函数综合复习及函数动点问题-教师版

1、热身练习函数综合复习及函数动点问题1二次函数y = 3X2 6X 3图象的对称轴是A .直线X= 1 B .直线x= 1 C .直线X= 2 D .直线X = 22.二次函数y= x2 2x 3图象的顶点坐标是A . (1 , 4)(1 , 4) C . ( 1 , 4) D . ( 1, 4)3.抛物线y232的顶点在A .第一象限B.第二象限C.第三象限4.如果以y轴为对称轴的抛物线2ax bx C的图象，如图,则代数式b C a与0的关系A. b c a0C. b c a 0B.bD.不能确定5.已知二次函数2axbxA. a < 0, b < 0,C. a < 0,

2、b > 0,6.函数y = kx + b的图像在第一、)BCD.第四象限B.D .XD )类型一：动点产生的平行四边形2方法要领：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点P使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况(1) 当边AB是对角线时，那么有 AP/BC(2) 当边AC是对角线时，那么有 AB/CP(3) 当边BC是对角线时，那么有 AC / BP例题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m , AMB的面积为S.求S关P、于m的函数关系式，

3、并求出S的最大值；若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y= X上的动点，判断有几个位置能使以点Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.解：(1)设抛物线解析式为抛物线经过(-4，0)，y=ax2+bx+c,B (0, -4), C (2, 0),16a4b4a2b1 2 y= _ X2(2)点M的横坐标为1点M的纵坐标为-m22抛物线解析式为又 A (-4,0), AO=0-(-4) =4, S= 1421m2 m 42=-(m2+2m-8) =-m2-2m+8 ,12 S=- ( m2+2m-8 ) =- (m+1) 2+9 ,点M为第三象限内抛物线上一动点,当m=-1

4、时，S有最大值，最大值为S=9;故答案为：S关于m的函数关系式为S=-m2-2m+8 ,当 m=-1 时,S有最大值9(3)点Q是直线y=-x上的动点,设点Q的坐标为(a, -a),点P在抛物线上，且 PQ/ y轴,1 2点P的坐标为(a, a2a 4)又 OB=O- (-4) =4,PQ= a (1a2 a 4)=1a2 2a 4,2 2以点P, Q, B, O为顶点的四边形是平行四边形， IPQI=OB ,即 j a2 2a f 41 2 a 2a 44 整理得，a2+4a=0,2解得a=0 （舍去）或a=-4,所以点Q坐标为（-4, 4）,1 2 2 一a 2a 44时，整理得，a 4a

5、 16 O2解得 a 22 5 ,所以 Q 点坐标为（2 2 5,2 2.,5） , （ 22 . 5,2 厶 5）综上所述,Q点坐标为（-4, 4）或（22 5, 22 5)或(2 2.5,2 2 5)练习：如图1,抛物线y2 2 3与X轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,顶点为D .（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;（2）连结BC,与抛物线的对称轴交于点 E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE 交抛物线于点F ,设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形? 设 BCF的面积为S,

6、求S与m的函数关系.韶；(1) A (I)O) ,B <3, O) J C <0, 3 删钱的对称轴是；盲线茫(2) 直绒肚的Ss关系式为：产也地IGM3j Ci)巧銅代入得：<解得：-l J g斯以8C的函数关奚式为=y=-+3.当x=lj J y=-l+2=2 JE (1,2)”当=mE寸*尸-时令.i.F (Ha -m+3).Sy=-I2t3 M=IB4P f=4.AD ( 1, 4) 当 X=ItB-J J y=-m÷2m+3 Ff2+Ei十了)二绒段 E=4-2=j 线 -m¾m+5t- ( -n+3) =-¾mVFTyEEJ二当FF=

7、EDH寸1四边形FEDF为平行四边形由-m31=2,解得：BI严，吆=1 (不舍题意，舍去)因闵当凰球四边HIDF为平行四边畛直线PP与孔樹交于点b由E <3, O) , 0 C0. 0),可得：OE=OM+ME=3.Vs=s bpf+ CPFHE=訓BH+*FMlgPF (HIlKB) 7Q-'.S=3 ( -÷3 ) =( m 3 .)亠类型二：动点产生的梯形问题方法要领：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 P使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况(1) 当边AB是底时，那么有 AB/PC(2) 当边AC是底时，那么有 AC/BP(3) 当边BC是底时

8、，那么有 BC/AP例题2、已知二次函数的图象经过 A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线 X= 4, 设顶点为点P,与X轴的另一交点为点B.(1) 求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2) 如图1,在直线y= 2x上是否存在点 D,使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒 2个单位长度的 速度由点P向点O运动，过点 M作直线MNx轴，交PB于点N .将厶PMN沿直线MN 对折，得到 P1MN .在动点M的运动过程中，设 P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面 积为S,运动时间

9、为t秒，求S关于t的函数关系式.1yy参考： y 2 8x 12 ,顶点 P (4, -4)(2) 直线BP: y = 2x -12 ,则直线BP /直线y = 2x ,要使四边形 OPBD为等腰梯形，只 需满足 OP =BD ,设 D( m，2m)224列等量关系求得：m =2(舍)，或m = ; D (,)555(3) 设对折后P恰好落在X轴时，M (2, -2), MP = 2、2设 M (4 - t, t - 4)贝U N ( 4 - , t -4)23 当 0 t 2 时，MN= t , S SVMNP2 当2 t 4时，由X轴/ MN , 得竺2U即ABMN t3tt2 AB =3

10、t - 61 3 S -(3t 6 -t) (4 t)2 29 2 S t 12t 124类型三：直角三角形方法要领：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点P使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况(1) 当A为直角时，ACAB(2) 当B为直角时，BCBA(3) 当C为直角时，CACB例题3、如图1 ,已知抛物线y= X2+ bx+ C与X轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与 y轴交于点C(O, - 3),对称轴是直线X= 1 ,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 求直线BC的函数表达式；(3) 点E为y轴上一动点，CE的垂

11、直平分线交 CE于点F ,交抛物线于 P Q两点，且点 P在第三象限. 当线段PQ 3 AB时，求tan CED的值；4 当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.J解:V (X+b2)2+c -b24 与 y 轴交于点 C ( 0,- 3)1I/ C= -3A1O7 3c对称轴是直线 x=1 ,则：1+b2=0 b= -2/D J抛物线的函数表达式：y=X2 -2x-3C/(2) 0=x2-2x-3 A(-1,0 )B (3,0 ) AB=4丿BC的函数表达式：y=x-3故D (1, -2 )PQ=0.75AB时，PQ=3 3/2+1=2.5故 PQF 三点纵坐标：y

12、=2.52 -2*2.5-3= -1.75 E点纵坐标：3-2*1.75= -0.5即：E (0, -0.5 )tan CED =1/ -0.5-(-2)=23时，点P的坐标(0,-2.5)当以点C D E为顶点的三角形是直角三角形( CED为直角)练习：如图1 ,直线y - X 4和X轴、y轴的交点分别为 B、C,点A的坐标是(-2, 0).3(1) 试说明 ABC是等腰三角形；(2) 动点M从A出发沿X轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设M运动t秒时， MoN的面积为S. 求S与t的函数关系式

13、； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的 t值；若不 存在请说明理由； 在运动过程中，当 MoN为直角三角形时，求t的值.4解答：(1 证明：因为 y X 4 t当x=0时，y=4 ;当y=0时，x=3 ,3 B (3, 0), C (0, 4),t A (-2, 0),由勾股定理得：BC=5 AB = BC =5ABC是等腰三角形(2)t C ( 0, 4), B ( 3, 0), BC=5 1SVMON OM NH , S24 SIn B -54 t 2 t S50.4t t 2点M在线段OB上运动时，存在 S=4的情形.理由如下:4T C(0,4 ),B

14、( 3,0),bc=5 , Sin B根据题意得：T S=4 , t-2 0×t=4 ,5T点 M 在线段 OB 上运动，OA=2, t-2 > 0,即(t-2) ×).4t=4 ,即 f-2t-10=0,解得t 1.11或t 1.11 （舍）点M在线段OB上运动时，存在 S=4的情形，此时对应的t值是t 1 × 11 S的情形3由题意CoS B ,分为三种情况：51°、当 NOM=90时，N在y轴上，即此时t=5 ;2°、当 NMO=90 时，M、N 的横坐标相等，即 t-2=3-0.6t ,解得：t=3.125,3°、/ M

15、NO不可能是90 °,即在运动过程中，当MON为直角三角形时，t的值是5秒或3.125秒.类型四：动点产生的等腰三角形问题方法要领：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点P使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情(1) 当A为顶角时，ACAB(2) 当B为顶角时，BCBA(3) 当C为顶角时，CACB例题4、已知：如图1，在平面直角坐标系 Xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在X轴的正半轴上， OA = 2, OC= 3 ,过原点 O作 AOC的平分线交 AB于点D ,连接DC,过点D作DE丄DC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线

16、的解析式；(2)将 EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M ,点M的横坐标为6 ,那5么EF = 2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3) 对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ与AB的交点P与点C、G构成的 PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.解：(1)由已知，得CQQ, D(MX丫山DE=9Q°CDg = ZBCDy d. AE = *4DPaiI ZADE 2 X tan CD = 2 x

17、 = 1 ÷ E (0,1)设过点広D、C的物线的解析式为F =将点E的坐标代人得"1.存将G = I和点2 CI的坐标分别代入得!& 折式为 >- + v÷1-6 6(2) EF = 2GO 成立6P丫点M在该拋物线上J且它的横坐标.点竝的瓠坐标为二.55二 DH 的解折 IUDy = ->r + 3.设DAf的解析式为y=+(O) j将点°、M ftfcSJft,潯 F (0,3), EF=2过点D作DK丄OC于点K, J!1 DA = DK +* UiDmDG=时,亠 :.ZFDA=ZGDK . *JXV LFAD = AGKD

18、 =如", 一仏 DAFdiDKG . aG = AF=I 4二 Go = 1 :.EF=IGO .鼻t3) Y P在血上Ga仍，CGoX则设0(1®. PCf =C-I)a +2a J PC3=(3-r)i÷，GC =2若PG=PCr 贝j(f-l)1+2z = (3-r)2+227 亠 解得曲 f f(2,2) J此时点Q与点尸重合，-PG = GCJjJJ(r-li+2i=2nj d解得=lf W),此时GP丄兀轴.*GPg在第一象眼内的交旦Q的橫坐标为U.斥話邛肘1* J7J ° Q (1,)3PC= GC )则(3-r)2+22-2127Q (

19、 12 , 7 )55解得U3, -POf2) f此时PC = GC = 2f APC1G是等肢直角三角形，过点Q作Q刃丄H轴于点肝，QH=hj P二 5( + l)2 + 13(A+l)+l-A 6 6解得1=-, %±-1 (舍去).综上舷 存B三个艇条件的点Q即Q3或屮寸或或¥£练习：已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a > 0)经过点B(12 , 0)和C(O, - 6),对称轴为X = 2.(1)求该抛物线的解析式.点D在线段AB上且AD = AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速 度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从 C

20、出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由.18在(2)的结论下，直线X= 1上是否存在点 M ,使 MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.解:方法二！ .,A> F关于"碣薪A( -6 *设y=a 3+5 t JtTEC在抛物线上-6sX6× ( -12)Epa=谱抛物的解析式为:严-詁-ECZy存在*设CD直宰分FR JSrlAOC中 AC=Jg=IO=UJ J门点D在对新铀上 Q J显ZFDC-ZeDC C L分J曲巳知 4DC

21、 ACmAZtjX=ZACD.ADQZ/AC ( f分).,.B=AE-Jd)-20-10=IOJDQBC的中位紺JDQ=AC=5 J ( 1分】AJ=AD-PD=AI-D=10-5=5 ,/-L=E÷1=S( l? J存在诈5(秒)时'WSFQtt直线页垂直平分ll在EuABQC中'BC=J扌十专=&廂* ,z34 J而DjBC的中位鑽*二点啲运动速度対毎秒頁岳单位长度；C 11< 3 )存在"9¾H±j;轴于RIJQH=S I FE SRtPH中 > PQ=Jg=3TC 1)当UP=MS, SillM顶宜谨直找CC

22、的直變方程旳:y=kc+( k0) I 加严* 解汙泸7l=Zk+tlk=3 y=l Bjr J 7=-3 J M (1, -3)当FQ为等腰山MFQ的腰时，_3尸対顺点*龙PW设直犠盟二1上存在点IJy0 ,则v+y2=sa J则ClF詣.Jfl的横坐1 J細坐奇対和根娠勾lPffl47j aiy=±<74W：C I J 74 ) J E3 (K -74)当F3fiHFCfiS时,且QI顶直 Jty÷3) z+5Ey=-3÷S5过点Qft莊丄濟于即交宜½-lTF> WC 1>叫山74届)Nl5 .1, -3侵)t IL分)设M=l存在

23、直M由対股定理得:躱上所谨：荐莅这样的五直:M 1> -3 (M B <¼) J (h -JN)M4(L -3465)(h -3-<6B).类型五：动点产生的相似三角形问题方法要领：寻找比例关系以及特殊角；一般分类角对应相等例题5、如图1已知抛物线的顶点为 A (2, 1),且经过原点 0,与X轴的另一个交 点为B。求抛物线的解析式；若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 0、C、D、B四点为顶点的四 边形为平行四边形，求 D点的坐标；连接OA、AB，如图2,在X轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP与厶OAB相似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，

24、说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、 旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。解：由题

25、意可设抛物线的解析式为y a(x 2)212 1抛物线过原点，0a(02)21 A a .4抛物线的解析式为y 1(x 2)21 ,即 Y 1x2 X44如图1,当OB为边即四边形 OCDB是平行四边形时,CD £ 0B,丄12由 0(X 2)2 1 得 x1 0,x2 4, B(4,0),OB = 4.二 D 点的横坐标为 64将 X= 6 代入 y 1(x 2)21 ,得 y=- 3, D(6, -3);4根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(一2, - 3),当OB为对角线即四边形 OCBD是平行四边形时，D点

26、即为A点此时D点的坐标为(2,1)如图2,由抛物线的对称性可知 :AO = AB, AOB = ABO.若厶BOP与厶AOB相似,必须有 POB = BOA = BPO设OP交抛物线的对称轴于 A'点,显然A' (2- 1)1直线OP的解析式为y -X2.11 2由 X X X ,24得 X10,X26. P(6,- 3)过 P 作 PE X 车由,在 Rt BEP 中,BE = 2,PE= 3, PB = .13 4. PB OB, BO BPO, PBO与厶BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P使得 BOP与厶AOB

27、相似练习1、已知抛物线y2axbx C 经过 P( 3,3)5、3E ,0 及原点 O(0,0).(1) 求抛物线的解析式.(2) 过P点作平行于X轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点 Q ,过点Q作直线QA平行于y轴交X轴于A点，交直线PC于B点，直线 QA与直线PC及两坐标轴围成矩形 OABC 是否存在点 Q ,使得 OPC与厶PQB相似？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在X轴的上方，连结OQ ,矩形OABC内的四个三角形 OPC, PQB, OQP, OQA之间存在怎样的关系?为什么?解：(1)由已知

28、可得:3a .3b 35 3b 0解之得,275a4C 05、3T,C因而得,抛物线的解析式为:319(2)存在.设Q点的坐标为(m, n),则53Tm,BQ要使 AOCPPBQ,CP,则有OC2m33解之得，m 2 3,m2当mi 23时，n 2 ,即为Q点,所以得Q(2'3,2)BQ 要 使 OCPQBP,-OCPB,则有CP解之得,m13时，即为P点，当m3 3 时，n3 ,所以得Q(3、3, 3).故存在两个Q点使得 OCP与 PBQ相似.Q点的坐标为(23,2, (3 J3, 3).(3)在 Rt OCP 中，因为 tanCOPCP3 .所以 COP 30oOC3当Q点的坐标

29、为(2 .3,2)时，BPQCOP30o.所以 OPQOCPBQAO90o.因此， OPCA PQB, OPQ, OAQ都是直角三角形.又在 Rt OAQ 中，因为 tan QOA QA 3 所以 QOA 30o AO 3即有 POQ QOA QPB COP 30o 所以 OPC PQB OQPOQA ,又因为QP 丄 OP, QA 丄 OA POQAOQ 30o ,所以 OQAOQP 练习2、如图所示，已知抛物线 y2X 1与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.过点A作AP / CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. 在X轴上方的抛物线上是否存在一点G三点

30、为顶点的三角形与解: (1)令 y 0,得 X(2)(3)M ,过M作MG X轴于点G,使以A、M、PCA相似若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.10 解得X 1 A( 1,0) B(1,0)C(0, 1)(2) OA=OB=OC=IBAC= ACO= BCO= 45o AP/ CB,PAB= 45o过点P作PE X轴于E,则 APE为等腰直角三角形yI/LAVMB XC练习2图令 OE= a ,贝y PE= a 1 P(a, a 1)24点P在抛物线y X2 1上 a 1 a2 1 解得a1 2, a21 (不合题意，舍去)IIII PE= 3 四边形 ACBP 的面积 S =丄 AB?OC+ 丄 AB?PE=2 12 3 42 2 2 2. 假设存在 IPAB= BAC =450 PA AC MG X轴于点G ,MGA= PAC = 90o在 Rt AOC 中，OA=OC=I AC=. 2在 Rt PAE 中，AE=PE= 3 AP= 3、2 设M点的横坐标为