chapter函数的极限PPT学习教案

1、会计学1chapter函数的极限函数的极限教学要求：教学要求：1. 理解函数极限、左右极限的概念；理解函数极限、左右极限的概念；2. 理解函数极限与左右极限的关系理解函数极限与左右极限的关系;3. 掌握用（掌握用（ - ）精确精确定义验证函数极限定义验证函数极限;难点：理解难点：理解精确精确定义定义.4. 掌握函数极限的性质掌握函数极限的性质.第1页/共22页 )( .0的极限定义的极限定义时函数时函数一一xfxx .用定义验证函数极限用定义验证函数极限二二 .函数极限的性质函数极限的性质三三 .单侧极限单侧极限四四 .证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法五五 .无穷大的精确定义无穷大的精

2、确定义六六第2页/共22页 )( .0的极限定义的极限定义时函数时函数一一xfxx 1.实例分析实例分析 12)()1( xxfxoy2255)(2xfx时时当当24)()2(2 xxxfxoy24 4)(2xfx时时当当第3页/共22页)()()(00常数常数时时但不等于但不等于两实例归结为两实例归结为Axfxxx这两个这两个“趋于趋于”反映了反映了f(x)与与A和和x与与x0无限接近程度之无限接近程度之间的联系间的联系. ,)(,)(的距离可任意小的距离可任意小与与即即AxfAxf. )( ,来描述来描述用用这时引入任意小的正数这时引入任意小的正数 Axf , ,00的距离可任意小的距离可

3、任意小与与即即xxxx . ,0来描述来描述用用这时引入任意小的正数这时引入任意小的正数 xx, )( 成立成立都有都有并非对所有的并非对所有的 Axfx. )( 0成立成立时才有时才有而只有当而只有当 Axfxx, )( 0 xxAxf必须有必须有即要使即要使说明说明 随着随着 的指定而确定，有时也记为的指定而确定，有时也记为 ( ).第4页/共22页2.函数极限的精确定义函数极限的精确定义 定义定义)( 设设f(x)在在x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，A是一个确定的常数是一个确定的常数.,)(0, 0, 00成立成立时有时有当当若若 Axfxx记为记为的极限的极限时时是当是当则称则

4、称.)(0 xfxxAAxfxx )(lim0)()( 0时时当当或或xxAxf注意：注意： (1) 依赖于依赖于 ，但不是由，但不是由 唯一确定，唯一确定，.4,3,2等也可以等也可以则取则取可以可以如取如取 .)()2(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf第5页/共22页3.函数极限的几何解释函数极限的几何解释 ,)(00成立成立时有时有当当 Axfxxoxy)(xfy A A A0 x 0 x 0 x.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线图图形形完完全全落落在在以以直直线线函函数数邻邻域域时时的的去去心心在在当当 Ayxfyxx .,越

5、越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第6页/共22页 .用定义验证函数极限用定义验证函数极限二二步骤：步骤：(1)通过计算或估计得通过计算或估计得 )()(0 xxgAxf 0的简单函数式的简单函数式是是xx ) (10 xx制不等式制不等式有时要事先给出某个限有时要事先给出某个限,)( , 0)2( Axf要使要使,)(g 0 xx只要只要),( 0 xx解得解得 .),(min )( 1 或或取取.)(,0 0 Axfxx有有时时当当(3)得出结论得出结论.第7页/共22页ex1. 证明证明 . 5)12(lim2 xxProof.,22512)( xxAxf, 0 ,)( Axf

6、要使要使,22 x只要只要,22 x即即 ,2 取取.512 ,20 xx有有当当. 5)12(lim2 xx第8页/共22页ex2. 证明证明 . 424lim22 xxxProof.,2424)(2 xxxAxf, 0 ,)( Axf要使要使,2 x只要只要 , 取取.424 , 20 2 xxx则有则有时时当当. 424lim22 xxx尽管尽管f(x)在在x=2处没有意义，但函数当处没有意义，但函数当x2时极时极限存在与否与它无关限存在与否与它无关.第9页/共22页ex3.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明Proof.,0 xx .20 , 000 xxxxx 即即不妨设

7、不妨设000)(xxxxxxAxf , 0 ,)( Axf要使要使, 00 xxx只要只要, 00 xxx 即即 ,min 00 xx 取取. , 0 00 xxxx则有则有时时当当.lim00 xxxx ,00 xxx 第10页/共22页ex4. 证明证明 . 311lim31 xxxProof., 1x. 1 20 , 11 xxx但但得得不妨设不妨设122311)(23 xxxxxxAxf141)2( xxx, 0 ,)( Axf要使要使,14 x只要只要,41 x即即 ,1 ,4min 取取.311 , 10 3 xxx则有则有时时当当. 311lim31 xxx第11页/共22页ex

8、5. 证明证明 . 1coslim0 xxProof.,2422sin21cos)(222xxxxAxf , 0 ,)( Axf要使要使,2 2 x只要只要,20 x即即 ,2 取取.1cos , 00 xx则有则有时时当当. 1coslim0 xx第12页/共22页 .函数极限的性质函数极限的性质三三定理定理1（唯一性）（唯一性） .,)(lim0则极限唯一则极限唯一存在存在若若xfxx定理定理2（局部有界性）（局部有界性） , 00,)(lim0 和和则则存在存在若若Mxfxx ,0 :),( 00 xxxxUx对对于于一一切切 .)( Mxf 都有都有Proof. ,)(lim 0Axf

9、xx 设设 , 1 对于对于 , 1)( ,),(, 0 0 AxfxUx有有时时当当 AAxfxf )()( 故故MAAAxf 1)(第13页/共22页定理定理 3（局部保号性）（局部保号性） 0, ),0 (0 ,)(lim0 则则或或且且若若AAAxf xx ).0)( 0()( xfxf或或有有, ),( 0时时当当 xUx Proof. 就就 A0 的情形加以证明的情形加以证明.,)(lim0Axfxx , A 则取则取 .)( ,),( 0 AxfxUx有有时时当当,)( AxfA即即. 0)( xf. ,0AA 此时取此时取的情形的情形类似地可证类似地可证, 0 必必第14页/共

10、22页定理定理 4（局部保号性）（局部保号性） ,)(lim ),0)( (0)( ),(00AxfxfxfxUxx 且且或或内内若若在在 ).0 (0 AA或或则则定理定理 5（局部保序性）（局部保序性）. ),()( ),( 0, ,)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则当当若若设设 Proof. , BA 反反设设.2 AB 取取,)(lim0Axfxx ,2)( ,),( 0,101ABAxfxUx 有有时时当当 第15页/共22页.2)(23 BAxfBA 即即,)(lim0Bxgxx ,2)( ,),( 0,202ABBxgxUx 有有时时当当 .

11、23)(2 ABxgBA 即即 ,min 21 取取),g(2BA)( ,),( 0 xxfxUx 有有时时当当 与已知条件矛盾与已知条件矛盾.BA 第16页/共22页 .单侧极限单侧极限四四1. 描述定义描述定义 .)( 000限限时函数的极限称为左极时函数的极限称为左极趋于趋于的左侧的左侧从从xxxx )(lim)0( 00 xfxfxx 记记为为 .)( 000限限时函数的极限称为右极时函数的极限称为右极趋于趋于的右侧的右侧从从xxxx )(lim)0( 00 xfxfxx 记记为为2. 精确定义精确定义.)(.)( , 0 , 0 )1(000的的左左极极限限当当为为则则称称时时都都有

12、有当当若若xxxfAAxfxxx .)(.)( , 0 , 0 )2(000的的右右极极限限当当为为则则称称时时都都有有当当若若xxxfAAxfxxx 第17页/共22页注意：注意：(1)左右极限统称为单侧极限左右极限统称为单侧极限. (2)通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的 极限时碰到左右极限问题极限时碰到左右极限问题. (3)对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限. .)(lim)(lim)(lim)4(000AxfxfAxfxxxxxx 第18页/共22页 .证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法五五.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利用利用Solution.)(lim)00( 0 xffx )(lim)00( 0 xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,0 , 120 , 00 , 12)( . 60 xfxxxxxxfexx 求求设设, 1)12(lim0 xx, 1)12(lim0 xx第19页/共22页(2)利用极限存在的唯一性利