而= y/(x)31 (y)23(1-7)代入得y = _ M(x) 1 (y)23 EI考虑到M (X)芝0, y <0 (从曲线大致形状得出)取31 (y)23_M(x)EI(1-8)将M(X)= f2双代入上式，并令 K=F2, u = y',并积分得建=_k x2 _1 +C (C为常数).1 u22代入边界条件xT D,UT -8 ,得到CwE，代入上式得uk 2-x2(1-9)将进行整理得u3 =dx2k 2 ,kD2-x -1+ 22.,k 2 】kD2、21-( x -1+)22从而得曲线表达式:y =.-x2-1kD2

8、(1-10)D D1=2 .i+Udx=2dx1-(、* -1)200利用棒长为1 , yA = yB得k okD2d - x -1 + 22 2 dx=0o . ,k 2 . , kD、21-(2x -1+ 2)(1-11 )上述方程组仅含两个未知数，理论上可解。(2) 解模上述积分方程均没有原函数，故不能用常规方法求解，考虑到条件f2 2F1,则可以通过计F2 uEI算机搜索法求解.具体如下：由f2 * 2F1, K= m , R = - t2；F再通过曲线大致图像得U =0 , xc>c4>0在0 < x < D恒成立得出2-及 1-('x2-1+ )24

9、228 一2 L、(,，一，-<kD <4 ,有假设5取L=1,理论上则可通过 MATLA函程得到K,D的解。具体算法如下: 3开始(3)通过编程运行发现，得不出想要的结果。通过对方程组(1-11)进行分析发现，由于被积函数在X=D的奇异性，使得函数无论通过符号还是数值都无法求解。故模型失败。3 模型m模型n无法求解，是因为被积函数存在奇异性，且在在理论上是不可积函数。故而须用近似的模型代替模型n进行求解，但是近似模型必须具有足够的精度。故而有了模型m(1) 模型的建立 奇异点的处理图三D-D '段的近似计算在B点附近(如D点)，弯矩M已经足够大，从 D到B点M增量相对于总

10、量可忽略不计，即将M近似为常数。设xD=L, yD =t1 (可通过模型II求出)，在D-D'段，由纯弯曲理论不难得"y=-c(1-12)1 (y)23EI其中Md=R1 ,同理可解得dy klxc、U= (1-13)dx .1-k2l2x2klx则D-D'的长度 为tc-c'=亨节亏dx(1-14 )，可积理论上，只要 D点越靠近B点，tCY，就越精确。 c C 在A-D区域，仍采用模型II的函数。(2) 解模1=dx ,220kD kX 21-( 2 - 2 -1)算法A-D的曲线长度为t2= J J+U2 X= f2kD2 -1+ L dx , f 22

11、-1+kD )220iD点纵坐标t1 = yD = j0弹性棒总长度为L=2 L +1(1-15)2 C-C方程(1-15)虽含有两个未知数K、D,但还是可以通过计算机算法求解。因为这里在建模时就已经认为 A, B点在同一水平面，这是隐含的一个条件。同模型口，可用 MATLAB编程进行循环搜索。算法流程图如下：将k, D代入方程中，得出曲线方程结束1J初步计算结果经过编制程序1计算，初步得出结果如下:组数KDt1L119.478327481851910.409103286551800.119341501446891.00926702107444219.578327481851910.40805

12、7162927690.119036331657011.00668043730346319.678327481851910.407019023649680.118733491019391.00411366877309419.778327481851910.405988767666730.118432950055971.00156646338761519.878327481851910.404966295709280.118134679808330.99903857352555619.978327481851910.403951510249060.117838651826030.996529755

13、93795720.078327481851910.402944315460010.117544838155190.99403977164943820.178327481851910.401944617180280.11725321132740.99156838586200可以发现K值得精确解应该在 19.420.2之间，D的精确解应该在 0.40左右，t的精确解应该在0, 11 0.12之间. 计算结果优化编制程序2,在K在9.4-20.2之间和D在0.4附近对结果进行进一步优化。优化结果如下（部分数据）组数KDt1L119.2230.3970.009455300688190.99991892

14、959063219.2240.3970.009483004072000.99999655550612319.2250.3970.009510709471311.00007420031572419.2260.3970.009538416887071.00015186402596519.2270.3970.009566126320241.00022954664339上面五组数据是所有数据最合理的解。选择最优解，故最后结果可取K=19.224 D=0.397将其带入原函数解得将其带入原函数解得xc =0.2315, yc = 0.12671853039940A = 3005939" 从而得

15、到原问题的解1）R =卡k2）F2 / F1 = n= 1.948,冗3）宽度与棒长之比，即D,为0.397 ,4）高度与棒长之比即2 yc =0.253436，取0.2535）端点重合处的夹角（单位：度）a = 710598" 进一步优化由假设可知，到 D点越靠近B点时，计算结果越是精确，故在程序二的基础上将D点向B点靠近，取L=0.385,得到程序三。部分优化结果如下：组数KDtL120.9810.3960.04726523663501.00001343189113220.8520.3970.048692716554931.00003448116483320.4710.4000.

16、052452069591460.99997896825555420.5970.3990.051276285898061.00001561056472520.8510.3970.048659791347410.99994593507208上面五组数据是所有数据最精确的解，最后结果可取上面五组数据的平均值，即得K=20.7504,D=0.3978将其带入原函数解得将其带入原函数解得xc =0.2487, yc = 0.12610908614516% = 39°55'40" 从而得到原问题的解1）R =#k2）F2 / F 1= 2 =2.1024,取 2.10n3）宽度

17、与棒长之比，即D,为0.3978 ,4）高度与棒长之比即 2yc =0.252218，取0.2525）端点重合处的夹角（单位：度）A = 7905120"即79.86度。 模型的最后优化上面得到 D=0.3978,故可取xD =0.390,同上，将程序三做微小改变，得程序四，得如下数据:组数KDt1L120.76450.39750.036886170587140.99999176154476220.76500.39750.036902766125491.00003587991195320.76550.39750.036919362743201.00008000291076420.82

18、850.39700.035865992906080.99992892320689520.82900.39700.03588256886970.99997298214455故得最终结果 K=20.7645, D=0.3975将其带入原函数解得将其带入原函数解得xc =0.2484, yc = 0.126292136998515 = 39.826° 从而得到原问题的解1) F1 =号2) f2 / F = r=2.1039,取 2.10n3) 宽度与棒长之比,即D,为0.39754) 高度与棒长之比即 2 yc =0.252584，取0.25265) 端点重合处的夹角(单位：度)2板=79.65度。此时精度已足够高，故可以此为最优解。五. 问题的进一步分析上述模型解决了在纯弯曲条件下弹性棒在F2作用下的变形曲线。但是实际情况下，弹性棒变形时受多方面影响的，从以下几个方面说明：1. 轴力和剪力对变形曲线的影响。弯矩能引起结构的弯曲变形，在轴力和剪力作用下，构件会发生相应的