不等式证明方法五PPT课件

1、不等式证明方法(五) 判别式法、构造法、逆代法一、判别法 通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证。.320,:,2,:12222azyxazyxazyxRzyx且不大于均不小于求证且已知例044)(44:2)(:2222222aazzyazyazyxzyax整理得代入将证0)44(16)(44,2222aazzazacbRyazzaz3200322ayax320,320:同理可证. 153:,)(01) 1() 1()2(; 31131) 1 (2222aRaxaxaxxxxx求证对任意实数恒成立的不等式已知关于下列各题练习利用判别式法证明

2、二、逆代法 “逆代”的技巧常在“条件不等式”中被引用。2)(:, 1, 0, 0:2bayxybxabayx求证是正常数且满足已知例)()(11:yxybxayxyxybxa证明bybxxayayybxybyxaxxa是正常数bayx, 0, 0bybxxayabybxxaya2baba22)(ba 时取等号即当且仅当abxyybxxay练习:. 9) 11)(11(, 9)11)(11 (:, 1, 0, 0) 1 (22yxyxyxyx求证已知64)11)(11)(11 (9111; 8) 11)(11)(11(;8)1)(1)(1 (:, 1, 0, 0, 0)2(cbacbacbaab

3、ccbacbacba求证已知22311:, 12, 0, 0) 3(yxyxyx求证已知324cos3sin1:)4(22xx求证略解:时取等号即当且仅当2222323)11)(2()11(111) 3(yxxyyxxyyxyxyxyxyx时取等号即当且仅当4222222222222222231sincoscossin3324sincoscossin34)cos3sin1)(cos(sin)cos3sin1(1cos3sin1)4(tgxxxxxxxxxxxxxxxxx时取等号即以上各式当且仅当219)2)(2()2()2() 1)(1)(1)(1() 11)(11)(11)(11() 11)

4、(11(9)(25)2)(2()1)(1 ()11)(11 () 1 (22yxxyyxyxxyyxyxxyxyyyxyyxxyxxyxyyxxyxyxxyyxxyyyxxyxyx略解略解时取等号以上当且仅当乘即可证明每个正的不等式同向相利用展开即可证明仿上即可证明314222111)111)()111(11118222)()()1)(1)(1 ()2(cbaabcabcacbacbaacbacbacbacbaabcabacbcbacacbcba 三、构造法 通过均构造函数、方程、数列、复数（向量）、图形或不等式来证明不等式。此类问题通常是把一个实际问题或数学问题通过构造法转变成另一个易于解决

5、的数学问题。（1）构造函数，所谓“构造函数”，即构造一个单调函数，来完成不等式的证明。例3、25111:, 0 xxxxx求证已知2. 21)0( ,1)(:设则构造函数证明xxxxxxf)11()()1()1()()( ff由0) 1)(25)2()1(,2)(fxxfxxf于是左边上是增函数在知.11:,),2(1042kbbaaNkkka求证且若例分析：本题中涉及a、b、k三个字母，数量关系比较分散，注意到,2aab若把右边看成是关于a的二次函数，则根据a的取值范围)1, 0(k，判断函数在此区间上的单调性即可。41)21(,:22aaab由已知证明上是增函数在则设)21, 0()(,4

6、1)21()(22afaaaaf,2110ka).1()(kfafkkaab1122即11122kkkkb11kb(2)构造方程。所谓“构造方程”，即先设法构造一个实数解的一元二次方程（恒等变形构造方程，或利用韦达定理构造方程），再利用判别式大于等于0来完成证明。例5、已知实数a,b,c满足a+b+c=0和abc=2,求证：a,b,c中至少有一个不小于2证明：由题设，显然a,b,c中必有一个是正数，不妨设a0，则abcacb2这说明b,c是二次方程022aaxx的两个实数根，2, 8, 08, 032aaaa即得由2| , 2|4|4|2)2(4|4|2, 2| , 2|) 1 (:,062则

7、且如果且则如果求证有两个实根的实系数二次方程已知关于例bbbbbaxxx2|2|) 1 (:证法一2222且且构造不等式组:(*)0)2)(2(0)2)(2()4()(24)(242由韦达定理,知 2|a|4+b.显然, 4|b(2) 只需在(*)处注意到4|b则以上过程可逆,命题得证. 04,:2ba则实根由题设二次方程有两个证法二)(21),(21aa不妨设2 , 2)(214, 2, 2) 1 (ab且aa40,40222281648164,aabaaaba得平方)4(48)4(4babba424,42)2(bba4)4(21ba04a)42(4422aaba22)4(168aaa)04

8、(4aa44aa222, 24,) 1 ( :b得由韦达定理证法三0)2(, 2, 2,0)(,)(2fxfbaxxxf得且有两根由设024024babababa42)4(2ba42(2) 由2|a|4+b, 0)2(f得由此可知f(x)=0 的两根,或在区间(-2,2)内,或在区间(-2,2)之外,4|)2 , 2(,矛盾之外则与在区间若b2, 2,)2 , 2(,即内在因此 本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明方面的知识,考查了逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.三种方法的侧重点不同,证法一和三是构造法.证法一是构造不等式,证法三是构造二次函数,利用二次函

9、数在区间端点处的符号确定相应的二次方程根据的位置.证法二是综合法,重点是代数式变形,从根的判别式、求根公式出发，利用不等式性质证明。341:,:2233babababa求证为不等的正数且已知练习,:22bababa由题设证明(*)0)()(2abbaba041,(*)abba则的二次方程看作是关于把方程) 1 (12411abba得代入(*),)2(2baab0)2()()(22bababa)2(340)()(432bababa341)2)(1 (ba可得由（3）构造图形。先构造一个平面几何图形，再利用“平面几何”或“平面解析几何”的知识来证明不等式，这便是“构造图形”的要旨。22) 1() 1() 1() 1(:, 10 , 10, 722222222bababababa求证已知例略证：构造单位正方形ABCD如图，O是ABCD内一点，O到AD、AB的距离分别为a,b。则由即可得证,BDACDOCOBOAOOABCDSQPR1-bba1-ab1-ba1-azxxzyzzyxyyxzyxbabfafbaxxf2222222, 0,)2(| )()(|, 0,1)() 1 (:则若则记试构造几何图形证明练习（1）构造矩形ABCD，E，F分别在AB，CD上，使|AB