一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

1、一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广19911991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题切圆，D D、E E、F F 分别是e O与 BCBC、CACA 和 ABAB 的切点，若AKAK 平分 BC.BC.原题：如图1 1，设e O是ABC的 BCBC 边外的旁ODOD 与 EFEF 交于 K K，求证：贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了证明文 1湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作平证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理 道有背景的重要的几何题. .我们拟给出解析证法，并把它推由BDEKO此题，给出了纯几何证法的面几何证明方法全书三次此我们可以看出此题

2、是广到圆锥曲线中去在证明过程中, 要用到以下引理文 2点P(xo,yo)为圆x2占八、 、过点P引的两条切线方程为：2 2(XoX yy R )(Xo22yo2、 “2R )(XR2);切点弦的方程为:XoX2yoyR. .2 2 ). .若点P(xo, yo)2X为椭圆一2ab 0)外点，过点P引椭圆的两条切线方程为：(XoX(2ayoy21)2(%a2yo2y1)；切点弦的方程为:XoX2_ayoyb21. .(3(3). .若点P(xo,yo)为双曲线0,b0)外一点，过点P引双曲线的两条切线方程为：(弩ayoyb221)2(X0Ta2yob221)4a切点弦的方程为:4 4 ). .若

3、点2YOY p(XoX)XoX2_ayoyb21. .2P(xo,yo)为抛物线y29(Yo2pxo) (y 2px)2px(po)外一点，过点P引抛物线的两条切线方程为：切点弦的方程为：yoy p(x x0). .1.竞赛题的解析证法证明：如图 2 2,以旁切圆的圆心 O O 为原点,直线 ODOD 为y轴，过 O O 点垂直于ODOD 的直线为X轴. .建立直角坐标系,设旁切圆方程为x2y2R2，则点 D D 的坐标为(0 0, R R),直线 BCBC 的方程为y R. .2.竞赛题在圆锥曲线中的推广2 2定理 1 1 :如图 3 3，椭圆 仔每1（a b o）旁切于ABC的BC边外，D

4、 D、E E、F F 分别是椭圆与 BCBC、CACA 和 ABABa b的切点，若 ODOD 与 EFEF 交于 K K，则有 AKAK 平分 BC.BC.证明：设点 A 坐标为（Xo,y），点 D 坐标为（m, n）, AK 与 BC 相交于点 M.则过点 D 的切线方程为：mX琴1.a b设点 A A 的坐标为（Xo, yo），则有切点弦 EFEF 的方程为XoX yy R两条切线 AFAF、AEAE 的方程为(xox yoy R2)2(Xo22yo2 2 2 2、R )(x y R )在方程中，令XR2，则点K的坐标为yo直线AK的方程为:R2yoR2将y R代入方程解得设AK与BC交

5、于点M设点yoR代入方程并整理得:B、C的坐标分别为X22xoR( yoR)2o2yoR坐标相同. . 所以点M为BC的中点,生X. .xXoRyoRXoRM的坐标为（一, R）. .yoR(yo2R2)X22xoR(yo（xi, R）,（ X2, R），由韦达定理得2XORyo即直线R)x(yoR R2)2o. .yo,BC中点的横坐标为空X2R2AK平分BC. .XoRyo,BC的中点坐标为（RyoXoR,R）. .与点M的R由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为：2(XoXyy(221)22(笃ay。2b21)2X(pa2yb21)切点弦 EF 的方程为竽殍 1.a b直线 DO 的方

6、程为：ynx.m联立、可得 K 点坐标为：Z 22 2a b ma b n、(2 2，2 2).直线 AK 的方程为:2 2 2 2 2a b n b mx0y0a ny02-22 2 2a b m b mx。a nx)y0Z 22-2a b my0a b nx。2-22 2 2a b m b mx。a nx)y02联立可得点 M 的横坐标:2 4 2 44| 24| 24】2 2a b mx。a b m abn約。a b mny。a b n x。42 2422 42222242any。abn b m x02a b mn約。a b m设点 B、C 的横坐标为XB、Xc， B C 的中点横坐标为

7、 x中,联立可得关于x的一元二次方程：#4224 2 2 ,4 2 22 22.4 2、2(any。abn b x0m 2a b mn x)y0a b m )x4424242424 2 2、(2a b m 2a b mx。2a b x0y0n 2a b mny。2a b n x0)x(a4b4x。2a6b4a4b2n2x。2a6y。2n22a6b2ny。)0.由韦达定理可得2-4 2 4-44-24-24-2 2xBxCa b mx。abm abny。ab mny。a b n x。422422 4222-2242any。abn b m x。2a b mnx)y。abmxM点 M 与 B、 C

8、中点横坐标相等， 又都在切线方程上， 则它们的纵坐标也相等， 这两点是同一 点，所以 M 为线段 BC 的中点，即直线 AK 平分 BC.定理 2 :女口图 4 4 ， 双曲线2b21(a0)旁切于ABC的BC边外,与 BCBC、CACA 和 ABAB 的切点，若 ODOD 与 EFEF 交于 K K，则定理 2 2 的证明与定理 1 1 的证明类似，由于篇幅所2定理 3:如图 5,抛物线y 2px(p 0)旁外，D、E、F 分别是抛物线与 BC、D作 x 轴的平行线与 EF 交于点 K，证明：设点 A 坐标为(Xo,y)，点 DBC 相交于点 H.则有y：2PX1，过点 D 的切线yiyp(

9、xix)D D、E E、F F 分别是双曲线切于 ABC 的 BC 边坐标为(Xi,力)，AK 与K有 AKAK 平分 BC.BC.限，不再赘述CA 和 AB 的切点， 过点 则有 AK 平分 BC.方 程 为由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为2 2 2yoy p(xox)(yo2 pxo)(y 2px)切点弦 EF 的方程为y0y p(x0 x)联立y y1yoyp(xox)可求得点 K 坐标为：(逊xo, yJ，p进而可得直线 AK 方程为：yp(yo y1)x2pxoyo%pxoYopxoYi2 pxoyoyi联立可得点 H 的横坐标：222c 2pxoyoy1pxoy1y%2p

10、x% pxoy1XH2 22p Xo2pyoy1p%2 2 2 2pxyy1pxo% yo% 2p x% pxo%2p2Xo2p2X!2pyy1设点 B C 的横坐标为XB、Xc， B、C 的中点横坐标为 x中,联立可得关于 x 的一元二次方程：p(y22pxo2yo%)x24 卩2冷为 2p(xyy1冷沖2 応/以2 2p(xoyj 2 莎 %2 px)x1 0.2 2 2 22(pxoyyipx)yipxyyiyyi2pxoxJ2p2Xo2 pyoyipy22 2 2 2即 冷 XBXcpxoyoyipxoy pxiyy yyi2 p XoXi22p2Xo2pyyipy：点 H 与 B C 中点横坐标相等，