《概率论与数理统计》魏魏宗舒版课件1.5实用教案

1、思考思考 袋中有袋中有3只白球只白球, 2只红球只红球, 现从现从袋中任取一球袋中任取一球(不放回不放回),充分混合充分混合(hnh)后再任取出另一球，后再任取出另一球， 假设每假设每个球被取到的可能性相同个球被取到的可能性相同. 若已知第一若已知第一次取到的球是白球次取到的球是白球, 问问第二次取得球也是白球的概率是多少？第二次取得球也是白球的概率是多少？设设 A 表示表示(biosh)第一次任取一球第一次任取一球为白球，为白球， B 表示表示(biosh)第二次任取一球第二次任取一球为白球为白球.古典概型第1页/共41页第一页，共42页。所求的概率称为在事件所求的概率称为在事件(shjin

2、)A 发生的条件下发生的条件下事件事件(shjin)B 发生的条件概率。记为发生的条件概率。记为ABP解解 2142P B A 2B Ak4An)()(APABP第2页/共41页第二页，共42页。( )0,()( | )( ).P BP ABP A BP BBAFFF件件概概率率 若（ ， ，P）是一个概率空间，B，且对任意的A，称 为在事件发生的条件下，事条件 发生的1. 定义定义(dngy) ABAB一、条件一、条件(tiojin)概率概率第3页/共41页第三页，共42页。);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件是

3、两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性质性质(xngzh); 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)规范性规范性第4页/共41页第四页，共42页。例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率(gil)是多少? 解: )()()|(BPABPBAP解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用(yngyng)定义21366363第5页/共41页第五页，共42页。则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件为为设

4、设推广推广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB( )0,()() ( )() ( ).P AP ABP B A P AP A B P B设则有3. 3. 乘法(chngf)(chngf)定理)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP第6页/共41页第六页，共42页。例例2 2 一个家庭中有两个孩子一个家庭中有两个孩子(hi zi)(hi zi)，已知其中，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假定一个

5、小孩是男孩还是女孩是等可能）多大？（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能）解解( ,), ( ,), ( ,), ( ,) 男男男女女男女女( , ), ( , ), ( , )A=已 知 一 个 是 女 孩 男女女男女女(,)B 另一个也是女孩女 女由条件(tiojin)概率的公式得)()()(APABPABP 1 4341.3第7页/共41页第七页，共42页。例例3 3 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒1010个，个，其中第一其中第一(dy)(dy)个盒子中个盒子中7 7个球标有字母个球标有字母A,3A,3个标有字母个标有字母B;B;第二个盒子有红球和

6、白球各第二个盒子有红球和白球各5 5个，第三个盒子中个，第三个盒子中8 8个红个红球，球， 2 2个白球。试验按如下规则进行，先在第一个白球。试验按如下规则进行，先在第一(dy)(dy)盒盒子子任取一球，若取得球标有字母任取一球，若取得球标有字母A A，则在第二盒子任取，则在第二盒子任取一球；若取得球标有字母一球；若取得球标有字母B B，则在第三个盒子任取，则在第三个盒子任取一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。求试验成功的概率。NoImage令A=从第一个盒子取得标有字母A的球解解B=从第一个盒子取得标有字母B的球第

7、8页/共41页第八页，共42页。W=第二次取出的球是白球R=第二次取出的球是红球73(),()1 01 0PAPB则 易 得11(/),(/);2241(/),(/).55PRAPWAPRBPWB第9页/共41页第九页，共42页。()()()PRPRP RAB()()()P RARBP RAP RB(/). ( )(/). ( )P RA P AP R B P B1743.0.592 105 10注：求较复杂事件的概率，往往先把它分解成几个互不相容的较简单事件之并。并求得这些简单事件的概率，再利用加法(jif)公式即可。下面求成功的概率：第10页/共41页第十页，共42页。练习：练习： 五个阄

8、五个阄, , 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, , 三个阄内不写字三个阄内不写字 , , 五人依次五人依次抓取抓取, ,问各人问各人( rn)( rn)抓到抓到“有有”字阄的概率是字阄的概率是否相同否相同? ?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i则有,52)(1 AP)()(22APAP)(112AAAP 抓阄抓阄(zhu ji)是否与次序有关是否与次序有关? ,的事件的事件人抓到有字阄人抓到有字阄第第表示表示设设iAi第11页/共41页第十一页，共42页。)()()(212121333AAAAAAAPAPAP)()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42

9、534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP )()(2121AAPAAP 第12页/共41页第十二页，共42页。)()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此类推(y c li tu).52)()(54 APAP故抓阄与次序故抓阄与次序(cx)无关无关.第13页/共41页第十三页，共42页。12001212,1, ,1,2, ;2,.nijnnEB BBEB Bi jnBBBB BB 定义设为试验 的样本空间

10、为的一组事件 若则称为样本空间的一个划分1. 样本空间的划分样本空间的划分(hu fn)1B2B3BnB1nB二、全概率二、全概率(gil)公式与贝叶斯公公式与贝叶斯公式式第14页/共41页第十四页，共42页。2. 全概率全概率(gil)公式公式全概率全概率(gil)公式公式1211221,()0(1,2, ),( )(|) ()(|) ()(|) ()( ) (|)ninnniiEAEB BBP BinP AP A B P BP A BP BP A BP BP B P A B定义 设为试验 的样本空间为 的事件为的一个划分 且则第15页/共41页第十五页，共42页。jiAA由由()()ijA

11、BAB )()()()(21nBAPBAPBAPBP图示A1B2B3B1nBnB证明证明(zhngmng)12.nABABAB化整为零化整为零(hu zhng wi lng)各个击破各个击破12()nAAABBB 1122( )() (|)() (|)() (|)nnP AP B P A BP B P A BP B P A B第16页/共41页第十六页，共42页。说明说明(shumng) 全概率公式的主要用途在于它可全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个分解为若干个简单事件的概率计算问题简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性

12、最后应用概率的可加性求出最终结果求出最终结果.A1B2B3B1nBnB第17页/共41页第十七页，共42页。例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品, ,已知其中由一厂生产的已知其中由一厂生产的占占 30% , 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 20%, 又又知这三个厂的产品次品率分别为知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,2% , 1%, 1%,问从这批问从这批产品中任取一件是次品的概率产品中任取一件是次品的概率(gil)(gil)是多少是多少? ?设事件(shjin) A 为“任取一件为次品”,. 3

13、 , 2 , 1, iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji第18页/共41页第十八页，共42页。由全概率(gil)公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() (

14、)P AP B P ABP B P ABP B P AB故故第19页/共41页第十九页，共42页。称此为贝叶斯公式(gngsh). 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)贝叶斯资料贝叶斯资料(zlio)121,( )0,()0(1,2, ),(/) ()(|),1,2, .(|) ()niiiinjjjEAEB BBP AP BinP A B P BP BAinP A BP B定义设为试验 的样本空间为 的事件为的一个划分 且则第20页/共41页第二十页，共42页。证明证明(zhngmng)(| ) ()()( )iiiP A B P BP B AP A., 2 , 1ni 证毕1() (|

15、)() (|)iinjjjP B P A BP B P A B第21页/共41页第二十一页，共42页。;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例2 2第22页

16、/共41页第二十二页，共42页。.,)2(别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且第23页/共41页第二十三页，共42页。.03. 0)(,01. 0

17、)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由全概率由全概率(gil)公式得公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式(gngsh)得得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 第24页/共41页第二十四页，共42页。,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第第25页/共41页第二十五页，共42页。上题

18、中概率(gil)是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率(gil).而在得到信息之后(zhhu)再重新加以修正的概率 叫做后验概率.先验概率先验概率(gil)与后验概率与后验概率(gil)123()0.15,()0.80,()0.05,P BP BP B123()()()P B AP B AP B A，先验概率与后验概率先验概率与后验概率上题中概率是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.123()0.15,()0.80,()0.05,P BP BP B先验概率与后验概率先验概率与后验概率上题中概率是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.第26页/共41页第二十六页，共42页。,:,()0.

19、95,()0.90.,0.004,( )0.004,().ACP A CP A CP CP C A根据以往的临床记录 某种诊断肝癌的试验具有如下的效果 若以表示事件 试验反应为阳性以表示事件 被诊断者患有癌症 则有现在对自然人群进行普查 设被试验的人患有癌症的概率为即试求解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因为因为( )0.004,( )0.996,P CP C例例3 3第27页/共41页第二十七页，共42页。由贝叶斯公式(gngsh)得所求概率为( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C0.0038.即平

20、均10000个具有阳性反应的人中大约(dyu)只有38人患有癌症.第28页/共41页第二十八页，共42页。1.条件条件(tiojin)概概率率)()()(APABPABP 全概率全概率(gil)公式公式贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)三、小结1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P A BP B P A BP B P A B1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理第29页/共41页第二十九页，共42页。.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)A

21、B(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 .)()(. 2的区别的区别与积事件概率与积事件概率条件概率条件概率ABPABP第30页/共41页第三十页，共42页。贝叶斯资料(zlio)Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbri

22、dge Wells, Kent, England第31页/共41页第三十一页，共42页。1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机地无放回随机地抽取两次抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多求在两次抽取中至多(zhdu)抽到一个红球的概率抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽若无放回的抽取取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情第一次是白球的情况下况下, 第二次与第三次均是白球的概率第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一第一次与第二次均是白球的情况下次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球第三次是白

23、球的概率的概率?课堂(ktng)习题第32页/共41页第三十二页，共42页。解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有,212121AAAAAAA 第33页/共41页第三十三页，共42页。. 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第为为设事件设事件)()(132AAAPa,)(

24、)(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因为因为第34页/共41页第三十四页，共42页。,522624)(21 AAP因为因为.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP第35页/共41页第三十五页，共42页。2 掷两颗骰子掷两颗骰子(tu z), 已知两颗骰子已知两颗骰子(tu z)点数之和为点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率.解解

25、设事件(shjin)A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件(shjin) B为 “ 一颗点数为1 ”.故所求概率(gil)为.31 P掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为 7 的种数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1,第36页/共41页第三十六页，共42页。3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别由甲、乙、丙三厂生产的分别(fnbi)有有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品取得的产品(chnpn)为正品为正品”, 分别表示(biosh)“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解第37页/共41页第三十七页，共42页。, 7 . 0)(, 8