概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1[1]

1、1 第一章事件与概率1写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品” ，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命，解（1）,100,1 ,0nini其中 n 为班级人数（2）18,4,3（3）,11,10。（ 4）00，100，0100，0101，0110，1100

2、，1010，1011，0111，1101，0111，1111，其中 0 表示次品，1 表示正品。（5）(x,y) 0 x1,0y1 。（6） tt 0 。2设 a，b，c 为三事件，用a，b，c 的运算关系表示下列各事件，。（1）a 发生， b 与 c 不发生。（2）a 与 b 都发生，而c 不发生。（3）a，b，c 中至少有一个发生。（4）a，b，c 都发生。（5）a，b，c 都不发生。（6）a，b，c 中不多于一个发生。（7）a，b，c 至少有一个不发生。（8）a，b，c 中至少有两个发生。解（1）cba， （2）cab， （3）cba， （ 4）abc， （5）cba， （6）cbcab

3、a或（7）cba， （8）bcacab或abcbcacbacab3指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1）bbaba（2）abba（3）abbab则若,（4）若abba则,（5）cbacba（6） 若ab且ac， 则bc2 解: (1) 成立，因为babbbabba)(。(2) 不成立，因为babaab。(3) 成立，abbbababbab,又。(4)成立。(5)不成立，因左边包含事件c，右边不包含事件c，所以不成立。(6)成立。因若bc，则因 ca，必有 bcab ，所以 ab 与已知矛盾，所以成立。图略。4简化下列各式：（1）)(cbba（2）)(baba（3）)()(bab

4、aba解 :（1）bcbacabcbba)(，因为bbcab，所以，acbcbba)(。（2）bbbabaababa)(， 因为aababa，bb且cc，所以)(babaa。（3）)()(bababaababbaa)(。5设 a，b，c 是三事件，且p（a ）p（b）p（c）41，,81)(,0)()(acpbcpabp求 a，b，c 至少有一个发生的概率。解abcab 0p(abc) p(ab)=0 ，故 p(abc)=0 所求概率为p(a bc)=p(a)+p(b)+p(c)-p(ab)-p(ac)-p(bc)+p(abc) 87008102141416 从 1、2、3、4、5 这 5 个

5、数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数；（2）三位数为5 的倍数；（3）三位数为3 的倍数；（4）三位数小于350。解设 a 表示事件“三位数是奇数”， b 表示事件“三位数为5 的倍数”，c 表示事件“三位数为3 的倍数”，d 表示事件“三位数小于350” 。基本事件总数为35av，3 (1)6.060363)(,3352424aaapava；(2)2.060121)(,1352424aabpavb；(3)4.06024!34)(, !3435aapvc；(4) 55.060332)(,235131324131324aaaadpaaavd。7某油漆公司发出17

6、 桶油漆，其中白漆10桶、黑漆 4 桶、红漆 3 桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4 桶白漆、 3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解随机试验e 为任意取9 桶交与定货人，共有917c种交货方式。其中符合定货要求的有410c34c23c种，故所求概率为24312529172334410ccccp8在 1700 个产品中有500 个次品、 1200 个正品。任取200 个。 （1）求恰有90 个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率。解（1）试验 e 为 1700 个产品中任取200 个，共有2001700c种取法，其中恰有

7、90 个次品的取法为90500c1101200c，故恰有 90 个次品的概率为20017001101200905001cccp（2）设事件a 表示至少有2 个次品， b 表示恰有 1 个次品， c 表示没有次品，则a=s-(b c)，且 bc=，bcs p(a)=ps-(b c)=p(s)-p(b)+p(c)20017002001200199120015001cccc9把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解 v=p10=10！ ，设所论事件为a，则va=8！ 3！0 6 7.0!10!3!8)( ap10从 5 双不同的鞋子中任取4 只，这 4 只鞋子中至少有两只

8、鞋子配成一双的概率是多少？解v=c410，设 a 表示事件“ 4 只鞋中至少有2 只配成一双”，则a表示“ 4 只鞋中没有2 只能配成一双” 。4 先求出 p(a ) ，再求 p(a) 。有利于a的情形共有! 446810种（因为不考虑取4 只鞋的次序，所以被4！除）。381.0218! 446810)(410cap故619.021132181)(1)(apap另一解法：有利于事件a 的总数为)(25252815是重复的数目cccc619.02113)(410252815ccccap11将 3 鸡蛋随机地打入5 个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3 的概率。解依题意知样本点总数为

9、53个。以 ai(i=1, 2, 3) 表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i” ，则 a1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有35a种放法，故25125)(3351aapa2表示由 3 个鸡蛋中任取2 个放入 5个杯中的任一个中， 其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为141523ccc种25125)(31415232cccapa3表示 3 个鸡蛋放入同一个杯中，共有5c种放法，故2515)(3153cap12把长度为a 的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解设所论事件为a，线段 a 被分成的三段长度分别用x，y 和 a-x-y 表示，则样本空间为： 0 xa，0ya，0

10、 x+y a，其面积为,2)(2al而有利于 a 的情形必须满足构成三角形的条件，即.2,20,20ayxaayax5 其面积为,)2(21)(2aal25.04121)2(21)()()(22aalalap。13甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设自当天 0 时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及 y，则为：0 x24，0y24， l()=242，设所论事件为a，则有利于a 的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即 y-x1

11、或 y1+x；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即 x-y2 或 yx-2；事件 a 应满足关系： y1+x，yx-2，l(a) 22)224(21)124(21879.024)2223(21)()()(222lalap。14已知,21)(,31)(,41)(bapabpap求)(),(bapbp。解由乘法公式知1214131)()|()(apabpabp)()|()(bpbapabp612/112/1)|()()(bapabpbp311216141)()()()(abpbpapbap15已知在 10 只晶体管中有2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。

12、（1）两只都是正品； （2）两只都是次品； （3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解设以 ai(i=1,2) 表示事件“第i 次取出的是正品“，因为不放回抽样，故6 （1）452897108)|()()(12121aapapaap（2）45191102)|()()(12121aapapaap（3）45169810292108)|()()|()()()()(12112121212121aapapaapapaapaapaaaap（4）4599110292108)()()()(212121212aapaapaaaapap16在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指

13、标，今有一组a3 钢筋 100 根，次品率为2%，任取 3 根做拉伸试验，如果 3 根都是合格品的概率大于095，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理， 问这组钢筋能否用于做构件？解设ia表示事件“第i 次取出的钢筋是合格品” ，则9896)(,9997)(,10098)(213121aaapaapap所以95.09406.0)()()()(213121321aaapaapapaaap故这组钢筋不能用于做构件。17某人忘记了密码锁的最后个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解设以 ai表示事件“第i 次打开锁”（i=1,2,3

14、 ） ，a表示“不超过三次打开” ，则有321211aaaaaaa易知：321211,aaaaaa是互不相容的。103819810991109101)|)()|()()|()()()()()()()(2131211211321211321211aaapaapapaapapapaaapaapapaaaaaapap同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是53314354415451p18袋中有 8 个球， 6 个是白球、 2 个是红球。8 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人， , ，最后一人取得红球的概率各是多少个。解设以 ai(i=1,2, 8)表示事件“第i

15、 个人取到的是红球” 。则41)(1ap7 又因 a2=2121aaaa，由概率的全概公式得4171827286)|()()|()()()()(12112121212aapapaapapaapaapap类似地有)8,4,3(41)(iapi19设 10 件产品中有4 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解设 a，b 分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为51)1()(1)()()()(2102621024aaaaabpbapbapbapbabap20对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为 09，达到 600#的概率为

16、 0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解设 a 表示事件“水泥达到500#” ， b 表示事件“水泥达到600#” 。则p(a)=0.9, p(b)=0.3, 又ab,即 p(ab)=0.3, 所以319.03.0)()()(apabpabp。21以 a，b 分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知p（a） 0.35，p（b） 0.30，并知条件概率为p（a b） 0.15，试求：（1）两个区同时发生停止供水事件的概率；（2） 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解（1） 由题设，所求概率为045.015.03.0)()()(

17、bapbpabp；（2） 所求概率为6 0 5.00 4 5.030.035.0)()()()(abpbpapbap。22设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 只白球、，m 只红球；乙袋中装有n 只白球、 m 只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取只球。问取到白球的概率是多少？解设 a1、a2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则mnnap)(1mnmap)(111)|(12mnnaap1)|(12mnnaap由全概率公式8 )(1()1(111)()|()()|()(1121122mnmnnnmnnmmmnnmnnmnnapaapapaapap23盒中放有12 只乒乓球，其中有9 只是

18、新的。第一次比赛时从其中任取3 只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3 只，求第二次取出的球都是新球的概率。解设)3,2,1 ,0(ibi表示事件“第一次比赛时用了i 个新球”，用 a 表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球” 。则有31239312339)(,)(ccbapcccbpiiiii。由全概公式有416.03025441)()()()(23123933930ccccbapbpapiiiiii。24 将两信息分别编码为a 和 b 传递出去，接收站收到时，a 被误收作b 的概率为002而 b 被误收作 a 的概率为 001信息 a 与信息 b 传送的频繁程度为2：l若接收

19、站收到的信息是a，问原发信息是a 的概率是多少？解设事件 h 表示原发信息为a，c 表示收到信息为a，则h表示原发信息是b。h，h是 s的一个划分。依题意有01.0)|(,98.0)|(,31)(,32)(hcphcphphp由贝叶斯公式有1971963101.03298.03298.0)()|()()|()()|()|(hphcphphcphpchpchp25甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2 倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是

20、乙组加工的概率。解设321,aaa分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，b 表示事件“加工的零件是废品”。则03.0)(,02.0)(,01.0)(321abpabpabp71)(,72)(,74)(321apapap9 11403.004.004.004.07/)03.0102.0201.04(7/02.02)()()()(222bpabpapbap所以1171141)(1)(22bapbap。26有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中 10 只一等品；第二箱装30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的

21、零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解设事件 a 表示“取到第一箱” ，则a表示“取到第二箱” ，b1，b2分别表示第一、二次取到一等品。（1）依题意有：21)()(apap，515010)|(1abp，533018)|(1abp由全概率公式5221532151)()|()()|()(11apabpapabpbp（2）4950910)|(21abbp29301718)|(21abbp由全概率公式21295173214959)()|()()|()(212121apabbpapabbpbbp4 856.052/212951734959)()()

22、|(12112bpbbpbbp27设有四张卡片分别标以数字1，2，34今任取一张设事件a 为取到 4 或 2，事件 b 为取到 4 或 3，事件c 为取到 4 或 1，试验证p（ab ） p（a）p（b） ， p（bc） p（b）p（c） ， p（ca ） p（c）p（a ，p（abc ）pap（b）p（ c） 。证样本空间中有 4 个样本点，而a 、b、c 中均含有 2 个样本点，故2142)()()(cpbpap又 ab 、ac 、bc 中均含有 1 个样本点“取到4”故41)()()(bcpacpabp41)()()(bpapabp同理p(ac)=p(a)p(c) p(bc)=p(b)p

23、(c) 又 abc 中有 1 个样本点取到4 10 )()()(8141)(cpbpapabcp28假设21, bb关于条件a与a都相互独立，求证p ab bpabp b apabp b ap a bp b a()()()()()()()12121212证由21,bb关于条件a与a是相互独立的，故有)()()(),()()(21212121abpabpabbpabpabpabbp，以及)()()()()(1111bapbpabpabpap，从而)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21212121121121121212121abp

24、bapabpbapabpbapabpbapbpabpbapbpabpbapbpabpabpapabpabpapabpabpapbbap29如果一危险情况c 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在c发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有 096 的可靠性（即在情况c 发生时闭合的概率） ，问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为09999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解设 n 只开关并联， 以 ai表示事件“在 c

25、发生时，第 i 只开关闭合“， 则由已知条件诸ai相互独立，且 p(ai)=0.96，从而知，当n=2 时，系统的可靠性为9984.0)96.01(1)()(1)(1)(2212121apapaapaap又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须0.9999nniniiniiniiapapapap)04.0(1)(1)(1)(1)(111即86.204.0lg)9999.01(lgn故至少需用3 只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三

26、人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。11 解设321,aaa分别表示甲、乙、丙击中飞机，)3,2,1 ,0(ibi表示有 i 个人击中飞机，h 表示飞机被击落。则321,aaa独立，且3213321321321232132132113210,aaabaaaaaaaaabaaaaaaaaabaaab于是09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0bp36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1bp41.07.05.06.07.05.04.03.05.04.0)(2bp14.07.05.04.0)(3bp依题意有：1)(,6.0)(,2.0)(,0)(321

27、0bhpbhpbhpbhp于是，由全概公式有458.0114.06.041.02.036.0009.0)(hp。31在装有 6 个白球， 8 个红球和 3 个黑球的口袋中，有放回地从中任取5 次，每次取出一个。试求恰有3 次取到非白球的概率。解由题设知，取一个非白球的概率p=11/17，于是3375.0)17/6()17/11()17/11,5;3(2335cb。若视65.017/11，则可查表得33 6 4.0)65.0,5; 3()17/11,5;3(bb。32电灯泡使用时数在1000 小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 小时后最多只有一只坏了的概率。解设 a 表示事件“一个灯泡可使用1000 小时以上”，则 a 的概率为 p=0.2,q=0.8。考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为1 0 4.08.0)2.0(3)2.0(232230333qpcqpcp。33某地区一年内发生洪水