高等数学1试卷(附答案)

1、题号一二三四五六七八九十总分得分得分评阅人一、填空题 （共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1 由曲线 r2cos所围成的图形的面积是。2 设由方程 x y22 所确定的隐函数为 yy( x) ，则 dyy。dx2x3 函数 ysin 2x 的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为x21 x4o(x4 ) 。341xdx1。0 1x25 函数 yx2 cos x 在区间0 ，上的最大值为3。266 limnnn2 =。22222nn1n2nn4得分评阅人二、选择题 （共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）cosxxsin1, x0，则 x0 是 f (x) 的1. 设 f (x)xD。

2、x2 1,x0A 可去间断点B跳跃间断点C振荡间断点D连续点2. 设f ( x)xx，则当x0时，下列结论正确的是B。232A f ( x)与 x是等价无穷小B f ( x)与 x同阶但非等价无穷小C f ( x )是比 x高阶的无穷小D f ( x) 是比 x 低阶的无穷小3.dxC。1xx21A不存在B0CD24. 设 f ( x) 具有二阶连续导数，且 f (0)0lim f ( x)1，则下列叙述正确， x 0的是A。A f (0)是 f (x) 的极大值 f (0)是 f (x)BC f (0) 不是 f (x) 的极值D f (0)是 f (x)的极小值的最小值5.曲线 yxcos

3、t d t 的全长为D。2A 1B2C3D 46. 当 a, b 为何值时，点 ( 1,3 )为曲线 yax3bx2 的拐点？A。A a3 ， b9B. a3 ， b92222C a3 ， b9D. a3 ， b922227. 曲线 yx 2 x 的凸区间为D。A.( ,2 )B. (2 ,)C.(2,)D. (,2 )ln 2ln 2ln 2ln 2得分评阅人三、计算题（共 7 小题，其中第 1 5 题每小题 6 分，第 67 题每小题 8 分，共 46 分）x21. lim cos1xx1 ,1解： 令 t原式 limcostt 2xt 0lim ln cost( 0型)t 0t20（3

4、分）elimsin t2 t costet 01e2（6 分）2. 设函数 yy(x)由参数方程xln(1 t 2 )所确定 , 求 d 2 y。yt arctantdx211dyd (tarctant )t 2t解：1（3 分）dxd ln(1t2 )2t21 t 2ddytd2 ydxd ( 2)1111 t 2（6 分）dx2dxdtdx22t4tdt1 t 23.xex2 dx(ex1)解： 原式x d(x1)（2 分）e1=x1dxex1ex1=x(11xx1xx)deeee1=xx1ln xexC（6 分）ee14. 求4xdx0 1x解：令 xt (t0) ，则 xt 2，dx2

5、tdt（2 分）4xdx2t2tdt2 t 221)dt0 10 1t2dt 2 (t 1t 1x0 1 t0（6分）22 t 2tln 1t 2ln3205. 设曲线 f (x)xn 在(1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 ( xn , 0) ，求 lim ( x n ) n 。n解： f (1)nxn 1x 1n ，所以 f ( x) 在点 (1,1)处的切线方程为：y n( x 1)1.(*)(2分 )由题意知切线 (*) 与 x 轴的交点为 (xn , 0)，即 0 n( xn1) 1xn1(5分 )1n从而可得：lim ( xn ) nlim (11 )n e 1 (6分)nnn6

6、. 设连续函数 f ( x) 满足 f ( x)f (x)sin 2 x ，求积分 I解：方程两端同乘 sin2 x并从积分到，得：2222f ( x)sin 2 x dx 22f (x)sin 2 xdx22 xdxf ( x)sin2(3分 )2 sin4 xdx 2 2 sin4 xdx 2I4(*)20又 2f (x)sin 2 xdx 令 tx22 f ( t )sin2 ( t )(dt )2 f ( t )sin2 tdt（5 分）22由 (*) 得：I22xdx12I 41 2313 (8分)f (x)sin221622427. 设 f ( x) 连续， F (x)1lim f

7、 ( x)A（ A 为常数），0f (t x) dt ，且 x 0xdF ( x)求x。f ( x)解：由 limA 知： f (0)0。x 0x令 ut x，则t : 01duduu : 0，xdtdtxx1f (tx)dtxf (u) du1x于是 F( x)0f (u ) du ( x 0)0xx01x可见： F ( x)f (u ) du , x 0x 00 ,x 0(4分 )x当 x当 x1x1xf ( x)0f (u)du0时 ， F ( x)f (x)； (6分)x20f (u) duxx20时，F(0)F (x)F (0)limxx01xf (u)du0limx0xx 0xf

8、(u)dulim0(x)2x0limf (x)12xA,x02xxf ( x)0f ( u) du, x0 (8分)所以：F ( x )x2A ,x02得分评阅人四、应用题 （共 1 小题，每小题 9 分，共 9 分）设直线 ya x ( 0a1) 与抛物线yx2 所围成的图形为x 1所围成的图形为 D2 ，若 D1 、 D2 同时绕 x 轴旋转一周得到一旋转体， 试确定 a 的值，使该旋转体的体积最小解： D1 :0xa ， D 2 :ax1x2yaxaxyx 2D1 ，它们与直线yyx2D2yaxaaD1(ax ) 2( x 2 )2a2 x 2x4dxa1xV 10dx0OV 21(x 2 )2( ax)2dx1x 4a2 x 2 dxaa V (a ) V1 V 2aa 2 x2x 4 dx1x 4a 2 x2 dx0aa 2 x3x5ax5a2 x3135053a4a 5a 25.(5分)153由 dV (a )4a 42a ，令 dV ( a)0得： a1 . (7分)da33da3 2又由d 2V ( a)1da2a 3 216 a3233 a 13 21612603233a1.(9分)32 166f ( x)a , ba ,