当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时ppt课件

1、 当问题的机理非常不清楚难以直接当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进展曲线拟合，然的方法是利用数据进展曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。关系。阅历模型和数据拟合阅历模型和数据拟合第三章第三章 阅历模型阅历模型阅历模型阅历模型 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其它知识来当问题的机理非常不清楚难以直接利用其它知识来建模时，一个常见的方法就是利用已有数据进展曲线拟建模时，一个常见的方法就是利用已有数据进展曲线拟合，找出变量之间函数关系的近似表达式，我们称之为合，找出变量之间函

2、数关系的近似表达式，我们称之为阅历公式。经过阅历公式建立的模型称为阅历模型。阅历公式。经过阅历公式建立的模型称为阅历模型。 阅历模型区别于其它类型模型的特点是它的建立不阅历模型区别于其它类型模型的特点是它的建立不需求根据问题机理去提出假设，它只是建模者对数据分需求根据问题机理去提出假设，它只是建模者对数据分析所做的阅历判别。建模者要首先对照数据特点根据本析所做的阅历判别。建模者要首先对照数据特点根据本人的阅历判别该函数关系该当用哪类函数中的一个来近人的阅历判别该函数关系该当用哪类函数中的一个来近似表达，两者的偏向不会太大。其后，只需在此类函数似表达，两者的偏向不会太大。其后，只需在此类函数中找

3、出在某种意义下偏向最小的一个即可。中找出在某种意义下偏向最小的一个即可。 建立阅历模型的普通步骤为：建立阅历模型的普通步骤为：(1)(1)将数据画在某坐标系中，察看这些点的分布，将数据画在某坐标系中，察看这些点的分布，根据阅历断定哪类函数作为近似表达式较为适根据阅历断定哪类函数作为近似表达式较为适宜宜(2)(2)然后确定函数中的参数，使阅历公式与数据的然后确定函数中的参数，使阅历公式与数据的相符性在某种意义下最好相符性在某种意义下最好(3)(3)最后，对公式做试用检验，调查其呵斥的误差最后，对公式做试用检验，调查其呵斥的误差能否在可接受的范围内，假设不能接受，那么能否在可接受的范围内，假设不能

4、接受，那么需求修正阅历公式，重新建模。需求修正阅历公式，重新建模。 建立阅历公式较为常用的方法有最小二建立阅历公式较为常用的方法有最小二乘法和插值方法。乘法和插值方法。( (最小二乘法最小二乘法假设经过丈量得到的假设经过丈量得到的n n组数据列表如下：组数据列表如下：ixiy0123456727.026.826.526.326.125.725.324.8 将这些数据画在平面直角坐标系中，见散点图将这些数据画在平面直角坐标系中，见散点图2-102-10。从图上可看出，这些点的分布大致在一条直。从图上可看出，这些点的分布大致在一条直线附近，于是我们根据阅历判别线附近，于是我们根据阅历判别y=f(x

5、)y=f(x)是线性函数，是线性函数，并设并设f(x)=ax+bf(x)=ax+b，其中，其中a,b a,b 为待定常数。为待定常数。012345672424.52525.52626.52727.5图图3-13-1常数常数a,ba,b如何选定呢？我们当然希望如何选定呢？我们当然希望 经过一切的经过一切的数据点，即对于每个数据点，即对于每个 ，能有，能有 ，但此式普，但此式普通是不成立的通是不成立的 baxyix0)(baxyii我们只能要求我们只能要求 与与 的偏向的偏向 , ,都都很小。那么一切偏向之和很小。那么一切偏向之和 最小能否保证每个最小能否保证每个偏向都很小呢？显然不行，由于偏向有

6、正有负，求和时有偏向都很小呢？显然不行，由于偏向有正有负，求和时有能够会相互抵消从而将偏向掩盖起来。假设要求偏向的绝能够会相互抵消从而将偏向掩盖起来。假设要求偏向的绝对值之和对值之和 很小的话，虽然可以防止这种相很小的话，虽然可以防止这种相互互抵消，但函数不具备延续的导函数，不利于进一步的讨论。抵消，但函数不具备延续的导函数，不利于进一步的讨论。为防止上述两种情况的产生，我们普通都采用以误差的平为防止上述两种情况的产生，我们普通都采用以误差的平方和方和 到达最小的方法来保证总体偏向较小。到达最小的方法来保证总体偏向较小。这种选择参数这种选择参数a a、b b的方法叫做最小二乘法。的方法叫做最小

7、二乘法。iybaxi(),(1,2, )iiyaxbinniiibaxy1niiibaxy1niiibaxy12niiibaxy12 是一个二元函数，由多元微积分知是一个二元函数，由多元微积分知识，为使它取到最小，只需令其对变量、的一阶偏识，为使它取到最小，只需令其对变量、的一阶偏导数均为零，解相应的二元一次方程组即可，据此，导数均为零，解相应的二元一次方程组即可，据此，不难求得：不难求得：xaybxxyyxxaniiniii121其中其中 niixnx11niiyny11例例1 1 刀具的改换刀具的改换用自动化机床延续加工某零件，由于刀具损坏等缘由会消用自动化机床延续加工某零件，由于刀具损坏

8、等缘由会消费出次品，但实践情况是，当发现刀具已坏时，利用这把费出次品，但实践情况是，当发现刀具已坏时，利用这把坏刀具也许曾经消费了假设干个次品。假设我们能在平常坏刀具也许曾经消费了假设干个次品。假设我们能在平常消费中留意一下，掌握刀具磨损的规律，在其坏掉之前就消费中留意一下，掌握刀具磨损的规律，在其坏掉之前就将它改换下来，也答应以减少因出次品而呵斥的损失。为将它改换下来，也答应以减少因出次品而呵斥的损失。为此，我们做了这样一个实验，每隔一小时，丈量一次刀具此，我们做了这样一个实验，每隔一小时，丈量一次刀具的厚度，得到后面表格中的数据，其中的厚度，得到后面表格中的数据，其中 ：刀具运用时间单位：

9、小时：刀具运用时间单位：小时 ：刀具厚度单位：毫米。：刀具厚度单位：毫米。 ixiyXi01234567Yj27.026.826.526.326.125.725.324.8经拟合，我们可得阅历公式经拟合，我们可得阅历公式为为 ，其图形见图，其图形见图2-112-11。假设我们发如今刀具的厚度为假设我们发如今刀具的厚度为10mm10mm时损坏的概率时损坏的概率极大，那么我们只需令极大，那么我们只需令 ，得得 ，即当刀具运用了近，即当刀具运用了近5656个小时之后，个小时之后，刀具的厚度将变为刀具的厚度将变为10mm10mm。因此我们可以思索运用。因此我们可以思索运用刀具刀具5555或或5656个

10、小时后更新刀具注：这里我们没个小时后更新刀具注：这里我们没有思索改换刀具的费用。假设刀具较为昂贵，还有思索改换刀具的费用。假设刀具较为昂贵，还应求解一个优化问题，已确定怎样做可以使总应求解一个优化问题，已确定怎样做可以使总费用最省。费用最省。125.273036. 0)(xxfy10)(xf964.55x图图3-23-201234567824.52525.52626.52727.5例例2 2 地高辛的运用地高辛的运用 地高辛是用来治疗心脏病的一种药物。医生在开处方地高辛是用来治疗心脏病的一种药物。医生在开处方时必需写明用药量，要便坚持血液中地高辛的浓度，使之时必需写明用药量，要便坚持血液中地高

11、辛的浓度，使之既高于有效程度以坚持药效，又不至于超越平安用药程度既高于有效程度以坚持药效，又不至于超越平安用药程度而导致危险，为此，医生必需研讨地高辛在血液中的衰减而导致危险，为此，医生必需研讨地高辛在血液中的衰减率。假定地高辛在血液中的初始剂量为率。假定地高辛在血液中的初始剂量为0.5mg0.5mg毫克，毫克，经过检测得到下表的数据如下：经过检测得到下表的数据如下： 表表3 3X X0 01 12 23 34 45 56 67 78 8Y Y0.500.500 00.3450.3450.2380.2380.1640.1640.1130.1130.0780.0780.0540.0540.037

12、0.0370.0260.026 其中其中x x表示运用初始剂量之后的天数，而那么表示某表示运用初始剂量之后的天数，而那么表示某特定病人血液中剩余的地高辛含量。根据表中的数据，我特定病人血液中剩余的地高辛含量。根据表中的数据，我们想建立们想建立y y与之与之x x间的关系。间的关系。 将上述数据点画在将上述数据点画在x-yx-y平面上，如图平面上，如图2-122-12所示显所示显然这些点并不在任何一条直线的附近，不能运用我们前述然这些点并不在任何一条直线的附近，不能运用我们前述的最小二乘法，但根据阅历，这些数据好似在一条指数函的最小二乘法，但根据阅历，这些数据好似在一条指数函数图形的附近，因此我

13、们思索能否用指数函数来拟合数图形的附近，因此我们思索能否用指数函数来拟合y y与与x x之间的关系之间的关系 对对y y取对数得取对数得 对照表：对照表： lnxy表表4 4 xyln0 01 12 23 34 45 56 67 78 8-0.693-0.693-1.064-1.064-1.435-1.435-1.808-1.808-2.180-2.180-2.551-2.551-2.919-2.919-3.297-3.297-3.650-3.650图图3-33-301234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 再将数据画在再将数据画在x xy y平

14、面上，如图平面上，如图2-132-13所示，所示，这次他就会发现这些点几乎就分布在一条直线的这次他就会发现这些点几乎就分布在一条直线的附近了，令这条直线的方程为附近了，令这条直线的方程为 ，并用，并用最小二乘法求得最小二乘法求得 , , 故可令故可令 , ,即即 ，此即我们希望得到的关系式。此方程图形与原散此即我们希望得到的关系式。此方程图形与原散点图的对照图可见图点图的对照图可见图2-142-14。假设地高辛的有效程。假设地高辛的有效程度为度为0.0055mg,0.0055mg,令令0.00550.0055得得12.1612.16。因此我们思索。因此我们思索服药服药1212天之后补充药物。天

15、之后补充药物。baxyln371. 0a693. 0b693. 0371. 0lnxyxey371. 05 . 0图图3-43-4012345678-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.501234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5图图3-53-5 最小二乘法的运用需求对各种常用函数的图形有大致最小二乘法的运用需求对各种常用函数的图形有大致的了解，也需求一定的技巧，如例的了解，也需求一定的技巧，如例2.22.2中对中对y y取对数后取对数后x x与与 构成线性关系。有时，需求对构成线性关系。有时，需求对x x、y y均取对数值得到新的数均取

16、对数值得到新的数据据 ；察看新的数据点能否满足线性关系，假设；察看新的数据点能否满足线性关系，假设满足用最小二乘拟合为满足用最小二乘拟合为 ，即，即 来拟合，来拟合，此时此时y y是是x x的幂函数。有时也需求对、之一取倒数值或二者的幂函数。有时也需求对、之一取倒数值或二者均取倒数值得到新的数据均取倒数值得到新的数据ln y)ln,(lnyxxbaylnlnbaxey1(, )yx1( ,)xy1 1( ,)x y 察看新的数据点能否近似满足线性关系，假设根本满察看新的数据点能否近似满足线性关系，假设根本满足再用线性函数拟合。足再用线性函数拟合。 我们希望建立一个我们希望建立一个 体重与身高之

17、间的关系式，不难看出两者体重与身高之间的关系式，不难看出两者之间的关系不易经过机理的分析得出，无妨可以采取之间的关系不易经过机理的分析得出，无妨可以采取 统计统计方法，用数据来拟合出与实践情况较为相符的阅历公式。方法，用数据来拟合出与实践情况较为相符的阅历公式。 为为此，我们先作一番抽样调查，丈量了十五个不同高度的人的此，我们先作一番抽样调查，丈量了十五个不同高度的人的体重，列成了体重，列成了 下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，既不要太胖也不要太瘦。既不要太胖也不要太瘦。将表中的数画将表中的数画 到到h-w平面上，他会发现这些数据分布很接近平面

18、上，他会发现这些数据分布很接近某一指数曲线。为此，某一指数曲线。为此， 对对h和和w均取对数，令均取对数，令x=lnh，y=lnw，将将xi，yi再画到再画到x-y平面中去平面中去i=1,15，这次他会发，这次他会发现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的 方程为方程为y=ax+b，用最小二乘法求，用最小二乘法求 得得a2.3,b2.82，故可取，故可取y=2.32x+2.84，即，即lnw=2.32lnh+2.84，故有，故有w=17.1h2.327566595451体重体重 w公斤公斤1.851.781.711.671.63身高身高 h米米5

19、048413527体重体重 w公斤公斤1.601.551.511.351.26身高身高 h米米2017151210体重体重 w公斤公斤1.121.080.960.860.75身高身高 h米米例例3 体重与身高的体重与身高的 关系关系 比如，假设比如，假设 满足线性关系满足线性关系 ，那么原先的变量，那么原先的变量x x、y y满足双曲函数满足双曲函数 1 1( ,)x y11ayxxyaxb 假设的数据点假设的数据点 明显地分布在一条抛物线附近，我明显地分布在一条抛物线附近，我们还可以用二次函数去拟合曲线，采用最小二乘法，我们们还可以用二次函数去拟合曲线，采用最小二乘法，我们类似可以导出求参数

20、类似可以导出求参数a a 、 b b、c c的公式，但公式较为复杂，的公式，但公式较为复杂，好在如今许多数学软件中均有公用的最小二乘拟合命令，好在如今许多数学软件中均有公用的最小二乘拟合命令，利用这些命令，几乎可以拟合一切类型的函数，我们所做利用这些命令，几乎可以拟合一切类型的函数，我们所做的只是输入数据点和想要的拟合函数类型表达式，马上就的只是输入数据点和想要的拟合函数类型表达式，马上就可以得到结果，这给我们带来了很大的便利。可以得到结果，这给我们带来了很大的便利。),(yx插值法插值法 在运用最小二乘法时，我们并未要求得到的拟合曲线在运用最小二乘法时，我们并未要求得到的拟合曲线一定要经过一切的样本点，而只是要求总偏向最小。然而，一定要经过一切的样本点，而只是要求总偏向最小。然而，当