高等数学-第七版-课件-9-6 隐函数求导公式

1、第六讲 隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数概念隐函数概念)(xfy 显函数显函数0),(yxFyx 隐函数隐函数隐函数的显化隐函数的显化0),(zyxFzyx),( (二元二元) )隐函数隐函数研究问题研究问题在什么条件下在什么条件下, ,方程能够确定隐函数方程能够确定隐函数. .方程确定的隐函数方程确定的隐函数有什么性质有什么性质连续性连续性? ?可导性可导性? ? 对方程确定的隐函数对方程确定的隐函数如何

2、求导如何求导. .隐函数组概念隐函数组概念),(),(yxvvyxuu( (显显) )函数组函数组研究问题研究问题在什么条件下在什么条件下, ,方程组能够确定隐函数组方程组能够确定隐函数组. .方程组确定的隐函数组方程组确定的隐函数组有什么性质有什么性质连续性连续性? ?可导性可导性? ? 对方程组确定的隐函数组对方程组确定的隐函数组如何求导如何求导. .0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(vuyx隐函数组隐函数组隐函数组的显化隐函数组的显化隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二

3、、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形;0),(00yxF则方程则方程F( (x, ,y)=0)=0在点在点x0 0的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个函数可唯一确定一个函数y=f(x)(00 xfy yxFFxydd隐函数求导公式隐函数求导公式 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;设函数设函数),(00yxP),(yxF在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足: :0),(00yxFy定理定理1 1y=f(x)具有如下性质具有如下性质: 在在x0的上述邻域内连续的上述邻域内连续在在x0的上述邻域内连续可导的上述邻域内连续可导,且有且有推导推导Fxyx复合关系图复合关系图l

4、注注Fx和和Fy分别表示分别表示F对对x和对和对y 求偏导求偏导分子和分母不要颠倒分子和分母不要颠倒不要丢掉负号不要丢掉负号yxFFxydd在在中中验证方程验证方程01esinyxyx在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个可导隐函数可导隐函数, )(xfy .0dd,0dd22xxyxxy并求并求u例例1 1;0),(000zyxF则方程则方程F( (x, ,y,z)=0)=0在点在点( (x0 0, ,y0 0) )的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个函数可唯一确定一个函数z=f(x,y), z=f(x,y)具有如下性质具有如下性质:; ),(000yxfz .,zyzxFFyzF

5、Fxz隐函数求导公式隐函数求导公式 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;设函数设函数),(000zyxP),(zyxF在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足: :, 0),(000zyxFz定理定理2 2 在在(x0,y0)的上述邻域内连续；的上述邻域内连续；在在(x0,y0)的上述邻域内连续可导的上述邻域内连续可导,且有且有推导推导复合关系图复合关系图l注注Fx和和Fz分别表示分别表示F对对x和对和对z 求偏导求偏导分子和分母不要颠倒分子和分母不要颠倒不要丢掉负号不要丢掉负号zxFFxz在在中中u例例2 2Fxyzyx设设求求, 04222zzyx.22xzu例例3 3设设( , )u

6、v 具有连续偏导数具有连续偏导数,证明由方程证明由方程(,)0cx az cy bz 所确定的函数所确定的函数( , )zf x y 满足满足.zzabcxy 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、引言二、一个方程确定的隐函数的情形三、方程组确定的隐函数组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为称

7、为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏导数导数;),(0000vuyxP 在点在点设函数设函数),(, ),(vuyxGvuyxF满足满足: :,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG则方程组则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的的连续函数连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式 : :的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件, )

8、,(000yxuu ),(000yxvv 定理定理3 3,),(),(1vxGFJxu,),(),(1vyGFJyu,),(),(1xuGFJxv.),(),(1yuGFJyv0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边对两边对 x 求导求导0),(0),(vuyxGvuyxF,),(),(yxvvyxuu若在点若在点P 的某邻域内系数行列式的某邻域内系数行列式J0 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解方程组即得结论解方程组即得结论推导推导隐函数组隐函数组视视u,v为为x,y的函数的函数Fxyuvxy复合关系图复合关系图u例例4 4其中其中f,g具有

9、一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,设设2(,)(,)uf ux vyvg u x v y ,.uvxy 求求解题思路解题思路确定因变量个数与自变量个数确定因变量个数与自变量个数.明确变量个数与方程个数明确变量个数与方程个数确定因变量个数确定因变量个数方程个数方程个数确定自变量个数确定自变量个数变量个数变量个数方程个数方程个数(1)(2) 明确因变量与自变量明确因变量与自变量.题目要求题目要求(3) 方程两边求偏导方程两边求偏导.2) 求求),(, ),(yxvvyxuu对对 x , y 的偏导数的偏导数.1) 证明函数组证明函数组),(),(vuyyvuxx的某一邻域内的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu在与点在与点 (u, v) 对应的点对应的点( x, y) 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数