几种典型带电体的场强和电势公式

1、几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为 R，带电量为 q）电场强度矢量：电势分布为：430r)0。1q40r1q球面内，即 rUr， （球外）E(r ) 1 qr球面外，即 r R）R）U r 4 0R。 （球内）2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为 R,带电量为 q）电场强度矢量：E（r ） 1 qr3 ，（球体内，即 r R）4 0 R3E（r ） 1 qr3 。（球体外，即 r R）4 0 rUr电势分布为：1q4 0 rUr221 q 3R2 r 2R3r R 即球外）（r R 即球内）3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为）电场强度矢量：E（ x） （

2、i ）（平板两侧的场强与距 离无关。20电势分布为：U rr0 r其中假设 r 0处为零电势参考点。 若选取原点 （即带电2 0 0 0平面）为零电势参考点。即 U 0 0。那么其余处的电势表达式为：Uxx0Ux20x0204、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为。）电场强度矢量rE(r) r 2 ，(r2 0r 2E(r) 0 。 (rR,即在柱面外）R，即在柱面内）电势分布为：U r 2 0 ln rrar R 即柱体外）其中假设 ra 处为零电势参考点取带电圆柱柱面处为零电势参考点。0ln Rar R 即柱体内）且 ra 处位于圆柱柱面外部。（即 ra &g

3、t;R）。若选即U0 ）。那么，其余各处的电势表达式为：0r即在圆柱面内rU r ln20RR 即在圆柱面外5 、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为、半径为Er电场强度矢量：Err20R22r2 0r 20r圆柱体内圆柱体外电势：Ur2r40R240圆柱体内设圆柱体轴线处为零电势参考点。即2 ln RrRR20Ur6、均匀分布的带电圆环（带电量为q；圆环的半径为 R其中假圆柱体外）在其轴线上 x 处的讨论： （ a）当 x R 或 x时 Ep(x) 4 qi0x2。此时带电圆电场强度和电势电场强度矢量：E x 1 qx 3 x0。其中 x0 为轴线方向的单位4 0 x2 R2 32 0

4、0矢量。环可视为点电荷进行处理b)当 x R 或 x 0时 Ep (0) 0 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零电势：Ux0 x2U(x)其中电势的零参考点位于无穷远处带电圆环在其圆心处的电势为：7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度，直线长为l ）（1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为 d 的 P 点处：2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的 Q点处：电场强度矢量：E p dl i 1 1 i 。p 4 0 dl d 4 0 d l dldUp d 4 0lnl dd电场强度矢量为：3）Ej4l22l d 22U Q d ln4 0 ld2在直线外的空间中任意点处：2l0 d l

5、 2 4d 2lln0 l l2 4d 22 4d 2电场强度矢量：E rExi Ey jExSin 2 Sin 14 0 。 。EyCos 1 Cos 2y 4 0 2 l 2 r 2 (z)2 或者改写为另一种表示式 :即: Ep(r,z) Er r0 Ezk其中：rEr40(z 2l ) r21l 2 2 l 2 (z)2 r2 (z)2221l 2 l 2 2 (z ) r 2 (z)2 r222l2(z 2l )24012 l 2r2 (z )221电势： U pzln40l2 l 22lr2 (z 2l )2lz22 (z 2)4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离

6、为d 的 P 点处：电场强度矢量：Ep d2 0d d0或 Ep r 20r2r电势： U p d2 0 ln dd0 或ln r02 0 r其中假设 d0或（r 0）为电势的零参考点。5）半无限长带电直线在其端点处：端点与带电直线的垂直距离为 d）电场强度矢量： E Exi Ey j其中 ExEy4 0d8、电偶极子 P 的电场强度和电势1）在电偶极子的延长线上 x 处：其中（ X >>l ）电场强度矢量：Ex1 2P30 x31 2P电势： U xP20x2）在电偶极子的中垂线上 y 处：其中电场强度矢量：Ey电势： U y1403）在空间中任意点处：其中（1r0r >&

7、gt;q r14P2。电场强度矢量：采用平面极坐标系）Er42pCos3rPSin3r其大小为P 2 3Cos2 1 ，4 0r 2方向为EarctgErtgEErtg12tg。其中为E与r0 之间的夹角。电势： U r14oPCosP?r电场强度矢量的另一种表达式为：E 1 3 pe 3 r? pe r?4 0r式中：r?r 0为矢径 r 方向的单位矢量。上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E 矢量分解在电偶极矩 Pe 和矢径 r的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）因为各物理量之间的关系为： r 2x2 y2 ，Cosx

8、x。 rx2y2 。所以电势的表达式为：U r 410 x2Pxy2 32其中：Ex221P 2x2 y24 22 5240 x2 y2 2，EyU 1 3Pxy。y 4 2 2 52y 4 0 x y 2其大小为：EEx2Ey24 1 P 4x2420x2y22y若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式：22 rxz2Cos z rz22xy那么，电势的表达式为：Pz22xyz2 32而电场强度的表达式为：EyjEzk其中：Ex3xzP4 0 x2 y2 z2 2Ey3yzz2 52Ez22U P2z2 x2z40 x2 y2 z29、带电圆盘在其轴线上距离圆心为 x 点处：电场强度矢量：Ep (x) 220i。R2对上式结果进行讨论：a)当 x R 或 x时 Ep (x)q x2 i0x或 Ep(r)02 r 0 0r此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。b)当 xR 或 x 0 时 ，则 E p(x)i20。即此时带电圆盘可视为无限大带电平板进行处理。电势：U p(x)R2 x2 x 。20带电