热传导方程的混合问题学习资料

1、偏微分方程教程(jiochng)第五章 抛物型方程 1第一页，共19页。2 热传导方程的混合问题【知识点提示】 半直线(zhxin)上的热传导方程，有限区间上的热传导方程，热的反射，分离变量法。【重、难点提示】 求解齐次和非齐次热传导方程的混合问题。【教学目的】 熟练地掌握热的反射求解半直线(zhxin)上的热传导方程，分离变量法求解有限区间上的热传导方程。 .2第二页，共19页。 2.1 2.1 半直线上的热传导方程半直线上的热传导方程(fngchng)(fngchng)与与热的反射热的反射 (2.1)考虑侧表面绝热的均匀细杆,当细杆的一端固定, 初始温度与细杆在固定端点的温度, 则杆上的温

2、度分布 并已知()u x t 满足如下混合问题 2(),00(0)( )0,(0 )( ),0.txxua uf x txtu xxxuttt 为了更清楚讨论热的反射,我们仅考虑 ()0( )0f x tt 即考虑混合问题 的情形,2000,(0)( )0(0 )00txxua uxtu xxxutt (2.2)3第三页，共19页。引理引理5.3 5.3 对对CauchyCauchy问题问题(wnt)(1.1),(1.2),(wnt)(1.1),(1.2),若初始数据若初始数据 ( )x是关于(guny)某点 0 x的奇函数,即 00()()xxxx ,则Cauchy问题(wnt)(1.1),

3、(1.2)的解对任意的时间t在点 0()x t 处有 0()0u x t 证证 不失一般性,可设 00 x 此时 ( )()xx .由Poisson公式(1.11),有 2241(0 )( )2ya tutey dyat由于被积函数关于 y是奇函数,故上式中的积分为零,即 (0 )0ut 为了应用Poisson公式(1.11)解混合问题(2.2),根据引理5.3我们把初始数据( )x作奇延拓 ( )0( )()0.xxxxx (2.3) 这时Cauchy问题(1.1), (2.3)的解可由Poisson公式(1.11)表示为 4第四页，共19页。(2.4) 2()2422()()224422(

4、)()22440001()( )21()( )21() ( ).2x ya tx yx ya ta tx yx ya ta tu x tey dyatey dyey dyateey dyat由引理5.3,我们立即获得混合(hnh)问题(2.2)的解为 22()()224401()() ( )2x yx ya ta tu x teey dyat用类似的方法，我们能考虑(kol)如下第二边值问题 2000(0)( )0(0 )00txxxua uxtu xxxutt (2.5) 与引理5.3相对(xingdu)应,我们有如下结果. 5第五页，共19页。引理引理5.4 5.4 对对CauchyCau

5、chy问题问题(1.1),(1.2),(1.1),(1.2),若初始若初始(ch sh)(ch sh)数据数据 ( )x的偶函数,即 00()()xxxx则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意(rny)的时间 t在点 0()x t 处有 0()0 xux t 证明类似(li s)于引理5.3,从略. 现在我们偶延拓(2.5)中的 ( )x( )0( )()0 xxxxx (2.6) 这时Cauchy问题(1.1),(2.6)的解可由Poisson公式(1.11)表示为 2()2422()()224422()()22440001()( )21()( )21() ( ).2x ya t

6、x yx ya ta tx yx ya ta tu x tey dyatey dyey dyateey dyat6第六页，共19页。由引理5.4,我们获得混合(hnh)问题(2.5)的解为 22()()224401()() ( )2x yx ya ta tu x teey dyat(2.7) 注1 对于问题(2.1),首先(shuxin)我们令 ()()( )v x tu x tt,则(2.1)化为 200()( ),( )(0)0.txxtxva vf x ttvxv (2.8) 由叠加原理,(2.8)的求解可分解为如下两个(lin )问题的求解： 2000( )(0)0txxtxva vv

7、xv (I) (II) 200()( )00.txxtxva vf x ttvv 问题(I)的求解在前面已经讨论.问题(II)的求解可借用问题(2.2)的求解及齐次化原理获得.7第七页，共19页。 注2 如果(rgu)我们令 ()()( )v x tu x tt x,那么我们也可以讨论(toln)如下第二(d r)边值问题：2()00(0)( )0,(0 )( )0txxxua uf x txtu xxxuttt (2.9) 8第八页，共19页。2.2 2.2 有限区间上的热传导方程有限区间上的热传导方程(fngchng)(fngchng)与分离变量法与分离变量法 我们将用分离(fnl)变量法

8、在矩形 00 xltT 上,求一个(y )函数 ()u x t 使它满足热传导方程 2() 00txxua uf x txltT 及初始条件 0( ) 0tuxxl (2.11) 和边界条件 012( )( ) 0 xx lut uttT (2.12) 这里假定函数 1()( )( )f x txt 和 2( ) t都是连续的,且满足相容性条件： 如同讨论波动方程的情形一样,这里泛定方程和定解条件都是线性12(0)(0)( )(0)l的,所以混合问题 (2.10)-(2.12)可由以下定解问题 9第九页，共19页。(I) 200000( )000txxtxx lua uxl tuxxluut

9、(II) 200()000000txxtxx lua uf x txl tuxluut 和 20012000,00,( )( )0txxtxx lua uxl tuxlut utt (III) 叠加而成.因此(ync),如果函数 1u, 2u和 3u分别(fnbi)是定解问题 (I),(II)和（III）的解, 则原定解问题(wnt)的解就可写成 123uuuu对于定解问题(I)我们可用分离变量法求解,假定解的形式为 ()( ) ( )u x tX x T t10第十页，共19页。代入(I)中的方程(fngchng),得 2( )( )( )( )T tXxa T tX x 于是(ysh)有

10、2( )( )0T taT t (2.13) ( )( )0XxX x (2.14) 先考虑方程(fngchng)(2.14),由(I)中的边界条件推知, ( )X x应满足边界条件 (0)0( )0XX l (2.15) 如同第四章4所述,只有 0,特征值问题(2.14),(2.15)才有非平凡解,此时特征值 取值为 21 2nnnl (2.16) 与其相对应的特征函数为 ( )sinnnn xXxBl再将(2.16)代入方程(2.13),得 11第十一页，共19页。2222( )( )0a nT tT tl 它的解是 2()( )anltnnT tC e(2.18) 于是(ysh),所有函

11、数 2()()( )( )sin1 2anltnnnnn xux tXx T tA enl 都是满足(mnz)问题（I）中的方程及边界条件的非平凡解,其中 nnnAB C为任意(rny)常数. 为了求出问题(I)的解,考虑级数 2()1()sinanltnnn xu x tA el(2.19) 我们希望它满足初始条件 1(0)sin( )nnn xu xAxl这时只要 ( )x可在 0 l 上展成以 02( )sinlnn xAxdxll(2.20) 为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19), 我们就 12第十二页，共19页。得到混合问题(wnt)(I)的形式解为

12、2()012()( )sin)sinanlltnnn xu x tdelll (2.21) 下面(xi mian)我们证明由(2.21)定义的函数 ()u x t 确实(qush)是问题(I)的解.定理定理5.35.3 设 1(0 )Cl,且 (0)( )0l,则由级数(2.21)定义的函数 就是混合问题(I)的解. 证证 先证明形式解(2.21)满足方程.由于 1( )(0 )xCl,从而有界, 于是存在正常数 M使得 nAM,故对任意的 00t ,当 0tt时有 220()()sinn an allttnn xA eMel而数项级数 20()1n altne 收敛,因此,级数(2.21)在

13、 且绝对收敛,所以函数 内内闭一致收敛()u x t 在 内是连续的. 对 t逐项微分级数(2.21),得级数 2()21()sinn alttnnn an xuAell (2.22) 13第十三页，共19页。而对 x逐项微分(wi fn)级数(2.21)两次所得级数是 2()21()sinn altxxnnnn xuAell (2.23) 由于(yuy)当 0tt时,有 22022()()sinn an allttnn bn xn bAeMelll其中(qzhng) ba或1 .由于数项级数 202()1n altn blne收敛,所以级数(2.22)和(2.23)在区域 00 xl t 内

14、闭一致收敛且绝对收敛. 从而级数(2.21) 是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到 20txxua u 其次证明由(2.21)所确定的函数 ()u x t 满足定解条件.关于初始条件, 在定理的假设下 1( )sin0nnn xxAxll是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法, 这个级数的项 与单调下降且一致有界的序列 2()n alte的项的乘积所构成的级数对 t是一致收敛的.所以级数(2.21)在区域 00 xl t 上是一致收敛的. 14第十四页，共19页。于是(ysh)函数 ()u x t 在区域(qy) 00 xltT 上连续(linx),即满足初始条件 (0

15、)( )0u xxxl 关于边界条件,由于函数 ()u x t 在 上连续,故函数 ()u x t 在 0 x 和 xl处都是连续的.因而对所有的 0t ,都有 (0 )0()0utu l t 定理证毕. 对于定解问题(II),如同波动方程的情形一样,也可通过 齐次化原理, 把它化为齐次方程问题求解(可参见引理5.2).这里 我们采用所谓特征函数法特征函数法, ,它类似于常微分方程中的常数变易法. 设想定解问题(II)具有形如 1()( )sinnnn xu x tT tl(2.24) 的解,其中 ( )nT t是待定函数.为了确定 ( )nT t,将自由项 ()f x t 展成 x的Four

16、ier正弦级数 1()( )sinnnn xf x tf tl(2.25) 15第十五页，共19页。其中(qzhng) 02( )()sinlnn xftf x tdxll将(2.24)和(2.25)代入方程(fngchng)(2.10),得 21( )( )( ) sin0nnnnn an xtT tftTll 由此即得 2( )( )( )1 2nnnn atT tf t nTl (2.26) 再利用(lyng)(II)中的初始条件 00tu,有 1(0)(0)sin0nnn xu xTl 于是 ( )nT t的初始条件应为 (0)01 2nTn (2.27) 现在对定解问题(2.26),

17、(2.27)求解,便得 2() ()0( )( )n alttnnT tefd将 ( )nT t的表达式代入(2.24),即得 16第十六页，共19页。2() ()01()( )sinn alttnnn xu x tefdl (2.28) 定理定理5.4 5.4 假定假定(jidng)(jidng)函数函数 ()f x t 及它的一阶偏导数(do sh)在 内连续(linx),且对所有的 0t ,都有 (0 )()0ftf l t,则由(2.28)确定的函数 ()u x t 就是定解问题(II)的解.最后,对于定解问题(III)我们只须令()()()u x tv x tU x t 其中 121()( )( )( )xlU x tttt则问题(III)化成如下混合问题 2101210(),(0)(0)(0) ,0txxtxx lva vf x txvlvv 其中 1()()tf x tU x t .而这个定解问题又可写成上面讨论过 的定解问题 (I)和(II)的叠加. 17第十七页，共19页。例例1 1 求解混合求解混合(hnh)(hnh)问题问题 200()( ),txxtxx lua ur KuuF xuuK其中(qzhng) a, r和 K都是常数(chngsh), ( )F x为已知函数. 解