全等三角形之截长补短法之欧阳科创编

1、欧阳科创编2021.02.05欧阳科创编2021.02.05例题1创作：欧阳科时间：2021.02.05如图所示，在RtAABC中，乙090。，BC二AC, AD平分乙BAC 交 BC 于 D,求证:AB二AC+CD .考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：利用已知条件，求得ZB二乙E,乙2二乙1, AD=AD, 得出 ABD 0 AED ( AAS ),二 AE=AB .- AE二AC+CE二AC十CD,二AB二AC十CD .I /解答：f证法一：如答图所示，延长AC,到E使CE二CD,连接 DE T 乙ACB二90。，AC二BC, CE二CD,二乙 B二乙CAB二45。，乙E二乙

2、CDE二45。，a 二乙E tAD 平分 ABAC, a A1=A2在厶ABD和厶AED中，乙B二乙E,乙2二Al, AD=AD, .* AABDAAED (AAS) . /-AE=AB . v AE二AC十CE二AC十CD,二AB二AC十CD 证法二：女口答图所 示，在AB上截取AE=AC,连接DE, tAD平分ABAC,AZ1=A2 .在 ACD 和厶AED 中，AC二AE, 乙 1 二乙2, AD=AD, /. AACDAAED (SAS).乙AED二乙 C 二90, CD=ED,又 tAC 二 BC, a ZB=45° . a AEDB=AB=45 ° . DE=B

3、E ,二 CD=BE . v AB二AE+BE ,AB=AC+CD .点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的 条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得 三角形各边之间的关系例题21-2<DA图，AD是AABC中BC边上的中线，求证(AB+AC).考点.全等三角形的判定与性质；三角形三边关系.专题计算题 分析：可延长AD到E,使AD二DE,连BE,则厶ACDAEBD得BE=AC,进而在AABE中利用三角形三边关系，证解答C证明：如图延长AD至E,使AD=DE,连接 BE . TBD二DC, AD=DE, AADC=AEDBa AACD EBD.AC 二 BE 在 A

4、ABE 中，AE<AB+BE,即 2AD <AB+AC /.AD< ! （AB十AC） 点评本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形 的三边关系问题，能够熟练掌握 在AABC中，乙ACB=90°, AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于D, BE丄MN于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE二AD+BE ；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、 怎样的等量关系？请直接写出这个等量关AD、BE具有NBB考点旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题:证明题 分析:(1)由已知AC二BC, AADC二乙CEB二90

5、。，利用互 余关系可证乙DAC二乙ECB,可证ACD0ACBE,得AD二CE, CD二BE,故 AD+BE二CE+CD二DE ； (2)此时，仍 有厶ACDACBE, AD二CE, CD=BE,利用线段的和差关系 得 DE=AD-BE .解答:证明：(1) VZDAC+ 乙ACD二90。，AACD+AECB二90。，:丄DAC二乙ECB,又tAC二BC,乙ADC二乙CEB二90。，/. AACDACBE, aAD=CE, CD=BE, /DE二CE+CD二AD十BE ； (2) DE=BE-AD 仿照 可证ACDACBE, .AD=CE, CD=BE, .* DE=CD-CE=BE-AD .点

6、评:本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件， 关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进 如图，点P在AAOB的内部，点M、N分别是点P关于直 线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F,若 PEF的周长是20cm,则线段MN的长是20cm .考点轴对称的性质分析:根据轴对称的性质可知:EP二EM, PF二FN,所以线 段MN的长二APEF的周长.欧阳科创编2021.02.05解答:解：根据题意，EP=EM, PF二FN, MN二ME+EF十FN二PE+EF十PF二 APEF 的周长，二 MN=20cm .点评:主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到 两个对应点之间的距

7、离相等(1)如图所示，已知AABC中，乙ABC、AACB的平分线 相交于点 O 试说明 A BOC=90°+$fracl2$ A A ； (2) 如图所示，在AABC中，BD、CD分别是乙ABC、ZACB的 外角平分线试说明AD=90°-$fracl2$乙A ； (3)如图 所示，已知BD为AABC的角平分线，CD为AABC外角乙 ACE的平分线，且与BD交于点D,试说明ZA二2乙 D .考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角 和定理分析： 根据三角形角平分线的性质可得，乙BOC十乙 OCB=90°-$fracl2$乙A,根据三角形内角和定理可得乙 B

8、OC=90°+$fracl2$ZA ； (2)根据三角形外角平分线 的性质可得ABCD=$fraclX2$ (乙A十乙ABC)、乙欧阳科创编2021.02.05DBC=$fracl2$ （乙A+ZACB）；根据三角形内角和定理 可得乙BDC=90°-$fracl2$AA ；（3）根据 BD 为 AABC的角平分线，CD为AABC外角AACE的平分线，可知，乙 A=180°-Z1-A3, AD=180°-A4=A5=180°-Z3 $fracl2$ （乙A+2乙1）,两式联立可得2/D二乙A . 解答：無'在AABC中，OB、OC分别是乙

9、ABC、 AACB的平分线，乙A为x°.-. ZBOC+A OCB=$fracl2$ （180°-AA） =$fracl2$x （180°-x°） =90°-$fracl2$AA故乙BOC二 180。（90°-$fracl2$A A） =90°+$fracl2$AA ； （2） v BDSABC 两外角乙DBC、A BCE的平分线乙A为x° a A BCD=$fracl2$ （乙A十乙ABC）、/_DBC=$fracl2$ （乙A十乙ACB）由三角形内角和定理得， ABDC=180°-ABCD-ZDBC=

10、180°-$fracl2$AA+ （Z A+AABC十乙ACB） =180°-$fracl2$ （乙A+180。）=90° $fracl2$乙A； （3）如图:vBD为AABC的角平分 线，CD为AABC外角乙ACE的平分线/ Al=乙2,乙 5=$fracl2$（ZA+2A1）,乙3二乙4,在AABE 中，A A=180°-Al-A3-在 ACDE 中，AD=180°-乙 4-乙 5二 180。乙3-$fraclX2$ （乙A+2Z1）,即 2AD=360°-2A3-ZA-2ZA，把代入得2乙D二乙点评:此类题目比较简单，考查的是三

11、角形内角与外角的 关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段 的常规题如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一 个货物中转站要求它到三条公路的距离相等，则可供选 择的地址有处考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系专翅应用题分莎依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个 在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择 的地址解答:解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部故填4 点评:本题涉及圆的相关知识，难度中等.如图甲所示，在AABC中，AB二AC,在底边BC上有任意一 点P,则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+

12、PE二CF,若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证欧阳科创编2021.02.05考点等腰三角形的性质；三角形的面积专题:证明题分莎猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD二PE十CF .根据 T Sapab= 号ABPD ,Sapac= 号ACPE, Sacab=号ABCF, Sapac= 号abpe, !ab*pd= !ab-cf+ !ab-pe,即可求证.B>A1-2-cPAs解答:猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD二PE十CF .证 明：连接 AP,则 Sapac+Sacab=Sapab, *" Sapab= 2

13、AB*PD, Sa pac= 3AOPE, Sacab= 2ABeCF,又 t AB二AC,PE, 丄ABPD二舟ABCF十舟ABPE,即号AB (PE+CF)二号ABPD, a PD=PE+PF .点z字本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难 度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为 PD二PE+CF再证明.女口图，AABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长 BC到E使CE二CD,试判断ABDE的形状.考点:等腰三角形的判定；等边三角形的性质分析:因为AABC是等边三角形，所以乙ABC二乙ACB二60。，BD是AC边上的中线，则乙DBC二30。，再由题 中条件求出AE=

14、30°,即可判断ABDE的形状.懈答证明：ABC是等边三角形.-AABC=AACB=60°丁 AD二CD° ADBC=1-2乙ABC二30。TCE二CD.乙CDE=AEv乙 ACB二乙CDE+ 乙 E 乙 E=30° 二 /_ DBE= /_E 二 BD=DE 二BDE是等腰三角形.点评:本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形 的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结 合求解考查了学生综合运用数学知识的能力，得到乙 E二30。是正确解答本题的关键（2007-吉林）某家电商场经销A, B, C三种品牌的彩电， 五月份共获利48 000元已知

15、A种品牌彩电每台可获利 100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每 台可获利360元.请你根据相关信息，补全彩电销售台数 的条形图和所获利润的百分数的扇形台数各品牌彩电销售台数含品牌彩电所获利润的百分数 卜Q A水 Q 品牌图.图图考点/扇形统计图；条形统计图专题:图表型分析:根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获 利，进而求出B型彩电的数目；接着可求出C型彩电的获 利和台数；利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所 获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获 利润的百分数的扇形图即可解答：鶴根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品 牌彩电获利占3096,即获

16、利48000x30%=14400元，故B种 品牌彩电的台数为14400-144=100台，则C种品牌彩的台 数为(48000-120x100-14400) -360=60 台；据此可补全(120+100+60)二280台，其中A种品牌彩电120台，占 获利的25也B种品牌彩100台占获利的30也C种品牌彩 电60台，占获利的45%,据此可补全扇形答品牌彩电所获利润的百分数（6分）说明：条形图中每画对1图个条形图得（2分）扇形图中每填对1个扇形得（1分）扇形图中若标成表示A, C计算的百分数正确，填图不正确，扣（1） 如另画扇形图正确也得分点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统

17、计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解 决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数 据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1,能直接 反映部分占总体的百分比大小.如图所示，已知EA丄AB于点A, CD丄DF于点D, ABCD,请判断EA与DF的位置关系，并说明理由.考点:平行线的判定；垂线；平行线的性质 专题/探究型分析：首先由ABCD,根据两直线平行，内错角相等，得到乙BAD二乙ADC,再根据垂直的定义得到乙EAB二乙CDF二90。，贝IJ A EAB+ A BAD= A CDF+ A ADC,即乙 EAD二乙 ADF,满足关于EADF的条件：内错角相等，两直线平 行.解答：除:

18、EADF .理由女口下：tEA丄AB于点A, CD丄 DF 于点 D （已知），a AEAB=90°, ZCDF=90° （垂直定 义） tABCD （已知），:丄BAD二乙ADC （两直线平 行，内错角相等）， ZEAB十乙BAD二乙CDF十乙ADC,即 AEAD二乙ADF, .EADF （内错角相等，两直线平行）. 点评:本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及平行线 的判定定理（2002-河南）如图，ABCD,直线EF分别交AB、CD于 E、F, EG 平分 ABEF,若乙 1=72°,则乙2二54度考点平行线的性质；角平分线的定义专题计算题分析:两直线平行，

19、同旁内角互补，可求出A FEB,再根据 角平分线的性质，可得到A BEG,然后用两直线平行，内错 角相等求出乙2 解答您:ABCD, / ABEF=180°-Al=180°-72° = 108°,乙2二乙BEG,又 tEG 平分乙BEF, / ZBEG=2A BEF=hlO8°=54°> 故乙2二乙BEG=54° .点Z乎本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等； 同旁内角互补.（2006-大连）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概3-8 是 率再放进10颗黑色棋子,

20、 和y的值与x的函数关系式 （2）若往盒中 则取得黑色棋子的概率变为号，求x考点.概率公式；二元一次方程组的应用分析： 根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子 和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概 率是訂有希三成立化简可得y与x的函数关系式；（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x十y颗棋子,可得 解答则取得黑色棋子的概率变为芬结合（1）a+y J 4-10解可得x二15,解：（1）根据题意得:y=25希三，（3分）的条件，整理，得8x=3x+3y,（4 分）.雪灭二彳丫,法一:根据题意,1-2-得z二討；（5分）（2）解（7分）整理，得2x+20=x-ny+10

21、, *.y=x+10,(8 分)5x=3 (x+10)X二 15, y=25 .解法二：（2）根据题思,力+y j+103-OW1（5%3?二0fj = 15T,整理得血=为+山，解得個=25可得（8分）点评:此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能， 而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现R1种结果， 那么事件A的概率P (A)二贽.如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段 CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连 接BP交AC于点F. (1)证明：乙CAE二乙CBF； (2)证 明:AE=BF.考点:全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题:证明题分析

22、根据等腰三角形三线合一的性质可得CH平分乙 ACB,再证明AACE和ABCF全等，然后根据全等三角形对 应角相等和全等三角形对应边相等即可证明.解答： 证明：在等腰AABC中，tCH是底边上的高 线，乙ACH二乙BCH,在AACE和ABCF中，(AC = BC£咬加日=BOHcf=cf , /. AACEABCF (SAS) , a ACAE=A CBF (全等三角形对应角相等)； v AACEABCF(SAS),.AE二BF (全等三角形对应边相等)点评:本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性 质及等腰三角形的性质；熟练掌握定理和性如图，在等腰 ABC 中，AB二AC,乙BAC二 120。，A