Chapt多元函数的极限与连续PPT学习教案

1、会计学1Chapt多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续一、邻域、点列的极限一、邻域、点列的极限 111222221212120000022000(,),)(,)()(, ),(, )( , ) ()M x yM x yr M MxxyyM x yMMO MO Mx yxxyy 平平面面上上任任何何两两点点和和 （之之间间的的距距离离 凡凡是是与与( ( , , ) )的的距距离离小小于于 的的那那些些点点 组组成成的的平平面面点点集集，叫叫做做的的 邻邻域域，记记为为即即。第1页/共14页 0000000000(,),.(,(, ),lim., nnnnnnnnnMxyMxyMO MNnN

2、MO MMMMMxyxyn 定定义义：设设如如果果对对的的任任何何一一个个邻邻域域）, ,存存在在当当时时，有有就就称称收收敛敛，并并且且收收敛敛于于，记记为为即即第2页/共14页 002200,0,().nnnnxyx yNnNxxyy 当当时时，有有性质性质 001,.(2) nnnnnxyx yxxyyM（ ）若若收收敛敛，则则它它的的极极限限为为一一。第3页/共14页 001.,.nnxyxy证证 （ ）“” 设设0NnN 则则，正正整整数数 ，当当时时，有有 2200,nnxxyy 00,nnxxyy更更有有00,.nnxxyy 00,.nnxxyyn “”。设设第4页/共14页0N

3、nN 则则， 正正整整数数 ，当当时时，有有00,22nnxxyy,nN 于于是是当当时时 有有 2200,nnxxyy 00,.nnxyxy第5页/共14页 (2),nnMM MM n 设设。0NnN 则则， 正正整整数数 ，当当时时，有有 ,.22nnr MMr MM ,nnnNr M Mr MMr MM 当当时时MM 这这表表明明。第6页/共14页二、开集、闭集、区二、开集、闭集、区域域内点内点:外点：外点：E设设 是是一一个个平平面面点点集集. .000.0,(,),.MEO MEME 设设如如果果存存在在使使得得就就称称是是 的的内内点点111.0,(, ),.MEO MEME 设设

4、如如果果存存在在使使得得就就称称是是 的的外外点点边界点：边界点：*2*2*.0,(, ),(, )(),.MRO MEO MREME 设设如如果果都都有有就就称称是是 的的边边界界点点第7页/共14页.EE的的边边界界点点全全体体叫叫做做的的边边界界例例1. 22, ) 14 .Ex yxy 设设（224xy221xyxy第8页/共14页 2222222222, ) 14 ;, )14, )13 .Ex yxyEx yxyxyEx yxyxy 则则 的的内内点点全全体体为为（的的外外点点全全体体为为（或或的的边边界界为为（ 或或例例2. 2,.Ex y xQyQEEER 设设且且则则 的的内

5、内点点全全体体为为的的外外点点全全体体为为的的边边界界为为第9页/共14页开集：开集：EEE如如果果 的的每每一一点点都都是是 的的内内点点，就就称称 是是开开集集. .例例3. 22( , )1.x y xy 是是开开集集聚点：聚点： 20000.0,(, )(),MRO MEMME 设设如如果果有有就就称称是是的的聚聚点点。性质：性质： 00nMEEMM设设是是 的的聚聚点点，则则在在 中中存存在在一一个个点点列列以以为为极极限限. .第10页/共14页闭集：闭集：EEE设设的的所所有有聚聚点点都都在在 内内，就就称称是是闭闭集集. .例例4. 22( , )1.x y xy 是是闭闭集集

6、区域：区域：12.EEMMEE设设 是是一一个个开开集集，并并且且 中中任任意意两两点点和和之之间间都都可可以以用用折折线线连连接接起起来来，且且折折线线都都在在 中中，就就称称是是区区域域 区区域域加加上上它它的的边边界界就就是是闭闭区区域域. .1M2M1M2M区域区域不是区域不是区域第11页/共14页有界有界：0,(0,),.DMDOMD 设设 是是一一集集合合，如如果果存存在在使使得得就就称称 是是有有界界的的三、平面点集的几个基本定理三、平面点集的几个基本定理矩形套定理：矩形套定理： 00000,0,0,1,2,nnnnnnnnnnnnaxb cydbadcMxyaxbcydn 设设是是矩矩形形序序列列其其中中每每一一个个矩矩形形都都含含在在前前一一个个矩矩形形中中，并并且且那那么么有有唯唯一一的的一一点点，使使得得第12页/共14页致密性定理：致密性定理： ,nnnMxy 如如果果序序列列有有界界，那那么么从从其其中中必必能能选选取取收收敛敛的的子子列列. .有限覆盖定理：有限覆盖定理： ,xy 若若 一一 开开 矩矩 形形 集集 合合覆覆 盖盖 一一有有 界界 闭闭 区区 域域 ， 那那 么么 从从里里 ， 必必 可可 选选 出出 有有 限限 个个 开开 矩矩 形形 ， 它