2021届北京西城高三一模数学含答案

1、北京市西城区2021届高三一模数学试卷2021.4本试卷共6页，共150分,考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合4 = %1 也 1, B=1 - 1, 0,1, 2,则ADB=(A) 2(B) 1, 2(C) 0, 1, 2)(2)已知复数z满足N Z = 2i,则z的虚部是(D) i(A) -1(B) 1(C) -i(3)在(x-1)6的展开式中，常数项为 厂(D) -30(A) 15(B) -15(C) 30(4)某四棱锥的三

2、视图如图所示，则该四棱锥的表面积为第9页共14页正(主)视图 侧(左)祝图俯视图(A) 12(B) 8 + >/2(C) 16(D) 8 + 4>/22(5)已知函数/(x) = log,x,则不等式/(幻>0的解集是 x(A) (0, 1)(B) (一8, 2)(C) (2, +8)(D) (0, 2)(6)在ABC中，C=90°, AC=4, 5c=3,点尸是48的中点，则盛。=99(A) -(B) 4(C) -(D) 642(7)在ABC 中,C=60。，+2b=8, sinA=6sinB,则 c=(A) y/35(B)屈(C) 6(D) 5(8)抛物线具有以

3、下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用 非常广泛.如图，从抛物线r=4x的焦点F发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A.B两点反射，已知两条入射 光线与X轴所成锐角均为60。，则两条反射光线，和'之间的距离为(9)在无穷等差数列“中，记,="s + g。4 +。51严，4(“ = 12)，则“存在-GN*,使得，j<小2”是“a”)为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)若非空实数集X中存在最大元素材和最小元素?，则记 (X)="一帆下列命题中

4、正确的是(A)已知 X=-1, 1, y=0, /?,且4 (X) = (丫)，则=2(B)己知 X=a, ”+2, Y=yy=x x£X,则存在实数，使得 (丫)<1(C)已知 X= (x f (x) >?(X)xG-l, 1),若(X (X) =2,则对任意 XC-1, 1,都有/(x) 1 (x)(D)已知X=a, +2, Y=,+3,则对任意的实数小总存在实数b,使得 (XUK) <3第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)函数/(x) = lnx+J匚；的定义域是一(12)已知双曲线C 二一二=1,则。的渐近线方程是

5、：过。的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线84于M, N两点，O为坐标原点，则OWN的面积是.(13)在等比数列如中，4+“3=10, 42+。4=-5,则公比夕=；若如1,则的最大值为。(14)已知函数八外=sinx,若对任意XGR都有/(x) +/(x+?)=c(c为常数)，则常数m的一个取值为(15)长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临 之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量水库总蓄水量X100 )来衡量每座水库的水位情况,假设某次联合调度要求

6、如下:(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0, 100：(ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低：(iii)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记X为调度前某水库的蓄满指数，.V为调度后该水库的蓄满指数，给出下而四个y关于X的函数解析式:1人允(1) y = -_x2 +6x ： y=l()V7； y = 10，)： )' = 100sin m则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16 )(本小题13分)如图，在正方体ABCO-A山Cid中，七为。的中点.(I)求证：BD平面ACE;(II)求直线A

7、。与平面ACE所成角的正弦值.（17 ）（本小题13分）已知函数/（x） = Asin（6 + e）（A > 0,口> 0,倒V。，且/（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为£,再 22从条件、条件、条件中选择两个作为一组己知条件.（I）确定/（X）的解析式：（II）若图象的对称轴只有一条落在区间0,0上，求”的取值范围.条件：/（%）的最小值为一2：条件：/（x）图象的一个对称中心为（竺，0）：12条件：/（%）的图象经过点（2, - 1）;6注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.（18 ）（本小题14分）天文学上用基等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.

8、视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中“£0,1.3星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四*视星等-1.47-0.72-0.27-0.040.030.080.120.380.46a绝对星等1.42-5.534.4-0380.60.1-6.982.67-2.78-5.85赤纬-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°46°-8.

9、2°5.2°-57.2°7.4°（I）从表中随机选择颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（II）己知北京的纬度是北纬40。，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于一50。时，能在北京的夜空中看到它， 现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；（HI）记=0时10颗恒星的视星等的方差为父，记“=1.3时10颗恒星的视星等的方差为主，判断s：与¥之 间的大小关系.（结论不需要证明）（19 ）（本小题15分）已知函数/ （%） = （hu t/）.（I）若，=1，求曲线y=/（x）在点

10、（1,负1）处的切线方程：（II）若心1，求证：函数（）存在极小值;（HI）若对任意的实数x£l, +8）, /J） N 1恒成立，求实数”的取值范同（20）（本小题15分）x2 y23已知椭圆C： r + = 1（>0）的焦点在X轴上，且经过点E（l,左顶点为。，右焦点为F.32（I）求椭圆C的离心率和OEF的而积；（II）已知直线y=h+l与椭圆C交于A，8两点过点5作直线y=f （f> JJ）的垂线，垂足为G.判断是否存 在常数，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求f的值：若不存在，请说明理由.（21）（本小题15分）已知数列4 件 如 ，他（%3）的各项均为正

11、整数，设集合丁 =3x=q”1W<gV,记丁的元素个 数为尸（D.（I）若数列A:l, 2, 4, 3,求集合丁，并写出P （T）的值：（II）若A是递增数列，求证:“P （T） =N-的充要条件是“A为等差数列二（III）若N=2/?+l,数列A由L, 2, 3,，2这+1个数组成，且这+1个数在数列A中每个至少 出现一次，求P（D的取值个数.西城区高三统一测试数学参考答案2021.4一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)(10) D二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11) (0刀(12) y = ±-x 9 6y/22(13) L 3(14)兀(答案不唯

12、一，只要是(2k + l)兀即可)2注：第(12)和(13)题第一空3分，第二空2分第(15)题全部选对得5分，不选或有错选得。分, 其他得3分.三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共 13 分)解：(I)连接交AC于点O,连接OE,在正方形A3CD中，OB = OD.因为石为OR的中点，所以OE BD3分因为8已0平面ACE, OEu平面ACE,所以3已平面ACE.5分（II）不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系A-冷总则 A(0,0,0), CQ20), 0(0,2,0), £(0,2,1),所以而= (0,2,0), AC = (2,2,0), AE =

13、(0,2,1).设平面ACE的法向量为 =（.* y, z）,所以“c = °.所以，Il AE = 0,2x + 2y = 0,即 2y + z = 0,10分令y = T,则1 = 1, Z = 2,11分设直线与平面ACE所成角为。,则器方磊唔13分所以直线"）与平面ACE所成角的正弦值为好. 6(17)(共 13 分)解：由于函数小）图象上两相邻对称轴之间的距离为g所以/（九）的最小正周期7 = 2乂; =兀，S号=2.止匕时 f (%) = Asin(2x + (p).选条件: 因为f（x）的最小值为-A,所以A = 2.因为小）图象的一个对称中心为哈,。）,Si

14、r所以2'3+夕=左兀（AeZ），Stt 所以夕=k兀一一（kwZ）,69分第11页共14页因为所以?<*+?<?, 所以”答器吟.7分8分3分5分7分8分4分6分所以/(x) = 2sin(2x + 3.6选条件：因为/(X)的最小值为T,所以A = 2.因为函数/(%)的图象过点(决1),6则 f() = 一1,即 2sin( + 9) = 1, sin( + 0) =.6332所以/(x)= 2sin(2x + 3.6选条件：因为函数f(x)的一个对称中心为(里,0),12所以2x>e = &兀伏eZ),Sir所以夕=k兀一一(kwZ).6因为|。| v

15、 三，所以P = ，此时女=1. 26JT所以 f(x) = Asin(2x + ). 6因为函数/(%)的图象过点(任1), 6所以/(也=-1，即 Asin(? + S)= -1，Asin詈=-1，所以 x) = 2sin(2x + N).8 分6(II )因为；veO.a,所以2+工£d， 十 3，666因为f（x）图象的对称轴只有一条落在区间Qa上，所以+ 2生，11分26 2得,13 分63所以。的取值范围为己,生）.6 3（18）（共 14 分）解：（1 ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A.由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝 对星等的数值小于视星等的数值.

16、所以 P（A） = ± = L3 分10 2（II）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于-50 ,有3颗恒星的“赤纬”数值小于-50 .所以随机变量X的所有可能取值为：1,234.4分C1 C3 71C2 C2 3p（x = i）= i =，= L p（x = 2）= 4 = ,C：0210 30C：010P（X=3） =警=；，尸小=4）=箸=8分C】o 2J。 6所以随机变量X的分布列为：X1234P130310£ 26所以 E(X) = lx，+ 2x上+ 3x，+ 4x，= U.H 分301026 5(HD s；<$14 分(19)(共 15 分)解：(1

17、)当.=1 时,/(x) =ex0nx1) 9所以 fx) = er(Inx-1) + ev - = e'(Inx + - -1).1 分xx所以f(l)= -e,尸(l) = 0.3分曲线y = f(x)在点(1,7(1)处的切线方程为y = -e.4分(I【)由 /(x) = e'(lnx-4),得 f'(x) = e”(lnx+l-a), x令a)= lnx + 1-4 ,则6 分xx x* 厂当 0<x< 1 时，hf(x) <0 ,当 x> 1 时，hf(x) > 0 ,所以力(X)在区间(0.1)上是减函数，在区间(1.+0C)

18、上是增函数.所以h(x)的最小值为MD = 1 一”.7分当时，/?=1-“<0 , (e“)= e-“ >0,9 分乂力(X)在(1.+OO)单调递增，故存在.e(l,e"),使得 =0，在区间(Lx。)上心)<0,在区间(xo,xo)上万。)>0.10分所以,在区间上/'(X)<0 ,在区间(%,+8)上/'(%)>0 ,所以，在区间(1,不)上/(外单调递减，在区间(%,+8)上/(X)单调递增，故函数/3)存在极小值.11分(111)对任意的实数xwl,+00), /")学-1恒成立，等价于f(x)的最小值大于或当

19、awl时，(1) = 1 一 4NO,由(H)得/?(x)2O,所以广。)20.所以f(x)在儿+0。)上单调递增,所以工)的最小值为了=-，心由一优分一1,得aw1，满足题意.13分e当时，由(II)知，f(x)在(1,玉)上单调递减,所以在(1,%)上f(x) s /(I) = -ae < -e 不满足题意.综上所述，实数。的取值范围是(-8.15分e(20)(共 15 分)1 Q解：(1 )依题意，+ -= 1 >解得。=2.1分4因为。2 ="2 =4 3 = 1 ,即 c = l,2 分所以 0(2。，F(1,O),所以离心率e = £ =，尸的面积S

20、=，x3x= 2. 5分。222 4(II)由已知，直线。£的方程为y = Lx + l. 2当 A(-2,0), 5(1，)，G(l,f)时, 2直线AG的方程为y = g(x + 2),交y轴于点(O,gr)：当 A(l)，B(2,0), G(-2j)时， 2z_2直线AG的方程为)，Y = -1),交y轴于点(0,). 2-33若直线AG经过)，轴上定点，则|r =彳，即f = 3,直线AG交y轴于点(”2).7分下面证明存在实数, = 3,使得直线AG经过y轴上定点(0.2).y =6 + 1 ,联立< 产 产 消y整理,得(4/+3)/+8公-8 = 0,8分+ -

21、= 114 3设 A(k，x), B(x29y2).则为+*=瓦蚤'.2=鼎三.I。分设点G(x),3),所以巨线AG的方程：v-3 = -U-AS). 11分令“0,得y=R+3.+3=3xfz 一内一巧3X| 一巧（左牛 +D _ 3再-x2 - kxx2因为内上=内+上，所以、，=3一工-(玉+玉)=2玉一丝=2.14分X| -x2xl -x2所以直线AG过定点(o.2).综上，存在实数f = 3,使得直线AG经过y轴上定点(0.2).15分(21)(共 15 分)解：(I)因为 q = 1 , a1=2 ,q=4，q=3,所以7 = 1,2,3,-1) , P(T) = 4 .

22、4 分(II)充分性：若A是等差数列，设公差为d.因为数列A是递增数列，所以d>0.则当 j >，时，勺- 4 = (./ - /)</.所以7 = /24,(N -1)4, P(T) = N-.6 分必要性：若P(T) = NT.因为A是递增数列，所以. 。3<即4，所以电一%,% 一4,Mn -4 tT，且互不相等.所以T = 。2一 。1，一。.又见一生<4 一生 <,<% -%<0n 一4 <匹 一4，所以4 一生，。4 一。2,，0N 一。2q一4，旦互不相等.所以一生=兄一4， / 。)= % 一 %， v - 4=。"

23、;1 q 所以。2 - q =4一=4jv _ 4jVT，所以A为等差数列.9分(III)因为数列A由1.2,3,，儿2这+ 1个数组成，任意两个不同的数作差, 差值只可能为±1,±2,±3,±(八-1)和土? -1),±(2-2),，土n.共25-1) + 2»=4殿-2个不同的值;且对任意的 =1,2,3,，一 1,2一 1,?和-，这两个数中至少有一个在集合T中.11分乂因为1.2,3,2这 + 1个数在数列A中共出现N = 2 + l次，所以数列 A中存在q=%(，=/),所以OeT.综上，PGT)s4 - l,且 P(r)N212