§35函数的极值与最大值最小值PPT课件

1、3.5 函数的极值与最大值函数的极值与最大值 最小值最小值 燕列雅燕列雅 权豫西权豫西 王兰芳王兰芳 李琪李琪 第第3章章 .)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxx

2、xxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.3) 函数的最值是函数的函数的最值是函数的全局性质全局性质.2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在驻点或导数驻点或导数 不存在的点不存在的点. 函数极值的判定法函数极值的判定法由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点由费马引理可知可导函

3、数的极值点一定是驻点. 定理定理 1 (取得极值的充分条件取得极值的充分条件),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(证明略证明略)例如例如,2,(,)yxx 3,(,)yxx 而而容易验证容易验证x=0是是的极小的极小值点值点.x=0不不是是的极值点的极值点.例例3 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 .解解 1) 求导数求导数23( )fxx132(1)3xx32553xx2) 求

4、极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得得12;5x 令令,)( xf得得02x3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点，是极大值点，极大值为极大值为0)0(f是极小值点，是极小值点， 极小值为极小值为52x33. 0)(52f定理定理2(2(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0

5、x处取得极大值处取得极大值 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ;(2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有时，时，当当0 x时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有异号，异号，与与故故xxfxx

6、f )()(00时，时，当当0 x时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有xxfxxfxfx )()(lim)(0000异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有)()(00 xfxxf 有有思考与练习思考与练习 1 ,0上上,0)( xf则则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0()

7、1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 单调增加单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及及B设在设在则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf若函数若函数f( (x) )在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续，上连续，利用导数求函数的最值

8、是导数的又一利用导数求函数的最值是导数的又一重要重要应用应用. .特别特别: 当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时,)(xf,ba 当当 在在 上上单调单调时时,)(xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到.此点取极大此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出判别求出的的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值点或最小值点值点或最小值点 .(小小)若在若在最大利润问题最大利润问题某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.瓶子的制造成本是瓶子的制造成本是

9、20.8 r1) 瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？半径，单位是厘米半径，单位是厘米. .（分），（分），2) 瓶子半径多大时，每瓶酒的获利最小？瓶子半径多大时，每瓶酒的获利最小？ 商人可获利商人可获利0.2分，分，6厘米，问厘米，问其中其中r是瓶是瓶子的子的假设每售出假设每售出1 1立方厘米的酒，立方厘米的酒，他能制作的瓶子最大半径为他能制作的瓶子最大半径为解解 瓶子半径为瓶子半径为r，每瓶酒能获利为，每瓶酒能获利为 238 . 02 . 034)(rrrp238 . 038 . 0rr2338 . 0rr60 r0)2(8 . 0)(2rrrp当当0r2时，时， 0)( rp；2r6时，时，0)( rp由由得得r=2. 故故r=2是的一个极小值点，所以也是是的一个极小值点，所以也是最小值点最小值点；r=6时，时，p(r)可达到可达到最大值最大值.但但p(2)0，说明半径小于或等于，说明半径小于或等于2厘米的瓶装厘米的瓶装酒，酒所获得的利润抵不上瓶子的成本酒，酒所获得的利润抵不上瓶子的成本.又由又由p(3)=0知，当瓶子的半径达知，当瓶子的半径达3cm时，酒的时，酒的盈利与瓶子的成本恰好一样盈利与瓶子的成本恰好一样. 制造商的盈利越多制造