三视图复习教材

1、 简单组合体的三视图一、组合体的组合形式按组合体中各基本形体组合时的相对位置关系以及形状特征，组合体的组合形式可分为叠加、切割和综合三种形式。二、二、三视图三视图只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。 一面投影二面投影三面投影7设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这三个平面将空间分为八个分角，我国采用第一角投影。 三面投影体系三视图形成9主视图(V面)俯视图(H面)左视图(W面)俯视(H面投影)左视(W面投影)主

2、视(V面投影)三视图位置关系V面(主视图)反映上、下、左、右方位关系；H面(俯视图)反映左、右、前、后方位关系；W面(左视图)反映上、下、前、后位置关系。左左前右下后右后上下前上三视图方位关系 V面、H面（主、俯视图）长对正。 V面、W面（主、左视图）高平齐。 H面、W面（俯、左视图）宽相等。 宽宽高长宽宽高长三视图对应关系例：求作轴承座的三视图凸台圆筒支撑板肋板底 板1下列几何体中，柱体有()图1A1个B2个C3个D4个解析：根据棱柱定义知，这4个几何体都是棱柱答案：D2下列几何体中是台体的是()解析：A中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显C中几何体是棱锥答

3、案：D3下列说法错误的是()A三棱柱的侧面为三角形B多面体至少有4个面C长方体、正方体都是柱体D九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，故A错答案：A4一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_cm.解析：n棱柱有2n个顶点，于是知此棱柱为五棱柱，故有5条侧棱又每条侧棱长都相等，且和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm.答案：125如图2是一个正方体的展开图，若在正方体中，a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置图2答案：d在上面，e在前面，f在右面类型一：棱柱的结构特征 例1有两个面互相平行，其余各面都是

4、平行四边形的几何体是不是棱柱？分析按题意画图如图3该几何体不是棱柱图3解有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱点评题干中其余各面都是平行四边形与棱柱定义中的其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行不等价迁移变式1以下命题中，正确的有哪些？(1)有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；(3)有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱；(4)用一个平面去截棱柱，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱柱解：命题(1)不满足侧面是平行四边形，命题(2)

5、不满足侧棱互相平行，命题(4)不能保证底面和截面平行，故只有命题(3)正确 例2有人说：“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥”，这种说法对吗？分析棱锥的定义中要点：有一个面为多边形；其余各面都是三角形并有公共顶点解此种说法不对，例如：图4就不是棱锥图4点评判断一个几何体是不是棱锥，应从定义去判定，且注意两点：有一个面是多边形；其余各面都是三角形且有公共顶点迁移变式2判断下列语句的对错(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形一定和底面三角形相似解：(1

6、)正确(2)不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有组成底面的五条边，所以五棱锥共有十条棱.(4)正确例3下列三个命题，其中正确的是()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0个B1个C2个D3个解对如图5中的(1)，当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分为非棱台对，如图5(2)中AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，故不是台体图5答案A点评棱台是由棱锥截得的，其侧棱的

7、延长线必交于一点迁移变式3判断如图6所示的几何体是不是棱台？为什么？图6解：都不是台体因为和都不是由棱锥所截得的，故都不是台体，虽然是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体，只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体例4一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长迁移变式41下列命题正确的有()圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面圆柱不是旋转体圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线A1个B2个C3个D4个解析：命题正确；命

8、题错误；命题正确；命题错误答案：B迁移变式42下面几何体的截面一定是圆面的是()A圆柱B圆锥C球D圆台解析：主要考查旋转体的结构特征，紧扣球的定义即可解决答案：C例5 (2009全国卷) 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展开，得到如图8所示的平面图形，则标“”的面的方位是()A南B北C西D下图8解如图9所示正方体，沿棱DD1，D1C1，C1C剪开，使正方形DCC1D1向北方向展开；沿棱AA1，A1B1，B1B剪开，使正方形ABB1A1向南方向展开，然后将正方体展开，则标“”的面的方位为北故选B.图9答案B迁移变式5如图1

9、0是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？图10解：五棱柱；五棱锥；三棱台如图11所示图11例2圆锥的底面半径为R，高为H，一正方体的一个面在圆锥的底面内，它所对的面的四个顶点都在圆锥的侧面上，求正方体的棱长图7例3下面绕虚线旋转一周后所形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的例4一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图13所示，则截面的可能图形是()ABCD迁移变式4已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径2一条直线在平面上的平行投影是()A直线B点C线段D直线或点解析：当投射线与直线平行时，投影是一个点；否则，就是一条直线答案：D3.正视图为一个三角形

10、的几何体可以是_(请写出三种)解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形答案：三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案也可)4如图1所示是一个几何体的三视图，则该几何体是_答案：圆柱图15画出如图2所示的几何体的三视图解：三视图如图3所示图2 图3类型一：中心投影与平行投影例1在正方体ABCDABCD中，E、F分别是AA、CC的中点，则下列判断正确的是_四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形四边形BFDE在面ADDA内的投影是菱形四边形BFDE在面ADDA内的投影与在面ABBA内的投影是全等的平行四边形图4分析由题目可获取

11、以下主要信息：本题原图形及投影面都有；考查的是平行投影解答本题可先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFDE四点在各投影面的位置再把各投影点连线成图答案点评本类型问题多为填空题或选择题，应抓住已知图形中的端点，确定端点在投影面的位置，进而确定投影图形迁移变式1如图5所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是图5中的_图5解析：本题考查平行投影和空间想象能力要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的射影，再顺次连接即得

12、在该面上的射影，并且在两个平行面上的射影是相同的可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的射影是图6(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的射影是图6(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的射影是图6(3)答案：(1)(2)(3)图6类型二：画出几何体的三视图例2画出如图7所示的三视图图7解三视图如图8所示图8迁移变式2画出如图9所示的正四棱锥(底面为正方形，侧棱长相等的四棱锥)的三视图图9解：正四棱锥的三视图如图10所示图10例3如图11是截去一角的长方体，画出它的三视图图11解长方体截去一个角后，截面是一个三角形，在各视图中反映为不同的三角形三视图如图12所示点评画组合体的三视图时要

13、注意：(1)熟悉简单几何体的三视图的形状，将组合体的三视图转化为几个简单几何体的三视图；(2)找出相邻几何体的分界线，若分界线可见，则画实线表示；若不可见，则画虚线表示图12 迁移变式3画出如图13所示的几何体的三视图解：三视图如图14所示图13图14类型三：由三视图还原几何体例4根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状图15分析结合图形，充分发挥空间想象力先确定是什么几何体，再画出图形解图16(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：点评由三视图到立体图形，要仔细分析和认真观察三视图，充分想象立体图的样子，看图和想图是两个

14、重要步骤，“想”与“看”中，形体分析的看图方法是解决此类还原问题的常用方法图16迁移变式4根据三视图，画出几何体(如图17)图17解：其几何体如图18所示图181下列说法错误的是()A斜二测画法采用的是斜投影作用B画物体的三视图采用的是正投影作用C菱形的直观图还是菱形D三角形的直观图还是三角形答案：C2如图1，已知等腰三角形ABC，则如图1所示的四个图中，可能是ABC的直观图的是()ABCD解析：用斜二测画法的规则可知答案：D图1图2答案：B4如图3所示的直观图，其平面图形的面积为_图3 答案：6 5如图4，画水平放置的正方形的直观图并写出画法图4解：图5类型一：水平放置的平面图形的直观图画法

15、例1画正五边形的直观图分析建立坐标系xOy后，B、E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BGx轴于G，EHx轴于H.解(1)建立如图6(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图6(2)所示的坐标系xOy，使xOy45；图6点评平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来长度的一半，是斜二测画法的根本 迁移变式1画出一个锐角为45的平行四边形的直观图图7类型二：空间几何体的直观图画法例2如图8，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图图8分析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，

16、再画出上部的圆锥解(1)画轴如图9(1)，画 x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画圆台的两底面利用斜二测画法，画出底面O，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中相应的高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出上底面O(与画O一样)(3)画圆锥的顶点在Oz上截取点P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连结PA、PB、AA、BB，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图9(2)点评由三视图想象几何体画直观图时也要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形象图9迁移变式2画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为1 c

17、m、2 cm，高2 cm)图10类型三：由三视图画直观图例3已知某几何体的三视图如图11所示，其中俯视图为正五边形，画出相应空间图形的直观图图11解由几何体的三视图知，该几何体是一个五棱柱画法：如图12，按以下步骤完成：第一步：画轴：画x轴、y轴、z轴，记坐标原点为O，使xOy45，xOz90.第二步：画底面：在俯视图中，建立直角坐标系xOy(如图12)，按x轴，y轴画出五边形的直观图ABCDE.图12第三步：画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上截取AA、BB、CC、DD、EE，使它们都等于正视图中矩形的高第四步：成图：连结AB、BC、CD、DE、EA，并加以整

18、理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到原几何体的直观图点评直观图和三视图有着密切的联系，三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度对几何体的结构特点进行认识，直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构来想象实物的形象迁移变式3如图13是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图图13解：根据三视图可以想象出这个几何体是正六棱台(1)画轴如图14，画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90(2)画两底面由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中的相应高度过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与O

19、y画出底面ABCDEF.(3)成图连结AA、BB、CC、DD、EE、FF，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图14.图14分析如图15，找到ABC的高是关键图15答案C点评(1)本题应明确原图形与直观图的线段长度关系(2)合理地建立坐标系也是解决本题的关键迁移变式4已知一平面图形的直观图是底角等于45，上底和腰均为1的等腰梯形，求原图形的面积图161长方体同一顶点上的三条棱长分别是2,3,4，则该长方体的表面积是()A36B24C52D26答案：C答案：A图1图2答案：C 4将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_图35牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如

20、图4所示，请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2)图4类型一：空间几何体的表面积例1一张ab的矩形纸折叠成正六棱柱的侧面，试计算折成的六棱柱的侧面积和表面积点评本题不少同学会只计算其中一种情形 迁移变式1一个几何体的三视图如图5，该几何体的表面积为()A280B292C360D372图5解析：该几何体的直观图如图6，则所求表面积为S表2(28810210)2(8682)360，故选C.答案：C图6例2已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积分析这是一个

21、圆柱和圆锥的组合体，利用其轴截面求各元素之间的关系点评解旋转体的有关问题时，常常需要利用其轴截面，将空间问题转化为平面问题迁移变式2将圆心角为120，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积类型二：空间几何体的体积例3已知某几何体的俯视图是如图8所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底面边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底面边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.图8分析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形左、右侧面均为底边长为6、高为

22、h2的等腰三角形，如图9所示图9点评柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分的利用截面，轴截面，求出所需要的量，最后带入公式计算图10图11例4三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A111B112C124D144 分析如图12，三棱锥A1ABC的顶点看作A1，底面看作ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看作C，底面看作A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看作棱台减去两个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可图12答案C点评三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可

23、由锥体的体积求柱体和台体的体积关系，在立体几何中，割补法是重要的方法迁移变式4如图13所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比图13类型三：空间几何体的展开图问题图14分析将三棱柱分别沿A1B1、A1C1、B1B展开成平面图形并计算EF的值，比较之后取最小值即可解将三棱柱侧面、底面展开有三种情况，如图15.图15点评柱、锥、台体表面路线最短问题，可以借助于几何体的平面展开图，将空间问题转化为平面问题来解决，要注意展开时，沿着哪条棱展开，情况是否相同迁移变式5边长为5 cm的正方形ABCD是圆柱的轴截面，从A到C绕圆柱侧面的最短路程是

24、多少 图16图1答案：B 答案：C 3若三个球的表面积之比是123，则它们的体积之比是_4一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是_5盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？类型一：球的体积问题例1据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑在墓碑上刻了一个如图2所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比图2答案：C 类型二：球的表面积问题例2已知球的两平行截面的

25、面积为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积分析要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面(过直径的球的平面)图3迁移变式2过球的半径中点，作一垂直于这半径的截面，截面面积是48 cm2，求球的表面积图4类型三：球的组合体问题例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比分析作出截面图，分别求出三个球的半径点评球的组合体问题，关键是正确作出截面图，用圆的知识把立体问题化为平面问题解决 类型四：球的实际应用问题 例4如图6所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子怎样设计最省材料？图6分析根据题目中的要求，这是结论