几种求极限方法及总结

1、几种求极限方法及总结几种求极限方法的总结摘 要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分 析中最基础最重要的内容.通过几对求极限的学习 和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必 达泰勒公式 数列求和定积分 定积分数列1用定义求极限M根据极限的定义：数列£ 收敛O % Vw0, m N w N +,当nN时，有此f .例1用定义证明您曲=1证明：Vw>0,要使不等式是 vw>o,m n=2利用两边夹定理求极限川例2求极限limj=!<£成立：解得n>丄-1，取"=77 + 1£=1x n

2、+ 11 14 z + r + ,-广 + 2、/+ 3Vn + 7?；解：设"估丄1 1+ (:ln2 +n则有：>1+1+jir +n yj/r +n同时有沖h沖hR耐，于n «nn'于是乔由 y/n2 +n < >/«2 +2/7 + 1 =n + l. /,+i > 后=n.亠 nnn n有<$<cn< 厂<- = ln +1 yn2 +nV/7+1 n.已知：lim = 1lim I , 1+ ,】+ ,丨 + ,】=1“ n +1T yln2+ yln2+2 V/r+3 后 + n3利用函数的单调

3、有界性求极限E实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例 3 设x = yfa , x2 = yja + y/a ,x” = J" + Jd +需(n=l, 2, .) (d>0), 求 lim x;r->x解：显然b”是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见x2 = yja + Xi , x3 = J Cl + 尤2 ，X” = Jd + 兀_1 ，.从而xn2 =a + xil_lf显然心是单调增加的，所以易：<d + X"两段除以©，得 "V上+ 1n石需+ 1这就证明了 ©的有界性设心，对等式兀；=(/ + “ 两边去

4、极限，则有limx： = 6/ + lim A；f_1f *>,g M t / + j4" + 1=>/=/+"解得心-4利用无穷小的性质求极限也关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(X)(XTd)是无穷小， 函数g(x)在U (a77)有界，贝！J函数f (x)*g(x)(XT“)是无穷小.例 求极限 lim (cosa/x+T-cosJx)解 4 COS Jx+ 1 一 COS yx一 2sin(早+ f)sin(竿£)2 2 2 2而 lim = 0,故 lim= 0itx2(Jx + 1 + Jx)f 25应用“两个盧要极限”求

5、极限lim 竺丄= l,lim(l +丄)"=ex->0 xv->xx例 5 求 liin(siii + cos)y x xsin 二. (sin + cos -)v = (sin + cos )2 XX(1 +sin ?严x:原式=lim (1 + sinXT86利用洛必达法则求极限匕】7tarctanxn例6求lim-(-) KT8. 10sin x7t1一 arc tanx一解: lim 丄=lim 一J + 入，=1. 1川 TH11sincosX2X例7求极限lim-(-)J tan 3x sr tanx limtan 3x(tanx)*(cos3x)'

6、 -6cos3xsin 3x ie sin 6x ” 6cos6x -6Inn= lim = lim= Inn= lim=3(tan3x)*3(cosx) A -6cosxsinxsin 2x 2cos2x -22 2 2 2 27利用泰勒公式求极限例8：求极限Umlim ,人"fx VI + xsin x 一 yjcosx,"2中分子为宀将各函数展开到含/项。当 XTO 时l-cosx = 2x2 +O(x2),xsinx = x2 +0(x2).而COSX = J1 - (1 -COSX)= ( _ £X，+ 0(")= + £-x1 +0

7、(x2) +O(x2)=l-x2 +0(x2)24%/1 + xsinx = Jl + x2 +0(x2) = 1 + x2 + 0(x2)2X2 原式;=limT82*>1.1-"72+0(，) 48利用数列求和来求极限匕】有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形, 程简便些。例9：求极限lim（； + * +兰二）r 22-2Q 人 132/2 -1 mtT 1135解：令兀石+去+丁则产二歹+歹+歹化简之后再利用极限性质去求极限过2/1-1+1 1 1 1 121112S" 一*+ 歹 +*戸- 2+_/i-i(j y11 * 2丿2 1-12从而1)2&

8、gt;1-s“T + j1 2J' 1、：.原式=limn->»川一1=3V1 + xsin x 一 yjcosx9用定积分求和式的极限习例1。设函数讪在0,吐连续，且心。，求臥用）用）/（孚）疋）121解令 T=lim;/(./()/(© 于是 “i V u nn n121 1 2 lnT=-lnn弓叫)匕卜心W讣+1B疋)" k 1!而 talnT = flimgln/(-).- = Jln/W所以辄/(扣G)n/( )/(-) = In f(x)dx10利用定积分求极限利用定积分求极限可分为以下两种形式(1) lim 匕匕型.n定理1设f(x)

9、在0,1上可积，则有:liniICQn舁hnn1= f(x)dx0123 n111- H例12求limE”虫n123xdx- 211+ + 解：设f (x)=x,f(x)在0上可积。则lim ""”(2) lim qx V n n n定理2设f(x)在。上可积则有辄侶莎石5卜心 例13求lim亠仝“TOC jj解：lim = lim"fOC fj"TOO=exp令 f (x) =x,则有 lim - = lim 芒n->x /J RTR11利用数列的递推公式求极限闪这种方法实际上包含有两种方法(1)利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解

10、法，它把极限的存在性与求 极限问题一起解决.例 14 设"产 1, 4=2, 3。”+2-4“”+=0 ( n > 1),求 lima解：递推公式可化为3 ( %2 %)= % J设所以 >/?! =a2-a=1那么仇+1 _ 1仇 3将以上各式相加得 d”-q = 1 +订+尹1n-2TT5_£22丄=> Um alt =-3"2 i “2(1)如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+“”，利用无穷小和极限的关系，只需证明血TO Sts),便可确定数列的极限确实存在且就 为A.例15证明数列2, 2+；, 2+丄，极

11、限存在并求出这个极限旦22 +丄2解：由题意知递推关系为严2 +丄，若数列的极限存在并设为A,则22+丄心A=1 +、伍+ 0十有递推关系得1+逅+ 0卄=2 +1 + " + 0/T0(1-血)1 + 血 + 0JI因为卩n = C _ ( +) = 2 +_ ( + V2 ) = 1 V2 d<|a 但 2=1+ 迈+ 0= A =1->/2 ,所 以n卩卩4 即|0”|tO(”too)由此推出数列的极限存在并且就为1+血12利用级数收敛的必要条件求极限山当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛再根据收敛的必要条件计算 极限.收敛的必要条件：若级数£知收敛，则"TO”Sts）n-l解：作级数坊,令需=lim77 + 171=1=lim = 0 < 1 n* n +1有达朗贝尔判别法知f 4-收敛又有