等腰三角形存在性问题许凯杰专讲PPT课件

1、解题策略解题策略例题赏析例题赏析习题演练习题演练目录CONTENTS撒由那拉撒由那拉第1页/共58页几何法三部曲：几何法三部曲：先分类；先分类；再画图；再画图；后计算后计算代数法三部曲：代数法三部曲：先罗列三边；先罗列三边；再分类列方程；再分类列方程；后解方程、检验后解方程、检验第2页/共58页几何法与代数法相结合-又好又快几何法代数法确定目标准确定位第3页/共58页 2200 44 0122 0yaxaxc ayC,xABA,.xlPACFD,.lODF已知：如图，抛物线与 轴交于点，与 轴交于点 、 ，点 的坐标为求该抛物线的解析式；若平行 轴的动直线与该抛物线交于点 ，与直线交于点 ，点

2、 的坐标为问：是否存在这样的，使得是等腰三角形？第4页/共58页)4)(2(214212xxxxy).0 , 2(),4 , 0(),0 , 4(),0 , 2(DCAB 代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验第5页/共58页OD = OFDO = DFFO = FD第一步第一步 分分类类第6页/共58页第二步第二步 写点，列方程写点，列方程OD = OF，DO = DF，FO = FD ，2222( ,4),(0,0),(2,0).2,(4)(2)(4)F xxODODOFxxDFxx 点F不存在点F有两个：与A重合， F1(2,2) .点F2(1,3) .第7页/共58页3

3、) 1(2222xxxy. 3), 1 (),3 , 1 (),1, 1(mmBPA且若ABP是等腰三角形，求点B的坐标 几何法三部曲：先分类；再画图；后计算第8页/共58页第一步第一步 分类分类AB = APBA = BPPA = PB若ABP是等腰三角形，求点B的坐标 第9页/共58页AB = AP BA = BP PA = PB第二步第二步 画图画图第10页/共58页第三步第三步 计算计算具体情况具体分析具体情况具体分析 AB = AP. 3), 1 (),3 , 1 (),1, 1(mmBPA且点点B与点与点P关于直线关于直线y =1对称对称)5, 1 ( B第11页/共58页 PA

4、= PB. 3), 1 (),3 , 1 (),1, 1(mmBPA且524222PA)523 , 1 (B第三步第三步 计算计算具体情况具体分析具体情况具体分析第12页/共58页 BA = BP. 3), 1 (),3 , 1 (),1, 1(mmBPA且222) 3() 1(2mmBA2 = BP2)21, 1 (,21Bm 第三步第三步 计算计算具体情况具体分析具体情况具体分析第13页/共58页小结小结 用代数法解也很方便用代数法解也很方便盲解盲解代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验. 3), 1 (),3 , 1 (),1, 1(mmBPA且第一步第一步 罗列三边（的

5、平方）罗列三边（的平方）若ABP是等腰三角形，求点B的坐标 202AP22) 3( mBP222) 1(2mAB第14页/共58页小结小结 用代数法解也很方便用代数法解也很方便盲解盲解代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验第二步第二步 分类列方程分类列方程222) 1(2mAB202AP22) 3( mBPAB2 = AP2BA2 = BP2PA2 = PB220) 1(222 m222) 3() 1(2mm20) 3(2m第15页/共58页小结小结 用代数法解也很方便用代数法解也很方便盲解盲解代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验第三步第三步 解方程、检验解方

6、程、检验20) 1(222 m222) 3() 1(2mm20) 3(2m. 3), 1 (mmB且)5, 1 ( B)523 , 1 (B)21, 1 (B第16页/共58页当BDG是等腰三角形时，求AD的长 几何法三部曲：先分类；再画图；后计算6, 5BCACABBCADEFGDEFGBCDE正方形,/xADD,动点第17页/共58页几何法三部曲：先分类；再画图；后计算6, 5BCACABDEFGBCDE正方形,/xADD,动点热身运动寻找BDG中不变的元素BCADEFGQPBDG的大小不变第18页/共58页几何法三部曲：先分类；再画图；后计算6, 5BCACABDEFGBCDE正方形,/

7、xADD,动点热身运动用x表示BD、DGBCADEFGQPxBD 5xDPDEDG562第19页/共58页几何法三部曲：先分类；再画图；后计算热身运动简化图形，迁移数据BCADEFGQPx5x56GBD54cosD第20页/共58页x5x56GBD54cosD第一步第一步 分类分类BD = BGDB = DGGB = GD当BDG是等腰三角形时，求AD (x)的长几何法三部曲：先分类；再画图；后计算第21页/共58页几何法三部曲：先分类；再画图；后计算第二步第二步 画图画图BD = BG因B而Gx5x56BDGx5x56BDGNGB = GD因G而BDB = DG因B而Gx5x56BDGM第2

8、2页/共58页第三步第三步 计算计算具体问题具体分析具体问题具体分析BD = BG因B而G几何法三部曲：先分类；再画图；后计算xxD55354cosx5x56BDGM207x 第23页/共58页第三步第三步 计算计算具体问题具体分析具体问题具体分析x5x56BDGDB = DG因B而G几何法三部曲：先分类；再画图；后计算xx5652511x 第24页/共58页第三步第三步 计算计算具体问题具体分析具体问题具体分析x5x56BDGNGB = GD因G而B几何法三部曲：先分类；再画图；后计算xxD56)5(2154cos12573x 第25页/共58页点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点以P为

9、圆心，3为半径作 P 当k为何值时，以 P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 第26页/共58页当k为何值时，以 P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 这是特例！反例？这是特例！反例？三部曲失效了！三部曲失效了！几何法三部曲：先分类；再画图；后计算第27页/共58页点P在y轴的负半轴上以P为圆心，3为半径作 P P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形 第一步第一步 画图画图不求准确，但求思路不求准确，但求思路假设一个位置画P不理它先画PE再画PC、PD第28页/共58页A(4, 0)，B(0,8)点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点 P的半

10、径为3正三角形PCD 第二步第二步 罗列、标记已知量罗列、标记已知量理清思路理清思路PC=3求出PE求出sinB求出BP求出OP写出点P的坐标第29页/共58页点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点分类讨论思想思路 第三步第三步 丰富思想丰富思想完善思路完善思路P在B上，P在B下 .P与P关于B对称写出点P的坐标OPOBBP第30页/共58页小结小结数形结合、分类讨论数形结合、分类讨论233PE51sinABO21535PEBP21538BPOBOP21538BPOBOP第31页/共58页几何法三部曲：先分类；再画图；后计算几何法解答不了的反例！几何法解答不了的反例！点P是x轴的正半轴上的一

11、个动点PQAB，与y轴的正半轴交于Q若APQ是等腰三角形，求点P的坐标 无法画图第32页/共58页几何法解答不了的反例！几何法解答不了的反例！PQAB，与y轴的正半轴交于QOP2OQAOBQOP热身运动热身运动第33页/共58页第一步第一步 罗列三边（的平方）罗列三边（的平方）代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验).0 ,2(, 0),0 ,(aPaaQ那么设22(21)APaOP2OQ若APQ是等腰三角形122 aAQ225aPQ 第34页/共58页第二步第二步 分类列方程分类列方程代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验22(21)APa若APQ是等腰三角形

12、122 aAQ225aPQ AP = AQ PA = PQ QA = QP22(21)1aa22(21)5aa2251aa第35页/共58页第三步第三步 解方程、检验解方程、检验代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验AP = AQ PA = PQ QA = QP22(21)1aa22(21)5aa2251aa点P是x轴的正半轴上的一个动点，P(2a,0)1240,3aa 21a25a 第36页/共58页如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三

13、角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 第37页/共58页（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当

14、M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)第38页/共58页已知：把RtABC和RtDEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上BAC = DEF = 90，ABC = 45，BC = 9 cm，DE = 6 cm，EF = 8 cm如图乙，DEF从图甲的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从DEF的顶点F出发，以3 cm/s的速度沿FD向点D匀速移动当点P移动到点D时，P点停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）解答下列问题：（1）设三角形B

15、QE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？（） 图甲)图乙)第39页/共58页解答方法：本题虽然是直角三角形的运动，但是我们应该注意转换到点的运动上来，特别是点Q和点P的运动。第一问找到三角形BQE的面积需要的底和高BE、EQ，很显然BE可以用含t的代数式表示，在RtCEQ中，通过QCE的余切值可求出QE（用含t的代数式表示）；第二问中，DP、DQ用含t的代数式表示很简单，但是对于PQ来说不是很方便，所以可以在分类讨论中可以通过等腰三角形三线合一这一性质来解，在PD=PQ与QP=QD时可以作底边的高用D的余弦值来

16、求。 图甲)图乙)第40页/共58页第41页/共58页第42页/共58页解答方法：通过观察图像特点，我们能发现在BC所在的直线上有三个相等的角，于是我们可以利用这个基本图形找到相似三角形ABEECF，于是可以通过对应边成比例找到函数关系式，定义域需要注意主动点和被动点的位置条件；第二问可以看出AEF三条边不是很好求，所以可以考虑角度，AEF=B，我们发现在等腰梯形中，B的余弦值可以求出，所以AEF的余弦值也可以求出，然后分别分类讨论时我们可以通过等腰三角形三线合一及AEF的余弦值可以第一问中两个相似三角形的相似比，从而转换到AB：EC，于是可以求解BE的长第43页/共58页第44页/共58页第

17、45页/共58页ABCDERPHQ第46页/共58页第47页/共58页GEDCBAF 第48页/共58页GEDCBAF 第49页/共58页如图11，在ABC中，ACB=90，AC=BC=2，M是边AC的中点，CHBM于H. （1）试求sinMCH的值； （2）求证ABM=CAH； （3）若D是边AB上的点，且使AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为_.MABCDH（图11）第50页/共58页MABCDH（图11）第51页/共58页第52页/共58页如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB

18、的延长线于点D当APD是等腰三角形时，求m的值。（）图1 第53页/共58页第54页/共58页分享：-等边ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则APB _ ，：1.已知一条直线，并且给定另一条平行线到这条直线的距离，求另一条平行线。 已知一条直线和一个定点，求这个定点到直线的距离。 已知一条直线和一个定点，求过这个定点且垂直于这条直线的直线解析式。2.给定一个二次函数，一条直线与之交于两点A、B，在二次函数上求一个点C，使得ABC的面积最大，那么面积为定值呢。3.给定一个二次函数，若点Q抛物线上，且ACQ与BCQ面积相等，求点Q的坐标；若是成比例，例如两个三角形面积比为2:3，又该如何去做？xyOBCA第55页/共58