2021届广东省惠州市高三第一次调研考试数学试题

1、惠州市2021届高三第一次调研考试试题数学全卷?茜分150分，时间120分钟.2020.07注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2 .作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共 10小题，每小题满分 5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分，选错得0分。2.3.4.设集合M x|x

2、2C. x|x 2复数z满足（1 i）已知sin3,则已知向量k,35xB.cosB.0,集合NB.D.其中b 1,4x|xx23i为虚数单位，则复数C. i5C.一3b,则实数D.D.A. 12B.123C.14D.已知正方体ABCDABGDi的棱长为1,则直线DAi与直线AC所成角的余弦值C.22l :x 2y 5 0 ,6 .已知双曲线 J y- i（a 0,b 0）的一条渐近线平行于直线 a b则双曲线的离心率为（）.7 .张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相

3、同。已知第一日织布 5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（）尺.16B. 298C.15D.1631(A)(B)(C)ABC8 .函数f x x cosx的部分图象的大致形状是（）(D)D9 .根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派 1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）.A. 1B, 1C, 1D, 1643210 .对于函数f x ,若在定义域内存住,实数x,满足f x fx,称fx为“局部奇函数”.若f x 4x m2x1 m2 3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）.C.2

4、2 m 2.2二、多项选择题：本题共 2小题，每小题满分 5分，共10分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得 3分，有选错的得。分。11 .下列选项中正确的是（）A.不等式a b 2JOB恒成立.b a 一C.若a、b为正实数，则一一2 . 一，1,B.存在实数a,使得不等式a - 2成立. a一 .21 八D.右正实数x, y满足x 2y 1 ,则一 一8 .x y12.在空间中，已知a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（a bA.若 a/b,且 a , b ，则 / .B.若，且 a/ , b/ ，则 a b.C.若a与b相交

5、，且a , b ，则 与相交.D.若 a b,且 a/ , b/ ，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。13 .函数f x lnx在点1,0的切线方程为 一， 一7一 一 ，,3一 一，一14 .二项式 2x 1的展开式中x3的系数是.15 .若抛物线y2 4x上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是 .16 .已知 AABC, AB = AC=4, BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点，BD = 2,连接 CD, 则 BDC 的面积是, cos/ BDC =.四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17

6、 .（本小题满分10分）已知等差数列an的公差d 0 ,若a611 ,且a2, a5, a14成等比数列.（1）求数列an的通项公式；1,一, ，一 一一（2）设，求数列6的前n项和Sn .an an 118 .（本小题满分12分）在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bcosA= 2c a cosB .(1)求角B的值；(2)若a 4, ABC的面积为事,求 ABC的周长.19 .(本小题满分12分)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD , AF/DE , DE 3AF , BE与平面ABCD所成角为60 .(1)求证：AC 平面BDE ;(2)求二面角F BE

7、 D的余弦值；20 .(本小题满分12分)2 2_1已知椭圆C : 二 1 ( a b 0)的一个焦点为F 73,0 ,且该椭圆经过点P 3,-a b2(1)求椭圆C的方程；(2)过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点 A、B ,试问在x轴上是否存在定点 Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由21 .(本小题满分12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有 1名感染病毒，其余 5名健康，需要通过化验血液来确定 感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.(1)若从这6名密切接触者中随机抽取 3名，求抽到感染者的概率；(2)血液化验确定感染者的

8、方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分 成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性， 则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。(i)采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；(ii)采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望。你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。22 .(本小题满分12分) x. .已知函数f(x) ln(ax). a(1)若a 0,求f (x)的极值；x 一2 一 x(2)右e ln x mx 1 e x m 0,求正实数m的取值氾围惠州市2021届高三第一次调研考试

9、数学参考答案与评分细则13. y x 114. 28015. 9151016. 2 （3 分），4（2分）【注：14题结果写成C74 23不扣分】113. f （x） 一, f x1,因此切线方程为、单项选择题：本题共 10小题，每小题满分 5分，共50分。题号12345678910答案ACABCDBDAB二、多项选择题：本题共 2小题，每小题满分 5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项11题选项12题选项可得分数全部正确BCDAC5分部分正确B、C、D、BC、BD、CDA、C3分4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。)符合题目要求。全部选对得5分，部分

10、选对得 3分，有选错的得0分。二、填空题(本题共1r2,_ _15.抛物线y 4x的焦点F(1,0),准线为1 ,由M到焦点的距离为10,可知M到准线的距离14.展开式的第r 1项为T- C；(2x)7 r.3 . 一 一 -_ 4 3所以x的系数为C72280 .也为10,故到M到的距离是9.16.法1:依题意作出图形，如图所示，则sin / DBC = sinZ ABC,由题意知 AB = AC=4, BC=BD=2,则 sin/ABC = "45,cos/ABC = °, 411所以 SZBDC = 2BC BD sin/DBC= 2X2X215154T 2，因为 c

11、os/DBC = cos/ABC= 1 BD2+BC2-CD2 8CD22BD BC所以 CD=V10,由余弦定理,得cos/ BDC=/1品=.答案:乎乎法2:如图，作 AE垂直BC,作DF垂直BC,由勾股及相似比可得面积。由二倍角公式可得目标角度的余弦值。三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)17.本本小题满分10分)(1)法 1： :a6 11 , a 5d 11 ,1 分22曾2, a5,裕 成等比数列，(a1 4d) d)(& 13d),化简得d 2&d ,2分又因为d 0且由可得，a1 1 , d 2 .4分【注：只要算出d

12、 2即可给分】3分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：此步骤未写全 3个条件，本得分点不得分】,-1由(1)得以an an 1bib2bn2(112n12n8分数列的通项公式是 an 2n 15分法 2： ； 411,a2,a5,a14成等比数列，(a6d)2 4d)(a6 8d) ,1 分22(11 d) (11 4d)(11 8d),化简得 33d66d ,2 分又因为d 03分【注：无此步骤，本得分点不得分】得d 2 .4分an a6n 6 d 11 2 n 6数列的通项公式是 an 2n 15分7分11,11 、一() )(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 12(1工9分n

13、2n 1所以Sn10分2n 118 .(本小题满分12分)(1)法1：由已知bcosA=(2c a)cosB,及正弦定理可得:2sinCcosB = sinBcosA+sinAcos B 1分2sinCcosB = sin(A+B),2 分因为 A+B=九一C,所以 2sinCcosB = sinC,3 分法2：由已知bb：,1所以 cosB=2.因为0< B< W一 九所以B=a.3bcosA= (2c a)cosB,及余弦定理可得:22222c a 八 a c b=2c a 2bc2ac化简得a2 c2 b2 ac余弦定理可得2accosB ac,1所以 cosB=2.因为0&

14、lt;B<九,一 九所以B = 7.3二 1(2)由 Saabc= 2acsinB得君=2X4>cx：,所以 c= 1.2又由余弦定理:b2a2 c2 2accosB ,11 1326分【注：无此步骤，本得分点不得分】4分【注：无此步骤，本得分点不得分】6分【注：无此步骤，本得分点不得分】8分1注：单独写出此步骤，即可得1分】10分1注：单独写出此步骤，即可得1分】得 b J13,11分故“BC的周长为5+VT3.12分【注：第二问也可过 A作BC边上的高,然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】19 .本本小题满分12分)(1)证明：因为 DE 平面ABCD , AC

15、面ABCD所以DE AC因为ABCD是正方形，所以 AC BD又 DE BD D , DE 面 BDE , BD 面 BDE故AC 平面BDE.(2)法1:【向量法】因为DA, DC, DE两两垂直,建立空间直角坐标系D xyz如图所示5分因为ED 平面ABCD ,且EB与平面ABCD所成角为60 ,即 DBE 60 , 6分所以 里 J3.由已知AD 3,可得DE3<6, AF <6.7分DB则 A(3,0,0),F(3,0-6),E(0Q3、,6), B(3,3,0),C (0,3,0),所以 BF (0, 3, .6),EF (3,0, 2,6).0 口. 3y . 6z 0

16、，即 0 3x 2 6z 09分一一n BF设平面BEF的法向量为n (x,y,z)，则 n EF令 zJ6,则 n (4,2, v16).因为AC 平面BDE ,所以CA为平面BDE的法向量,所以 cosn, CAn CA 62JSn CA 3 <2 v 2613CA (3, 3,0). 10 分11分因为二面角为锐角，所以二面角F BE D的余弦值为:2.1312分法2:【几何法】如图,G、P分别为线段ED、EB的三等分点,M、N分别为线段EB、DB的中点,MNAGP=H,连结 FH,AF/NH,且 AF=NH,所以 FH/AN ,且 FH= AN所以FHL面BDE, 过F作FQXE

17、B垂足为Q,连结HQ由三垂线定理知，/ FQH为二面角F BE D的平面角。 6分由已知可得FHAN ,所以FH3、227分8分因为ED 平面ABCD ,且EB与平面ABCD所成角为60 ,即 DBE 60 PHQ为直角三角形，/ QPH=60°, HP 1GP 走，所以HQ 立，9分424由勾股定理得FQ2FH2 hq2'得FQ '10分.6T . 13所以 cos/ FQHJ11分78134所以二面角FBED的余弦值为.131312分20 .(本小题满分12分)(1)法1:【待定系数法】由题意可得c2 3 a2 b2, 1分一 ，一一 131又因为点在椭圆上得二二

18、 12分a 4b联立解得a2 4 , b2 13分2所以椭圆C的方程为 y2 1 4分4法2:【定义法】设另一个焦点为 F1 73,0 ，则 EFP为直角三角形，由勾股定理得 FiP J1 12 7,1分42所以 2a PF PF14 ,即 a 2 ,分由 b2 a2 c2 得 b2 1分2所以椭圆C的方程为y2 14分(2)当直线l为非x轴时，可设直线l的方程为x my J3 0 ,与椭圆C联立,整理得 4 m2 y2 2V3my 1 0.5 分,222由=2、3m +4 4 m =16 m 10设 A Xi,y1 , B X2,y2 ,定点 Q t,0 (且1 xi,t x2)则由韦达定理

19、可得y1 y2 2啊,yiy2 1T6分4 m4 m直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.所以 y1 y20,即得 y1 x2 t y2 x1 t 07分Xi t X2 t又 x1 my1730,x2my2旧0,得 x1=T3my1 , x2 = V3 my2所以 y1 73my? ty?>/3myt 0,整理得 73 t y1 y2 2my1y208分从而可得61盘2m-。，即2m 4 73t 0,.所以当t4 3 4、33，即 Q ,033时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立9分.10分4.311分特别地，当直线l为x轴时，Q -,0也符合题意.34

20、.3综上，存在x轴上的定点Q W±,0 ,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称12分 321.(本小题满分12分)(1) 6名密切接触者中随机抽取 3名共有C； 20种方法，1分12抽取3名中有感染者的抽法共有 C1 C510种方法，2分 C2 10 1所以抽到感染者的概率 P=号=一 = 3分C； 20 2(2) (i)按逐一化验法,的可能取值是1, 2, 3, 4, 5,1y=1C661 1)C5C112 =A 6'&一解G1 _ 13=丁=6,A3C1A 6'5二年+冬1A5A5 66 3'5表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性(即不检验可确

21、定第6个样本为阳性)】12345P1616161613分布列如下:所以E=1162163164165131035 分【注：无列表不给分】6分(ii)平均分组混合化验,6个样本可按 3,3平均分成2组，或者按 2,2,2分成3组。如果按3,3分2组，所需化验次数为的可能取值是2, 3,P =2 =C1C2一 1 一 1C1G_1-T T 一Pc2c； 3c； c2ci1 c； c2c； = 2 ci 7r c1 f-3分布列如下:23P1233i E =2+33如果按2,2,2分3组，所需化验次数为的可能取值是2, 3,C1=2 =1c323=3=1 321+23分布列如下:23P1323L八1

22、八2 8八E =2 - +3 二一 分033 3【参考回答1】：因为E E =E , 11 分所以我认为平均分组混合化验法较好，按2,2,2或3,3分组进行化验均可。 12分【参考回答2】：因为E E =E ,按3,3分2组比按2,2,2分3组所需硬件资源及操作程序更少， 11分所以我认为平均分组混合化验法且按3,3分2组更好。12分【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则(如回答1)及加分原则(如回答 2)。22.(本小题满分12分)11 x a(1)因为a 0,则函数定义域为 0,+, f (x)- - ，1

23、分ax ax若0 x a,则f(x) 0, f (x)在(0, a)单调递减； 2 分x(0,a)a(a,)f' x0f (x)极小/所以当x a时，f(x)的极小值为f(a) 1 2lna,无极大值； 5分若x a,则f(x) 0, f(x) (a,)单调递增,4 分【注：无列表不得分】(2)法 1：x八、2-e (ln x x) mx x m 0,则 mex x In x xx2 1由(1)知，当a 1时，f (x)x In x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增,所以 f(x)minf 11,所以 x ln x 1 ,3 分xxe x In xx ex22x 1 x1),h'(x)ex x 2x x 1 ex x 1 x 1222令 g(x