概率论高等数学习题解答

1、习 题 二（A）三、解答题 1一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X的分布律； (2) 写出X的分布函数 解: (1)X123456pi分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其他结果类似可得. (2) 2某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X表示某抽奖者

2、在一次抽取中净赢钱数，求X的分布律解：X-199pi注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然. 3设随机变量X的分布律为为常数，试求常数a 解：因为，所以. 4设随机变量X的分布律为X-123pi1/41/21/4 (1) 求X的分布函数； (2) 求， 解： (1) ， (2) 、 , . 5设随机变量的分布律为求： (1) PX = 偶数 (2) PX ³ 5 (3) PX = 3的倍数 解：(1) ， (2) ， (3) . 6. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某

3、一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率 (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率 解： (1) . (2) . 7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率 解：设射击的次数为X，由题意知,由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X近似服从泊松分布P(l)（其中l=400×0.02），所以PX³2，查表泊松分布函数表得：PX³2 8. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 解：设X为事件A在5次独立重复实验

4、中出现的次数，则指示灯发出信号的概率 . 9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从参数为5指数分布某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数写出Y的分布律，并求PY ³ 1 解：因为X服从参数为5的指数分布，则，,则. 10设随机变量的概率密度为，试求： (1) 系数a； (2) X落在区间内的概率 解：(1) 由归一性知：，所以. (2) . 11设连续随机变量的分布函数为试求： (1) 系数A；(2) X落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X的概率密度 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得，

5、即A=1.（2）. （3）X的概率密度. 12设随机变量X服从(0，5)上的均匀分布，求x的方程有实根的概率 解：因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以 若方程有实根，则，即，得或，所以有实根的概率为 13设XN(3，4) (1) 求 (2) 确定c使得 (3) 设d满足，问d至多为多少? 解: (1) 因为 所以 . (2) ，则， 经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) ，则，即，经查表知，故，即. 14设随机变量X服从正态分布，若，试求 解： 所以 ，；由对称性更容易解出. 15设随机变量X服从正态分布，试问：随着s的增大，概率P|X m | < s是如何变

6、化的？ 解：则 .上面结果与无关，即无论怎样改变，都不会改变； 16已知离散随机变量的分布律为X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30试求与的分布律解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律为 17设随机变量服从正态分布，求Y = eX的概率密度 解：因为X服从正态分布，所以，当时，则当时，所以Y的概率密度为； 18设XU(0，1)，试求Y = 1 X的概率密度 解 因为， 所以 19设XU(1，2)，试求的概率密度 解：，则当时，当时， 20设随机变量X的概率密度为试求下列随机变量的概率密度： (1) (2)

7、(3) 解: (1) 因为所以 (2) ，因为， 所以（3） 当时， 当时， 所以 ，因为，所以四、应用题 1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？ 解：设X为同时打电话的用户数，由题意知设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则，其中查表得k=5. 2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为，其中l 是与工艺、系统复杂性有关的因子若该系统中损坏的组件不超过一块，则

8、系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（l = 0.08）是多少？ 解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则， 5小时后系统不能正常工作，即，其概率为 3. 测量距离时，产生的随机误差X服从正态分布N(20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率； (2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率 解：因为，所以 设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则，(1) . (2) . 4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5

9、的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 解：当时，是不可能事件，知， 当时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知， 当时，为必然事件,知，因此，Y的分布函数为 ； 5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次 (1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？ (2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的） 解：(1) 挑选成功的概率；(2) 设10随机挑选成功的次数为

10、X，则该，设10随机挑选成功三次的概率为：，以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。（B） 1设随机变量的概率密度为若k使得，求k的取值范围 解：由概率密度可得分布函数，即，易知； 2设随机变量服从(-1，2)上的均匀分布，记，试求的分布律 解： X服从的均匀分布，又则，-11P所以Y的分布律为 3设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度 解：，； 4设X为连续型随机变量，其概率密度为fX(x)是偶函数，令Y = X，证明Y与X有相同的概率密度证明：因是偶函数，故，所以 5设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数求随机变量Y = F(X)的分布函数 解：随机变量X的分布函数为 ，显然， ，当时，是不可能事件，知，当时，当时，是必然事件，知，即 。 6设随机变量X的概率密度为试求下列随机变量的概率密度： (1) (2) (3) （1）当时，即时，当时，即y>1时，所以；（2）， 当时，为不可能事件，则， 当时，则， 当时，则，根据得 ；（3），当时，当时，所以 ； 7设随机变量X服从参数为1