ch信号与噪声分析PPT课件

1、12.1 2.1 信号的分类2.2 2.2 确知信号的分析2.3 2.3 随机变量的统计特征2.4 2.4 随机过程的一般表述2.5 2.5 平稳随机过程2.6 2.6 高斯随机过程2.7 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 2.8 窄带高斯噪声第2 2章 信号与噪声分析第1页/共78页2 目的要求： 1掌握信号的分类及确知信号的分析； 2理解随机变量的统计特征； 3理解随机过程的一般表述； 4理解平稳过程的定义； 5掌握平稳过程的自相关函数和功率谱密度； 6掌握高斯随机过程的定义和性质； 7了解随机过程通过系统的分析； 8掌握窄带高斯噪声的统计特征。 重点：信号的分类及确知信号的分析、平

2、稳过程的自相关函数和功率谱密度、高斯随机过程的定义和性质、窄带高斯噪声的统计特征。 难点：平稳过程的自相关函数和功率谱密度。第2页/共78页3 确知信号与随机信号 周期信号与非周期信号 功率信号与能量信号功率信号:有无限大的能量，但其平均功率是有限的. .能量信号:平均功率（在整个时间轴上平均）等于 0，但其能量有限的信号信号的分类/22/2T1limf ( )TTPt dtT2( )Eft dt第3页/共78页4确知信号的分析第4页/共78页5第5页/共78页6第6页/共78页72、指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式 可得的指数表达式 式中 cos2jxjxeex0( )jntnnf tF

3、e（） 0/2/21( )TjntnTFf t edtT0, 1, 2.3,n 000Fca2njnncFe(称为复振幅)； *2njnnncFeF（是 nF的共轭）。 第7页/共78页8第8页/共78页9（a）非周期信号 （b）构造的周期信号图2-1 非周期信号第9页/共78页10第10页/共78页11第11页/共78页12第12页/共78页13第13页/共78页14第14页/共78页15第15页/共78页16第16页/共78页17第17页/共78页18第18页/共78页19第19页/共78页20第20页/共78页21第21页/共78页22第22页/共78页23 由以上两式可见，互相关函数反

4、映了一个信号与另一个延迟秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有2112( )()RR第23页/共78页24第24页/共78页25第25页/共78页26第26页/共78页27第27页/共78页28第28页/共78页29第29页/共78页302.3.1 2.3.1 随机变量 在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机变量。否则就称为连续随机变量。 随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述。2.

5、3 随机变量的统计特征 第30页/共78页31 概概率分布函率分布函数数和和概概率密度函率密度函数数 1 1、概率分布函数 定义随机变量X X的概率分布函数 是X X取值小于或等于某个数值 的概率 ，即 对于离散随机变量，其分布函数也可表示为 式中 ，是随机变量X X取值为 的概率。( )F xx()P Xx( )(1,2,3,)iP xi ix( )()F xP Xx （）( )()( )1,2,3,iixxF xP XxP xi （） 第31页/共78页32 2 2、概率密度函数 对于连续随机变量X X ，其分布函数 对于一个非负函数 有下式成立: :( )F x( )f x( )( )d

6、F xf xdx（） ( )( )xF xf u du（） 第32页/共78页33 可见，概率密度函数是分布函数的导数。 概率密度函数有如下性质： （1） （2） （3）( )0f x ( )1f x dx( )()baf x dxP aXb（） （） （） 第33页/共78页342.3.3 2.3.3 通信系统中几种典型的随机变量 1 1、均匀分布随机变量 设 ，则概率密度函数为 的随机变量X X称为服从均匀分布的随机变量。ab 1/()( )0baaxbf x其它（） n图2-2 均匀分布的概率密度函数 第34页/共78页35 2 2、高斯（GaussGauss）分布随机变量 概率密度函数

7、为 的随机变量X X称为服从高斯分布（也称正态分布）的随机变量，式中， a a为高斯随机变量的数学期望 ， 为方差。 高斯分布的概率密度函数的曲线如图2-32-3所示。2221()( )exp22xaf x（）图2-3 高斯分布的概率密度函数第35页/共78页36 3 3、瑞利（RayleighRayleigh）分布随机变量 概率密度函数为 的随机变量X X称为服从瑞利分布的随机变量，其中 ，是一个常数。其概率密度函数的曲线如图2-42-4所示。0222exp()0( )200 xxxf xx （） 图2-4 瑞利分布第36页/共78页37随机变量的数字特征 前面讨论的分布函数和概率密度函数，

8、能够较全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。第37页/共78页38 1 1、数学期望 数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X X的统计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。 对于离散随机变量X X，设 是其取值 的概率，则其数学期望定义为 对于连续随机变量X X，其数学期望定义为 式中， 为随机变量X X的概率密度。( )(1,2, )iP xikix( )f x1()( )kiii

9、E Xx P x（） ()( )E Xxf x dx（） 第38页/共78页39 2 2、方差 方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义为随机变量X X与其数学期望 之差的平方的数学期望。即()E X2()D XE XE X（） 第39页/共78页40随机过程的一般表述 2.4.1 2.4.1 随机过程的概念 前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一个随机变量，而是一个在时间上不断变

10、化的随机变量的集合。第40页/共78页41 随机过程: 随时间变化的无数个随机变量的集合。 基本特征： (1)是时间t的函数 (2)依赖时间参数的一族随机变量第41页/共78页42 由此从数学的角度，我们给出随机过程这样的定义：设 (k=1, 2, )是随机试验，每一次试验都有一个时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作 。简言之，无穷多个样本函数的总体 称为随机过程，如图2-5 所示。 kS( )ix t12( ),( ),.,( ),.nx t x tx t( ) tn图2-5 随机过程波形第42页/共78页432.4.2 2.4.2 随机过

11、程的统计特征 随机过程的统计特性是通过其概率分布函数或数字特征来表述的。 一、随机过程的分布函数和概率密度 设 表示一个随机过程，在任意给定的时刻 其取值 是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，我们称( ) t1t1( )t11111( , ) ( )F x tPtx（） 为随机过程 的一维分布函数( ) t第43页/共78页44 。如果 对 的偏导数存在，即有 则称 为 的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要在足够多的时间上

12、考虑随机过程的多维分布函数。111( , )F x t1x111( , )f x t( ) t11 111 11( , )( , )F x tf x tx（） 第44页/共78页45 任意给定 ，则 的n n维分布函数被定义为 如果存在 则称 为 的n n维概率密度函数。显然，n n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，引用二维概率密度函数即可解决问题。12, ,nt tt( ) t1212( ,.,; , ,.,)nnnfx xx t tt( ) t12121122( ,.,; , ,.,)( ( ), ( ),., ( )nnnnnF x xx

13、 t ttPtxtxtx（） 1212121212( ,.,; , ,.,)( ,.,; , ,.,)nnnnnnnnF x xx t ttfx xx t ttx xx （） 第45页/共78页46 二、随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, , 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1 1、数学期望（统计平均值） 随机过程 的数学期望定义为 并记为 。随机过程的数学期望是时间的函数。( ) t ( )( )Eta t1 ( )( , )Etxf x t dx（） 第4

14、6页/共78页47 2 2、方差 随机过程 的方差定义为 也常记为 。( ) t( )Dt2( ) t222221 ( ) ( ) ( )( ) ( )( , ) ( )DtEtEtEta tx f x t dxa t（） 第47页/共78页483 3、自协方差和自相关函数衡量同一随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用自协方差和自相关函数来表示。自协方差函数定义为式中， 与 是任取的两个时刻； 与 为在 及 时刻得到的数学期望； 为二维概率密度函数。121122121211222121212( , ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )(

15、 ,; , )B t tEta tta tEtta t a txa txa tfx x t t dx dx （）1t2t1( )a t2( )a t1t2t21212( ,; , )fx x t t第48页/共78页49 自相关函数定义为 若 ，并令 ，则 可表示为 可见，相关函数是 和的函数。 显然，由式（）和（）可得自协方差函数与自相关函数之间的关系式21tt21tt12( , )R t t11( ,)R t t1t1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )R t tEttx x fx x t t dx dx （） 121212( , )( , )( ) ( )B

16、 t tR t ta t a t（）第49页/共78页50第50页/共78页51第51页/共78页52各态历经性 一个平稳随机过程若按定义求其均值和自相关函数，则需要对其所有的实现计算统计平均值。实际上，这是做不到的。然而，若一个随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值可以由任一实现的时间平均值来代替。 顾名思义，各态历经性表示一个平稳随机过程的任一个实现能够经历此过程的所有状态。若一个平稳随机过程具有各态历经性，则它的统计平均值就等于其时间的平均值。也就是说，假设x(t)x(t)是平稳随机过程 的任意一个实现，若满足( ) t第52页/共78页53则称此随机过程为具有各态历经性的随机过程。可

17、见，具有各态历经性的随机过程的统计特性可以用时间平均来代替，对于这种随机过程无需（实际中也不可能）考察无限多个实现，而只考察一个实现就可获得随机过程的数字特征，因而可使计算大大简化。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性。221lim( )1( )lim( ) ()( )TTTTax t dtaTRx t x tdtRT （） 第53页/共78页54 2、 （） 3、 （） 4、 （） 5、 （） 由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要特征，因而上述性质有明显的实用价值。( )() ( )RRR是偶函数( )(0)R( )RR的上界2( )t) (t)RE （的直流

18、功率2(0)( )( )RRt 方差，的交流功率一、平稳随机过程自相关函数的性质设为一平稳随机过程,则其自相关函数有如下性质：1、2(0)( ) ( )REtSt的平均功率平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度第54页/共78页55 二、平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 由式（）可知，对于任意的确定功率信号f(t)f(t)其功率谱密度为 （） 式中， 是f(t)f(t)的截短函数 的频谱函数。f(t)f(t)和 的波形如图2-62-6所示。2( )( )limTfTFPT( )TF( )Tft( )Tftn图2-6 功率信号及其截短函数第55页/共78页5

19、6 对功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现的功率谱也可以由上式确定。但是，随机信号的每一个实现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度应看作每一可能实现的功率谱的统计平均。 设 的功率谱密度为 ， 的某一实现的截短函数为 ，且 ，于是有 （） ( ) t( )P( ) t( )Tt( )( )TTtF2( ) ( )( )limTfTE FPE PT第56页/共78页57 三、平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系（维纳辛钦定理） 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅里叶变换的关系( )( )RP1( )( )2( )( )jjRP

20、edPRed （）第57页/共78页58高斯随机过程 高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中普遍存在的随机过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，例如通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。 高斯过程的定义 若高斯过程 的任意n n维（n=1n=1，2 2，）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。( ) t（） 第58页/共78页59高斯过程的性质 1 1、若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的。 2 2、若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； 3 3、高斯过程的线性组合仍是高斯过程； 4 4

21、、高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。第59页/共78页602.6.3 2.6.3 一维高斯分布 一、一维概率密度函数 高斯过程的一维概率密度表示式为 式中，a a为高斯随机变量的数字期望； 为方差。f(x)f(x)的曲线如图2-72-7所示。2221()( )exp22xaf x （） 第60页/共78页61 图2-7 2-7 一维概率密度函数 1 1、 f(x)f(x)对称于x=ax=a的直线 。 2 2、 3 3、a a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)f(x)图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0a=0， 时，称f(x)f(x)为标准正态分布的密度函数。 aa

22、( )1f x dx1( )( )2aaf x dxf x dx1第61页/共78页62 二、正态分布函数 正态分布函数是概率密度函数的积分，即 （） 式中， 称为概率积分函数，其定义为 （） 式（）积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布。22221()( )exp221()exp()22xxzaF xdzzaxadz( ) x21( )exp22xzxdz第62页/共78页63 三、误差函数和互补误差函数 误差函数的定义式： （） 互补误差函数的定义式： （） 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下 （） （）202( )xzerf xedz22( )1( )zx

23、erfc xerf xedz ( )2 ( 2 ) 1erf xx( )22 ( 2 )erfc xx第63页/共78页64 引入误差函数和互补误差函数后，不难求得 （） 在后面分析通信系统的抗噪声性能时，常用到误差函数和互补误差函数来表示F(x)F(x)。其好处是：借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便查出不同值时误差函数的近似值（参见附录四），避免了式（）的复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性特别有助于通信系统的抗噪性能分析。11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa当时当时第64页/共78页65第65页/共78页66第66页/共78页672.6.4

24、2.6.4 高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 双边功率谱为 单边功率谱为 0( )()2nP 0( )(0)Pn 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。001( )( )222jnnRed 白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的白噪声的自相关函数第67页/共78页68 图2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数n如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪高斯白噪声。声。n应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际应当指出，我们所定义的这种

25、理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。把它视为白噪声。 第68页/共78页69窄带高斯噪声2.8.1 2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征一、窄带高斯噪声的概念设系统的带宽为f f，中心频率为fc，当时称该系统为窄带系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能集中在中心频率fc附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如所示。（a）原理框图第69页/共78页70 （b b）窄带噪声的功率谱 （c c）窄带噪声的波形 图2-11 2-11 窄带噪声的原理框图及波形第70页/共78页71 如果用示波器观察窄带噪声的波形，可以发现它是一个包络和相位都在缓慢变化、频率近似为的正弦波。因此，窄带高斯噪声可以用下式表示，即 式中，a(t)a(t)和 分别表示窄带高斯噪声的包络和相位，它们都是随机过程，