备考2022数学专题54 探究发现类创新型综合素养能力题（原卷版）

1、专题54 探究发现类创新型综合素养能力题探究题类型比较烦杂，以问题表现形式来分，大致可归类为开放型、新信息型、存在型等.一、开放型探究题 开放型探究题按题型结构分为条件开放型、结论开放型与策略开放型.此类探究题注重考查学生思维的严谨性和培养发散思维的能力. 二、新信息型探究题 进入新时代，新信息型探究题逐渐成为考查中的亮点，这类题目通常都会出现一些新的定义概念、规则、运算等，如何理解和运用题中提供的新信息是处理此类问题的关键.比如“等邻边四边形”、“智慧三角形”、“勾股分割点”等都属于新信息探究题. 三、存在型探究题 存在与否型探索问题历来都是考查的重点，几何与代数都有涉及.解决此类问题的一般

2、思路为假设结论成立或存在.结合已知条件，建立数学模型，仔细分析，层层推进，如果能获得相应的结论，则假设成立，如果出现矛盾则说明原假设并不成立. 探索结论的存在性问题，是综合探究题之一，是开放型试题的重点题型，是中考的热点，也是难点，更是亮点。若在选择题、填空题中出现，一般考查的难度属于中等难度，若在选择题或者填空题的最后一道小题出现，就属于压轴题。但根据全国各地中考试卷看，探索结论的存在性问题，都以压轴大题形式出现，这类试题只是覆盖面广，综合性强。解决问题基本思路是：首先假设研究的数学对象存在，然后从假设出发，结合题目条件进行计算推理论证，若所得结论正确合理，说明结论存在；若所得结论不合理，说

3、明结论不存在。解题时要注意的是：（1）明确这类问题的解题思路，即假设存在法；（2）要对各方面知识理解到位，能灵活应用知识进行分析、综合、概括和推理；（3）心中一定要装有重要的数学思想方法，比如建构方程的思想、数形结合的思想、转化思想等，在数学思想方法引领下，让解决问题具有方向性，避免盲目性。（4）作图要科学规范，便于解决问题为宜。【例题】（2020河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点d是bc上一动点，线段bc8cm，点a是线段bc的中点，过点c作cfbd，交da的延长线于点f当dcf为等腰三角形时，求线段bd的长度小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数

4、的经验研究此问题请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点d在bc上的不同位置，画出相应的图形，测量线段bd，cd，fd的长度，得到下表的几组对应值 bd/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0cd/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40fd/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：“当点d为bc的中点时，bd5.0cm”则上表中a的值是；“线段cf的长度无需测量即可得到”请简要说明理由（2）将线段bd的长度作为自变量x，cd和fd的长度都是x的函数，分别记为ycd和yfd，并在平面直角坐标系xoy中画出了函数yfd的图象，如图所示请在同

5、一坐标系中画出函数ycd的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当dcf为等腰三角形时，线段bd长度的近似值（结果保留一位小数）【对点练习】在rtabc中，abc=90°，ab=，ac=2，过点b作直线mac，将abc绕点c顺时针旋转得到abc（点a，b的对应点分别为a'，b），射线ca，cb分別交直线m于点p，q（1）如图1，当p与a重合时，求aca的度数；（2）如图2，设ab与bc的交点为m，当m为ab的中点时，求线段pq的长；（3）在旋转过程中，当点p，q分别在ca，cb的延长线上时，试探究四边形pa'bq的面积是否存在最小值若存

6、在，求出四边形pabq的最小面积；若不存在，请说明理由1（2020浙江宁波）问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2x30的解集他经历了如下思考过程：回顾（1）如图1，在平面直角坐标系xoy中，直线y1ax+b与双曲线y2交于a （1，3）和b（3，1），则不等式ax+b的解集是 探究将不等式x3+3x2x30按条件进行转化：当x0时，原不等式不成立；当x0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x1；当x0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x1（2）构造函数，画出图象：设y3x2+3x1，y4，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；双曲线y4如图2所示，请在此坐标系

7、中画出抛物线yx2+3x1（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3y4的所有x的值为 解决（4）借助图象，写出解集：结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2x30的解集为 2（2020湖北随州）一个问题解决往往经历发现猜想探索归纳问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.（发现猜想）（1）如图，已知aob70°，aod100°，oc为bod的角平分线，则aoc的度数为 ；. （探索归纳）（2）如图，aobm，aodn，oc为bod的角平分线. 猜想aoc的度数（用含m、n

8、的代数式表示），并说明理由.（问题解决）（3）如图，若aob20°，aoc90°，aod120°.若射线ob绕点o以每秒20°逆时针旋转，射线oc绕点o以每秒10°顺时针旋转，射线od绕点o每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线oa重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？3（2020江西）已知mpn的两边分别与o相切于点a，b，o的半径为r（1）如图1，点c在点a，b之间的优弧上，mpn80°，求acb的度数；（2）如图2，点c在圆上运动，当pc最大时，要使四边

9、形apbc为菱形，apb的度数应为多少？请说明理由；（3）若pc交o于点d，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）4（2020北京）在平面直角坐标系xoy中，o的半径为1，a，b为o外两点，ab1给出如下定义：平移线段ab，得到o的弦a'b'（a'，b分别为点a，b的对应点），线段aa'长度的最小值称为线段ab到o的“平移距离”（1）如图，平移线段ab得到o的长度为1的弦p1p2和p3p4，则这两条弦的位置关系是；在点p1，p2，p3，p4中，连接点a与点的线段的长度等于线段ab到o的“平移距离”；（2）若点a，b都在直线y=3x+23上，记线段

10、ab到o的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点a的坐标为（2，32），记线段ab到o的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围5（2020哈尔滨）已知：o是abc的外接圆，ad为o的直径，adbc，垂足为e，连接bo，延长bo交ac于点f（1）如图1，求证：bfc3cad；（2）如图2，过点d作dgbf交o于点g，点h为dg的中点，连接oh，求证：beoh；（3）如图3，在（2）的条件下，连接cg，若dgde，aof的面积为925，求线段cg的长6（2020成都）如图，在abc的边bc上取一点o，以o为圆心，oc为半径画o，o与边ab相切于点d，acad，连接oa交o于点e，连接c

11、e，并延长交线段ab于点f（1）求证：ac是o的切线；（2）若ab10，tanb=43，求o的半径；（3）若f是ab的中点，试探究bd+ce与af的数量关系并说明理由7（2020攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线mn的距离皆为100cm王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线mn互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高

12、为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？8（2020陕西）问题提出（1）如图1，在rtabc中，acb90°，acbc，acb的平分线交ab于点d过点d分别作deac，dfbc垂足分别为e，f，则图1中与线段ce相等的线段是 问题探究（2）如图2，ab是半圆o的直径，ab8p是ab上一点，且pb=2pa，连接ap，bpapb的平分线交ab于点c，过点c分别作ceap，c

13、fbp，垂足分别为e，f，求线段cf的长问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知o的直径ab70m，点c在o上，且cacbp为ab上一点，连接cp并延长，交o于点d连接ad，bd过点p分别作pead，pfbd，重足分别为e，f按设计要求，四边形pedf内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设ap的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）求y与x之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当ap的长度为30m时，整体布局比较合理试求当ap30m时室内活动区（四边形pedf）的面积9.(2020浙江舟山)比较x2+1与2x的大小（1）尝试（用“”，“”或“”填空）：当x1时，x2+1 2x；当x0时，x2+1 2x；当x2时，x2+1 2x（2）归纳：若x取任意实数，