四边形基础测试题及解析

1、四边形基础测试题及解析一、选择题1.如图，YABCD的对角线AC与BD相交于点O , AD BD， ABD 30 ,若D. 6【解析】【分析】先根据勾股定理解 RtABD求得BD 6 ,再根据平行四边形的性质求得 OD 3,然后 根据勾股定理解 RtA AOD、平行四边形的性质即可求得 OC OA 后.【详解】解： AD BD3 ADB 904 .在 RtzXABD 中， ABD 30 , AD 2第AB 2AD 4.3BDAB2 AD2 65 .四边形 ABCD是平行四边形1 c1OB OD -BD 3 , OA OC AC22，在 RtzXAOD 中，AD 2展，OD 31 OA . AD

2、2OD2.21OC OA 历.故选：C【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练 掌握相关知识点是解决问题的关键.2.如图1,点F从菱形ABCD的项点A出发，沿A- D- B以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时，AFBC的面积y (m2)随时间x (s度化的关系图象，则 a的值为().5D. 2 . 5A. 5B. 2C.一2【答案】C【解析】【分析】过点D作DEBC于点E由图象可知，点 F由点A到点D用时为as, FBC的面积为acm2.求出DE=2,再由图像得BD J5,进而求出BE=1,再在Rt DEC根据勾股定 理构造方程，即

3、可求解.【详解】 解：过点D作DE BC于点E由图象可知，点 F由点A到点D用时为as, FBC的面积为acm2 .AD BC a1-DEgAD aDE 2由图像得，当点F从D至iJ B时，用J5sBD 5RtVDBE 中，BEBD2DE2 ,( 5) 2 22 1.四边形 ABCD是菱形，EC a 1, DC aRtADEC 中，a2 22 (a 1)2-r 5解得a 52本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关 系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据.3.如图，在菱形 ABCD中， ABC 60 , AB 1 ,点P是这个菱形内部或边上的一

4、点，若以点P, B, C为顶点的三角形是等腰三角形，则 P, D （P, D两点不重合） 两点间的最短距离为（ ）8 CA. 2B. 1C. 73D. 33 1【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论 若以边BC为底.若以边PC为底.若以边PB为底.分别求出 PD 的最小值，即可判断.【详解】解：在菱形 ABCD中，. /ABC=60, AB=1,.ABC, 9CD都是等边三角形，若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转 化为了 直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短：即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1 ;若以边PC为底，/ PBC为顶角

5、时，以点 B为圆心，BC长为半径作圆，与 BD相交于一 点，则弧AC （除点C外）上的所有点都满足 APBC是等腰三角形，当点 P在BD上时，PD 最小，最小值为 3 1 若以边PB为底，/ PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧 BD上的点A与 点D均满足4PBC为等腰三角形，当点 P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此 种情况不存在； 上所述，PD的最小值为志1故选D.【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.4.正九边形的内角和比外角和多（A. 720B. 900C. 108

6、0D. 1260【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.【详解】.正九边形的内角和是 （9 2） 180o 12600, 1260° 360o 900 ,故选：B.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键5.如图，四边形 ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF, DG,则DGCFD.连接AC和AF,证明ADAGs CAF可得型的值.CF【详解】连接AC和AF, DCAC AF 2. / DAG=45-Z GAC, / CAF=45-GAC, . / DAG=Z CAF.DA CAF. DG生

7、变CF AC 2故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角 形.6.如图，菱形 ABCD中，点P是CD的中点，/ BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点 E, 射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点，作 BMLAE于点M,作KNLAE于点N,连结MO、NO,以下四个结论： AOMN是等腰三角形； tan / OMN= Y3 ；BP=4PK；PM?PA=3PD2,其中正确的是（）A.B.C.【答案】B【解析】D.【分析】根据菱形的性质得到AD/ BC,根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理 ZADP EC

8、P由相似三角形的性质得到AD=CE,彳PI/ CE交DE于I,根据点P是 KP PI 1 一CD的中点证明CE=2PL BE=4PI,根据相似三角形的性质得到 二一，得到KB BE 4BP=3PK故错误；作OGLAE于G,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又OGLMN,证明AMON是等腰三角形，故正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出ZOMN=3,故正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM?PA=3PB,故正确.解：作PI/ CE交DE于I,四边形ABCD为菱形，.AD/ BC,. / DAP=Z CEP, / ADP=Z ECP在 "DP和AECP中，DAP CEPA

9、DP ECP, DP CP . ADP ECP .AD=CE,则以CEPDDC,又点P是CD的中点,PI _ 1CE - 2.AD=CE,KP PI 1一 一 =-, KB BE 4.BP=3PK故错误；作 OGi± AE于 G, . BM ± AE于 M, KN± AE于 N, .BM / OG/ KN, 点O是线段BK的中点,.MG=NG,又 OG, MN ,.-.OM=ON,即AMON是等腰三角形，故 正确；由题意得，BPC,那MB,那BP为直角三角形,设BC=2,则CP=1,由勾股定理得，BP=3 ,则 AP= . 7 ,根据三角形面积公式，BM= 2口，

10、7 点O是线段BK的中点,PB=3PO, .OG=1 BM=221 ，21MG=2MP=2, 37tanZ OMN= OG =,故 正确; MG 3 . /ABP=90, BM± AP,PB2=PM?PA, / BCD=60 , ./ ABC=120 ,/ PBC=30, . / BPC=90, .PB= 3 PC, PD=PC,PB2=3PD,.PM?PA=3PD2,故 正确.故选B.【点睛】本题考查相似形综合题.7.如图，正方形 ABCD的边长为4,点E、F分别在 AB、BC上，且 AE=BF=1, CE、DF交于4 Q点O,下列结论：Z DOC=90,OC=OE,CE=DF,t

11、an / OCD,S goc=S四边形 3EOFB中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】分析：由正方形 ABCD的边长为4, AE=BF=1,利用SAS易证得EBe FCD,然后全等三 角形的对应角相等，易证得 /DOC=90°正确，CE=DF正确；由线段垂直平分线的性 质与正方形的性质，可得 错误；易证得/ OCD=ZDFC,即可求得 正确；由 易证得 正确.详解：.正方形 ABCD的边长为 4,BC=CD=4, /B=/DCF=90°. AE=BF=1 ,BE=CF=4- 1=3.BC CD在 AEBC和 FCD中，B DCF ,BE

12、 CF.EBe FCD （SAS ,CFD=/BEC CE=DF,故 正确， ./ BCEnZ BEC=Z BCEZ CFD=90°, . . / DOC=90°故 正确；连接DE,如图所示，若 OC=OE. DF1_ EC, . . CD=DE.CD=ADV DE （矛盾），故 错误；. / OCD+Z CDF=90 °, Z CDF+Z DFC=90 °, /. Z OCD=Z DFC, /. tan Z OCD=tanZDFC=-DC-=4,故 正确；FC 3故EB集 FCD,&ebuStcd,SJzebc- Stoc=Sfcd &

13、foc,即 Sodc=S 四边形 beof正确； 故正确的有：.故选D.A 口E点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角 函数等知识.此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.P是线8.如图，菱形 ABCD中，对角线 AC= 6, BD= 8, M、N分别是BC CD上的动点,段BD上的一个动点，则 PM+ PN的最小值是（）A.B.12516C5D.245NQ为作M关于BD的对称点 Q,连接NQ,交BD于巳连接MP,此时MP+NP=NQ最小, 所求，当NQLAB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可彳#答案.【详解】作M关于BD

14、的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP=NQ最小,NQ为所求，当NQLAB时，NQ最小,.四边形ABCD是菱形，AC=6, DB=8, .OA=3, OB=4, AC± BD,在 RtAAOB 中，AB= Joa2 OB2 =5,c1 一S 菱形 ABCL -ACgBDABgNQ ,1-8 6 5NQ , 224PM+PN的最/、值为 一,5故选D.【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确 定最短路线的方法是解题的关键.D落在BC边上的点E处，折9 .如图，正方形 ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点CH的长是（【

15、答案】B【解析】C. 5D. 6试题分析：设CH= x,因为 BE： EC= 2： 1, BC= 9,所以,EC= 3,由折叠知，EH= DH=9 x,在RtECH中，由勾股定理，得:2_ 22(9 x) 3 x ,解得：x= 4,即 CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10 .下列说法中正确的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是 解题的关键.【详解】A.有一个角是直角的

16、四边形是矩形，错误；B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D.两条对角线相等的菱形是正方形，正确故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力11.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD的边OB固定在x轴上，开始时 DOB 30 ,现把菱形向左推，使点 D落在y轴 正半轴上的点D级，则下列说法中错误的是（）A.点C的坐标为4,4B. CBC 60C.点D移动的路径长度为 4个单位长度D. CD垂直平分B

17、C【答案】C【解析】【分析】先证明四边形OBC端正方形，且边长=4,即可判断A;由平行线的性质得/ OBC的度 数，进而得到CBC 60 ,即可判断B;根据弧长公式，求出点 D移动的路径长度，即可判断C;证明CDL BC', BC =BC=2BE即可判断 D.【详解】 四边形OBCD是菱形，OB=BC=CD=OD .OB=BC'=C D'=OD', / BOD =90； 四边形OBC况正方形，且边长=4, 点C的坐标为 4,4 ,故A不符合题意. DOB 30 , OD/ BC, OBC=180-30 =150°, . / OBC=90°,

18、CBC 60 ,故B不符合题意. 点D移动的路径是以 OD长为半径，圆心角为/ DOD'=90°-30°=60°的弧长，604 4 点D移动的路径长度=°一4=,故C符合题意. 1803设CD与BC交于点E, .在菱形 OBCD 中，/ C= DOB 30 ,. CBC 60 , ./ BEC=180-60 °-30 °=90°,即 CD±BC', .BC =BC=2B E CD垂直平分BC ,故D不符合题意.故先C.【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质

19、和正 方形性质，含30。角的直角三角形的性质，是解题的关键.12.如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B (0, 273) , /DOB=60°,点P是对角线 OC上的一个动点，已知 A ( - 1, 0),则 AP+BP的最小值为 ( )A. 4B. 5C. 3MD. V19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点 D,连接AD,则AD即为AP+BP的最小值，求出点 D坐标解答即可. 【详解】解：连接AD,如图，T U点B的对称点是点 D,.AD即为AP+BP的最小值， 四边形 OBCD是菱形，顶点 B (0, 2J3) , / DOB=60,.点D的坐标为

20、(3, J3), 点A的坐标为(-1,0), -ad=7(V3)2 42 719，故选：D.【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离.13.如图，在矩形 ABCD中，AD=J2AB, / BAD的平分线交BC于点E, DHAE于点H, 连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：/ AED=/ CEQOE=OD;BH=HF;BC CF=2HE AB=HF,其中正确的有（A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】 【详解】试题分析：. .在矩形 ABCD中，AE平分/ BAD,BAE=Z DAE=45 , .ABE是等腰直角三角形， 1-AE

21、=./2 AB, AD= J2 AB,.-.AE=AD, 又/ ABE=Z AHD=90 . ABE AHD (AAS),.BE=DH,.AB=BE=AH=HD,一 ，一 1 ，。、，/ADE=/ AED=- (180 45 ) =67.5 ,2 . / CED=180 45 - 67.5 =67.5 : ./ AED=Z CED,故 正确；1 . /AHB= ( 180 45 ) =67.5 , / OHE=/AHB (对顶角相等)，2/ OHE=Z AED, .OE=OH, . / OHD=90 - 67.5 =22.5 °, / ODH=67.5 -45 =22.5 °

22、;, ./ OHD=Z ODH,.OH=OD, .OE=OD=OH,故 正确； . / EBH=90 67.5 =22.5 °, ./ EBH=Z OHD,又 BE=DH, / AEB=Z HDF=45 . BEH HDF (ASA), .BH=HF, HE=DF,故 正确； 由上述、可得CD=BE DF=EH=CE CF=CD-DFBC-CF= (CD+HE)- (CD-HE) =2HE,所以 正确； . AB=AH, /BAE=45, ABH不是等边三角形， .AB 田H, 即AB HF故错误；综上所述，结论正确的是 共4个.故选C.【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的

23、判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质中，D, E是AB, AC中点，连接 DE并延长至F ,使ADCF为菱形的是（）EF14.如图，在VABCCD ABD. ACBC【解析】【分析】DE/ BC根据AE= CE, EF= DE可证得四边形 ADCF为平行四边形，再利用中位线定理可得结合AC± BC可证得AC± DF,进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证.【详解】解：.点E是AC中点，.-.AE=CE) . AE=CE, EF= DE,二四边形ADCF为平行四边形, 点D、E是AB、AC中点， .DE是AABC的中位线， .DE/ BC,/

24、AED= / ACB, .ACXBC, ./ ACB= 90°, ./ AED= 90°, ACXDF,平行四边形ADCF为菱形 故选：D.【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本 题的关键.15.已知YABCD（AB BC）,用尺规在ABCD内作菱形，下列作法错误的是 （ ）t-A.如图1所示，作对角线 AC的垂直平分线 EF ,则四边形 AECF为所求B.如图2所示，在 AB, DC上截取AE AD, DF DA ,则四边形 AEFD为所求C.如图3所示，作 ADC、 ABC的平分线DE, BF ,则四边形DEBF为所求D.

25、如图4所示，作 BDE BDC, DBF DBA ,则四边形 DEBF为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可.【详解】解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB= AD,一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定.16.如图，四边形 ABCD和EFGH都是正方形，点 E, H在AD, CD边上，点F, G在对角线

26、 AC上，若AB 6,则EFGH的面积是（）A. 6B, 8C, 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到/ DAC= Z ACD= 45°,由四边形EFGH是正方形，推出 小EF与4DFH是等腰直角三角形，于是得到DE= -2 EH= 2 EF, EF= 2 AE,即可得到结论.222【详解】解：.在正方形 ABCD中，/ D=90°, AD=CD= AB, . / DAC= / DCA= 45°, 四边形EFGH为正方形， .EH=EF, /AFE= Z FEH= 90°, ./ AEF= / DEH= 45°, .AF=

27、EF, DE= DH, .在 RtAAEF中，AF2 + EF2 = AE2, .AF=EF= _2 AE,2同理可得：DH=DE= _2 EH2又 EH= EF, -DE= _2 EF= 2 X2 AE= 1AE, 2222 ，AD= AB= 6, .DE=2, AE= 4, -EH= 72 DE= 2 五,EFGH 的面积为 EH2= (2J2)2=8, 故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握 图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.17.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,点M、N分别在边 AD、BC上，连接 BM、DN.若四边形

28、MBND是菱形，则幽-等于（）MDA.2B.一3C. 一8试题分析：设AB=a根据题意知AD=2a,由四边形BMDN是菱形知BM=MD,设AM=b，则BM=MD=2a-b.在RtAABM中，由勾股定理即可求值 .试题解析：四边形 MBND是菱形， .MD=MB .四边形ABCD是矩形， / A=90°.设 AB=a, AM=b ,贝U MB=2a-b, （a、b 均为正数）.在 RtAABM 中,AB2+AM2=BM2,即 a2+b2= （2a-b） 2,解得a=4b, 35. " MD=MB=2ab= b 3，AMb3MD5.5 .b3故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质.18.如图，在菱