多元函数的极值与其求法

1、. . jz* 第十一讲二元函数的极值要求： 理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出 ：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题一二元函数的极值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00yxyx，如果总有),(),(00yxfyxf，那么称函数),(yxfz在点),(00yx处有极大值； 如果总有),(),(00yxfyxf，那么称函数),(yxfz在点),

2、(00yx有极小值函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点例 1函数xyz在点)0 ,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0 ,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点例 2函数2243yxz在点)0 ,0(处有极小值因为对任何),(yx有0)0,0(),(fyxf从几何上看，点)0, 0, 0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点，曲面在点)0 ,0 ,0(处有切平面0z，从而得到函数取得极值的必要条件定理 1必要条件设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数， 且在点),(00yx处有极值， 那么它在该点的偏导数必然

3、为零，即0),(00yxfx，0),(00yxfy几何解释假 设 函 数),(yxfz在 点),(00yx取 得 极 值0z， 那 么 函 数 所 表 示 的 曲 面 在 点),(000zyx处的切平面方程为)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx是平行于xoy坐标面的平面0zz. . jz* 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为0),(000zyxfx，0),(000zyxfy，0),(000zyxfz说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx，求得解),

4、(),(),(2211nnyxyxyx，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(yxfz的驻点注意 1驻点不一定是极值点，如xyz在)0 ,0(点怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理答复了这个问题定理 2充分条件设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx，0),(00yxfy，令ayxfxx),(00，byxfxy),(00，cyxfyy),(00，那么 1当02bac时，函数),(yxfz在点),(00yx取得极值，且当0a时，有极大值00(,)f xy，当0a时，有极小值00(,)f xy； 2当02bac时，函数),(yxf

5、z在点),(00yx没有极值； 3当02bac时，函数),(yxfz在点),(00yx可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论求函数),(yxfz极值的步骤 ：1解方程组0),(00yxfx，0),(00yxfy，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),(2211nnyxyxyx；2对于每一个驻点),(iiyx(1,2,)in，求出二阶偏导数的值cba,；3确定2bac的符号，按定理2 的结论判定),(iiyxf是否是极值，是极大值还是极小值；4考察函数),(yxf是否有导数不存在的点，假设有加以判别是否为极值点例 3考察22yxz是否有极值. . jz* 解因为22yxxxz，22y

6、xyyz在0,0 yx处导数不存在，但是对所有的)0,0(),(yx，均有0)0,0(),(fyxf，所以函数在)0, 0(点取得极大值注意 2极值点也不一定是驻点，假设对可导函数而言，怎样？例 4求函数xyxyxyxf933),(2233的极值解先解方程组063096322yyfxxfyx，求得驻点为)2,3(),0 , 3(),2, 1 (),0 ,1 (，再求出二阶偏导函数66xfxx，0 xyf，66yfyy在点)0, 1(处，0726122bac，又0a，所以函数在点)0 ,1 (处有极小值为5)0, 1(f；在点)2, 1(处，0722bac，所以)2, 1 (f不是极值；在点)0

7、 ,3(处，0722bac，所以)0, 3(f不是极值；在 点)2,3(处 ，0722bac， 又0a， 所 以 函 数 在 点)2, 3(处 有 极 大 值 为31)2, 3(f二函数的最大值与最小值求最值方法 ： 将函数),(yxf在区域d内的全部极值点求出； 求出),(yxf在d边界上的最值；即分别求一元函数1( ,( )f xx，2( ,( )f xx的最值； 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值实际问题求最值根据问题的性质，知道函数),(yxf的最值一定在区域d的内部取得，而函数在d内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(yxf在d上的最值例 4求把一

8、个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大解设yx,分别为前两个正数，第三个正数为yxa，问题为求函数)(yxaxyu在区域d：0 x，0y，ayx内的最大值. . jz* 因为)2()(yxayxyyxayxu，)2(xyaxyu，解方程组0202xyayxa，得3ax，3ay由实际问题可知，函数必在d内取得最大值，而在区域d内部只有唯一的驻点，那么函数必在该点处取得最大值，即把a分成三等份，乘积3)3(a最大另外还可得出，假设令yxaz，那么33)3()3(zyxaxyzu即33zyxxyz三个数的几何平均值不大于算术平均值三条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数22yxz的极值该问题就是

9、求函数在它定义域内的极值，前面求过在)0,0(取得极小值；假设求函数22yxz在条件1yx下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一局部1yx的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值 ，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值 如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出xy1，代 入22yxz中 ， 得122)1 (222xxxxz成 为 一 元 函 数 极 值 问 题 ， 令024xzx，得21x，求出极值为21)21,21( z但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直

10、接寻求条件极值的方法， 可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法利用一元函数取得极值的必要条件求函数),(yxfz在条件0),(yx下取得极值的必要条件. . jz* 假设函数),(yxfz在00(,)xy取得所求的极值，那么首先有00(,)0 xy假定在00(,)xy的某一邻域内函数),(yxfz与均有连续的一阶偏导数，且00(,)0yxy有隐函数存在定理可知，方程0),(yx确定一个单值可导且具有连续导数的函数( )yx，将其代入函数),(yxfz中，得到一个变量的函数( ,( )zf xx于是函数),(yxfz在00(,)xy取得所求的极值， 也就是相当于一元函

11、数( ,( )zf xx在0 xx取得极值由一元函数取得极值的必要条件知道000000(,)(,)0 xyxxxxdzdyfxyfxydxdx，而方程0),(yx所确定的隐函数的导数为00000(,)(,)xxxyxydydxxy将上式代入00000(,)(,)0 xyxxdyfxyfxydx中，得00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy，因此函数),(yxfz在条件0),(yx下取得极值的必要条件为0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0 xxyyxyfxyfxyxyxy为了计算方便起见，我们令0000(,)(,)yyfxyxy，那么上述必要条件变

12、为. . jz* 0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxyyfxyxyfxyxyxy，容易看出，上式中的前两式的左端正是函数),(),(),(yxyxfyxf的两个一阶偏导数在00(,)xy的值，其中是一个待定常数拉格朗日乘数法求函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能的极值点 构成辅助函数),(),(),(yxyxfyxf， 为常数 求函数f对x，对y的偏导数，并使之为零，解方程组0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx得, yx，其中yx,就是函数在条件0),(yx下的可能极值点的坐标；如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根

13、据实际问题本身的性质来判定拉格朗日乘数法推广求函数),(tzyxfu在条件( , , , )0 x y z t，( , , , )0 x y z t下的可能的极值点构成辅助函数12( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )f x y z tf x y z tx y z tx y z t其中21,为常数，求函数f对zyx,的偏导数，并使之为零，解方程组121212120000( , , , )0( , , , )0 xxxyyyzzztttffffx y z tx y z t得zyx,就是函数),(tzyxfu在条件( , , , )0 x y z t，( , ,

14、)0 x y z t下的极值点注意 ：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出, ,x y z之间的关系， 然后再将其代入到. . jz* 条件中，即可以求出可能的极值点例 6.求外表积为2a而体积为最大的长方体的体积解设长方体的三棱长分别为zyx,，那么问题是在条件0222),(2axzyzxyzyx下，求函数xyzv)0,0,0(zyx的最大值构成辅助函数)222(),(2axzyzxyxyzzyxf，求函数f对zyx,偏导数，使其为0，得到方程组02220)(20)(20)(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz)4()3()2()1(由)1()2(，得zyzxyx，由)2()3(，

15、 得zxyxzy，即有，()(),x yzy xz xy，()(),y xzz xyyz，可得zyx，将其代入方程02222axzyzxy中，得azyx66这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在外表积为2a的长方体中，以棱长为a66的正方体的体积为最大，最大体积为3366av例 7试在球面2224xyz上求出与点(3,1, 1)距离最近和最远的点解设( , , )mx y z为球面上任意一点，那么到点(3,1, 1)距离为222(3)(1)(1)dxyz但是，如果考虑2d，那么应与d有一样的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取2222( , , )(3)(1)(1)f x y zdxyz，. . jz* 又因为点( , , )m x y z在球面上，附加条件为222( , , )40 x y zxyz构成辅助函数( , , )f x y z222(3)(1)(1)xyz222(4)xyz求函数f对zyx,偏导数，使其为0，得到方程组2222(3)202(1)202(1)204xxyyzzxyz)4()