流体力学第2章

1、流体力学第二章2021-12-71第二章流体运动学基础流体力学第二章2021-12-72第二章流体运动学基础流体力学第二章2021-12-73流体力学第二章2021-12-74本章学习的内容流体力学第二章2021-12-752.1描述流体运动的两种方法流体力学第二章2021-12-762.1.1拉格朗日方法, , , , , , ,xx a b c tyy a b c tzz a b c t拉格朗日方法的一般表达:a,b,c,t称为拉格朗日变数是流体质点的标志。流体力学第二章2021-12-77Vuiv jwk, , , , , , ,x a b c tuty a b c tvtz a b c

2、 twt22Vratt流体力学第二章2021-12-78222222, , , , , , ,xyzx a b c tuatty a b c tvattz a b c twatt, , , , , , ,a b c tpp a b c tTT a b c t流体力学第二章2021-12-79已知用拉格朗日变数表示的速度场为1111ttuaevbe 例题流体力学第二章2021-12-710代入条件：在 t=0 时刻，x=a，y=b，求得积分常数， 1111ttxuaetyvbet12111111ttttxaedtaetcybedtbetc 121,1cc 解：积分得：流体力学第二章2021-12

3、-711得各流体质点的一般分布规律1111ttxaetybet 221313xaeybe 所以:(1)在 t =2 时刻流场中质点分布规律流体力学第二章2021-12-712（2）a=1,b=2流体质点的运动规律2131ttxetyet 11txtyuaaetvabet （3） 加速度场 流体力学第二章2021-12-7132.1.2 欧拉方法( , , , )x y z t流体力学第二章2021-12-714注意事项:流体力学第二章2021-12-715, , , , ,V a b c ta a b c tt, , ,VV x y z t2.1.3 实质微商、加速度 实质微商（又称质点导数、

4、随体导数）：质点的物理量随时间的变化率。实质微商在拉格朗日方法中的表达 实质微商在欧拉方法中的表达，物理量是空间和时间的函数，以速度为例思考：在欧拉方法中，Vt表示什么？流体力学第二章2021-12-716欧拉描述的流体的随体导数实质微商在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时间的函数，以速度为例22, , ,00ppVVVV xu t yv t zw t ttV x y z tVVVVVu tv tw tttxyztVtVV ttt 流体力学第二章2021-12-717随体导数（实质微商、质点加速度）0limtVVaVVttDVaVVDtt 亦可写为：dVVuvwVdttxyzVVVt式中ij

5、kxyz 流体力学第二章2021-12-718随体导数（实质微商、质点加速度）, ,x y zVtduuuuuuuvwVudttxyztdvvvvvvuvwVvdttxyztdwwwwwwuvwVwdttxyzt写成分量形式为另一方面，于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速度一般也是不同的，但这种表示为VVVuvwxyz, , , ,x y zx y zx y zuvwttt局地加速度local acceleration对流加速度convective acceleration流体力学第二章2021-12-719VVtVa)()(VtDtD都可以表示成, .T()DVDtt实质微商，随体（物质、

6、全）导数随体导数（实质微商）类似的，与流体有关的所有的物理量 如：流体力学第二章2021-12-720求质点的加速度。23Vtixzjty k23 ,ut vxz wtyduuuuuuvwdttxyz3dvvvvvuvwdttxyz23tzty xdwwwwwuvwdttxyz22ytyxz例题：已知解：流体力学第二章2021-12-721课堂例题一个流场，由u=2x,v=y来定义，试着求点（3，2）处的速度和加速度大小。一个流场，由u=2y,v=xy来定义，试着求点（3，1）处的速度和加速度大小。一个二维流场，由u=2+xy+3t2,v=2xy2+t来定义，试着求t=4时刻，点（2，3）处的

7、速度和加速度大小。流体力学第二章2021-12-722定常流、流量、平均流速cosdQV dAVdAVdAVVtVa)(0VtcosAAAQdQV dAVdA流体力学第二章2021-12-723AmQVdAAVAQVdAAV流体力学第二章2021-12-724 2.1.5 球坐标系和柱坐标系中的加速度流体力学第二章2021-12-725222()sin()sin()sinrrrrrrrrrrrVVdVdVVVVVVVdtdttrrrVVrVdVdVVVVVVVVdtdttrrrVV VcotrrdVdVVVVVVVVVdtdttrrrV VrV Vcotrr流体力学第二章2021-12-726

8、同理可以导出加速度在柱坐标中的表达式： 2rrrrrrzrrzzzzzzrzVVdVVVVVVVdttrrzrdVVVVVVVVVVdttrrzrVdVVVVVVVdttrrz可得平面极坐标中加速度的表达式 20zrrrrrrrVVVdVVVVVdttrrrdVVVVVVVVdttrrr流体力学第二章, , , , , , ,xx a b c tyy a b c tzz a b c t, , , , , , ,uu x y z tvv x y z tww x y z t2.1.6 2.1.6 两种方法的相互转变两种方法的相互转变流体力学第二章, , ,0 , , ,0 , , ,0ax a b

9、 cby a b ccz a b c, , , , , , , , , , , , ,uu a b c tx a b c ttvv a b c ty a b c ttww a b c tz a b c tt流体力学第二章, , , , ,LaEuV a b c tV r x y z t流体力学第二章, , , , , , ,aa x y z tbb x y z tcc x y z t, , , , , , ,xx a b c tyy a b c tzz a b c t一、拉格朗日变数转变为欧拉变数, , , , , , ,xx a b c tyy a b c tzz a b c t, , ,

10、, , , , , , , , , ,uu a b c tx a b c ttvv a b c ty a b c ttww a b c tz a b c tt流体力学第二章202, ,1, ,bx a b tutahy a b tb (1)202, ,1, ,0bu a b tuhv a b t (2)例题例题流体力学第二章20210yuuhv202, ,1, ,bx a b tutahy a b tb (1)202, ,1, ,0bu a b tuhv a b t (2)流体力学第二章, , , , , , ,uu x y z tvv x y z tww x y z t (1)二、欧拉变数转

11、变为拉格朗日变数二、欧拉变数转变为拉格朗日变数, , , , , , ,ux a b c ttvy a b c ttwz a b c tt, , , , ,LaEuV a b c tV r x y z t流体力学第二章20210yuuhv (1)例题例题流体力学第二章202, ,1, ,0yx a b tuthy a b tt2021,yxudtf a bhyg a b解：流体力学第二章202, ,1, ,bx a b tutahy a b tb2021,yxutf a bhyg a b流体力学第二章经验经验: : 由欧拉表示法到拉格朗日表示法的变换要求积分运算，而由欧拉表示法到拉格朗日表示法

12、的变换要求积分运算，而从拉格朗日表示法到欧拉表示法的变换要求微分运算从拉格朗日表示法到欧拉表示法的变换要求微分运算. .流体力学第二章2021-12-7382.2运动的几何描述 流体力学第二章2021-12-739运动的几何描述学习要求 了解迹线和流线的概念 了解流线的性质 掌握迹线和流线的方程 了解迹线和流线的区别与联系流体力学第二章2021-12-740流体力学是一门高度可见的科学流体力学第二章2021-12-741流体力学是一门高度可见的科学流体力学第二章2021-12-742流体运动的几何描述迹线和流线什么是迹线什么是迹线?迹线迹线（迹线（Path Line）是指某）是指某一流体质点在

13、某一时段内一流体质点在某一时段内的运动轨迹线。的运动轨迹线。关于迹线两点说明流体力学第二章2021-12-743迹线的微分方程( , , , )V x y z t由于在流体力学中通常采用欧拉描述，即给出的是速度场( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t迹线方程迹线方程写成分量形式为( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t流体力学第二章2021-12-744ddddxyztuvw式中，u，v，w均为时空t，x，y，z的函数，且t是自变量。( , ,

14、, )( , , , )( , , , )dxu x y z tdtdyv x y z tdtdzw x y z tdt或者写成如下形式解微分方程组可得到迹线的方程 迹线方程迹线方程流体力学第二章2021-12-745已知流体质点的位置由拉格朗日变数表示为2222222( )cos( )sintxababtya bab22222222222222( )( )cossinttxya ba bababya bx例题例题两式平方，相加得 解解求质点的轨迹。流体力学第二章2021-12-746消去 t 得，由条件 时 ，可解出 (12 ), , 0uxtvy w (12 ) dxxtdtdyydt0t

15、 1 yx121 cc解：积分得，设两维流动求t=0时通过（1，1）点的迹线。 2)1(1tttecyecx )1(ttteyexyyxln1例流体力学第二章2021-12-747在欧拉法中，应由速度场建立迹线方程。迹线的微元长度向量应等于质点在微小时间间隔dt内所移动的距离，即 123(, )drV q q q t dt( , , , )( , , , )( , , , )dxu x y z t dtdyv x y z t dtdzw x y z t dt在直角坐标系中它可表示为流体力学第二章2021-12-748例题例题 已知速度分布为，求流体质点的迹线。解:根据已知条件得 分别积分后可得

16、VAxiAy j dxudtAxdtdyvdtAydt 11 22lnlnlnlnxAtcxyc cyAtc 流体力学第二章2021-12-749流线什么是流线？什么是流线？流线流线是这样的曲线，在是这样的曲线，在某某一时刻一时刻, ,此曲线上任一点此曲线上任一点的的切线方向切线方向与流体在该点与流体在该点的的速度方向速度方向一致。一致。流体力学第二章2021-12-750流线（Stream Line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动状况。流线关于流线两点说明流体力学第二章2021-12-751参考右图。在

17、流场中任取一点1，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量;如此继续下去，得一折线1234，若各点无限接近，我们将得到一条光滑的曲线，其极限就是某时刻的流线。流线的绘制方法12345沿着点1的速度矢量方向，找到距1点很近的2点，画出在同一时刻通过点2的流体质点的流速矢量;再画出距2点很近的3点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量;流体力学第二章2021-12-752a、同一时刻的不同流线，不能相交。 d、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。e、对不可压缩流体，流线簇的疏密反映了速度的大小。U2L1L2U1b、流场中的每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱。c、流线的形状及位置，在定常流动时不随

18、时间变化；而在不定常流动时，一般说来要随时间变化。流线的性质流体力学第二章2021-12-753根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设dr为流线上A处的一微元弧长ddddrxiyjzkV为流体质点在A点的流速VuivjwkVAdr流线的方程流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，V和dr重合。V d0r即流体力学第二章2021-12-754流线的方程ddd0vijkxyzuwdddxyzuvwV d0r展开后得到：展开后得到：即即流线方程流线方程流体力学第二章2021-12-755流线与迹线的区别与联系 迹线是同一质点不同时刻所形成的曲线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向；流线是

19、同一时刻不同质点的所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。 迹线方程中，时间 t 是自变量，x,y,z 是 t 的函数；在流线方程中，时间 t 是参数，积分时当作常量处理。 迹线是与拉格朗日方法相联系的；流线是与欧拉方法相联系的。 不定常运动时，流线和迹线一般是不重合的，而在定常运动时，二者必然重合。流体力学第二章2021-12-756例 二维稳定流动的速度分布为 u=kx,v=-ky,w=0,这里 k 是一正的常数.求流动的流线。解： 因为速度与时间无关，所以运动是稳定的。因此流线和迹线重合，又因为w=0,所以运动是二维的.dxdyuvdxdykxky dxdyxylnlnlnxy

20、c 积分得xyc双曲线xyo流体力学第二章2021-12-757定常与非定常流动中的流线与迹线流体力学第二章2021-12-75801vxuywt，流体力学第二章2021-12-75911ddtxyxy(1) tyCx(1)000tCy x dddxyzuvw00(1)(1)00ttyy xx 解解(1)lnlnlntxyC流体力学第二章2021-12-760dddxytuv12ddddlnln(1)ln11ddlnlnlnddtxxttxtCxtxtyyyeCttyy0011000()00200200(1)(1)11,ttt txxCxtxCtttttxxyyyC eCy eyy e t是自

21、变量是自变量00001(1)ttxyxyee流体力学第二章2021-12-7612222,0CyCxuvwxyxy2222ddxyCyCxxyxyddxyyxddxyuv221xyC图3-11 速度场yxu流体力学第二章2021-12-762图3-11 速度场yxu222xyCdddxytuv0,0yx0,0uv2222ddxyCyCxxyxy流体力学第二章2021-12-763例例 已知平面流动已知平面流动 试求：（试求：（1 1）t t=0=0时，过点时，过点MM（1 1， 1 1）的流线）的流线 （2 2）求在）求在t t=0=0时刻位于时刻位于x x= = 1 1，y y= = 1 1

22、点处流体质点的迹线。点处流体质点的迹线。,0uxt vyt w 解：（解：（1）由式）由式 得得ddxyxtyt CtytxlnlnlnCtytx)(将：将： t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时代入得瞬时流线流线 xy=1即流线是双曲线即流线是双曲线（2）由式）由式 得得dddxytxtyt t1-t211eexCtyCt 由由 t=0时，时，x= 1，y=-1得得C1=0， C2=0，则有：，则有：11xtyt 或写成：或写成： （MC线）线） 02 yx得：得：ddxyuvdddxytuvoyx-1-2-3-4-1-2-3-4M(-1,-1)ABoyx-1-2-3-4-1-2-3-4M

23、(-1,-1)ABC迹线方程：迹线方程：流体力学第二章2021-12-764在流场中，作一不与流线重合的任意封闭曲线，于同一时刻过此曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状曲面称作流管. 2.2.3 流管 流管截面 图3-13 流束1图3-14 过流断面212流体力学第二章2021-12-765在定常流的情况下，以A1和A2为端面的这段流管内的流体质量不随时间变化. 121212111222112212mAAAAAAV n dAVn dAQV n dAVn dAQV dAV dAQ 常数时速度与法线平行时对于一维流m= V动,有A=常数.流体力学第二章2021-12-766流管有如下性质：

24、（1）流管不能相交。（2）流管的形状及位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，可能随时间变化。（3）流管不能在流场内部中断。流管只可能始于或终于流场边界，如物面、自由面；或者成环形；或者伸展到无穷远处。 流体力学第二章2021-12-767已知用柱坐标系表示的速度场为求通过x=1，y=1的流线方程及在t=0时刻过x=1，y=1的那个质点的迹线方程。解:（1）流线方程在柱坐标上的形式为 cVer :0,rrVdrrdVcVVr已知例题例题1 1流体力学第二章2021-12-768代入流线方程得所以流线方程为 20rrdrVrrVdVc221,122rconstcrxyxyrr 时,流体

25、力学第二章2021-12-769（2）迹线方程（2-2-1）在柱坐标上的形式为 由已知条件得 ,rVdrV dt ddtr212222120,1,42,4cdrddtrcrctcryrxyarctgarctgxcc积分得流体力学第二章2021-12-770由此得该质点的迹线方程为 而流线方程为224rctr2r 流体力学第二章2021-12-771已知直角坐标系中的速度场试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标值为a,b。（2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。（3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。（4）以拉格朗日变数表示的速度分布V=V(a,b,t)( )uxtavyt例题例题2

26、 2流体力学第二章2021-12-772（1）利用迹线微分方程（2-2-1）或(2-2-2)积分之得利用t=0时的条件：x=a，y=b可得 dxxtdtdyytdt1211ttxc etyc et 121,1cacb解解 ：流体力学第二章2021-12-773得迹线方程（2）将条件t=1,x=1,y=2代入迹线方程（c）定出表征该质点的拉格朗日变数a、b为于是过该点的质点的迹线方程可写成 1111ttxaetybet (c)341,1abee113141ttxetyet 流体力学第二章2021-12-774（3）将u，v代入流线微分方程（2-2-4）得积分之得 此为一般流线方程。将条件t=1,

27、x=1,y=2代入上式，可知常数 dxdyxtytlnlnlnxtytcxtc yt或23c 流体力学第二章2021-12-775因此在t=1时刻，过该点的流线方程可写成（4）求拉格朗日变数表示的速度分布有两种途径：其一：直接对迹线方程（c）求导，得2133xy1111ttxuaetyvbet流体力学第二章2021-12-776其二：把迹线方程（c）当作一种变换，直接代入以欧拉变数表示的速度分布式（a）式，可得 11111111ttttuxtaettaevytbettbe 1111ttxaetybet (c)( )uxtavyt流体力学第二章2021-12-777求下述欧拉速度场的迹线方程20

28、uxyvxyw例题32(2 )(),dxxydxudtxy dtdtdyvdtxy dtdyxydtx yt均为 的函数,不能直接积分.流体力学第二章2021-12-7782212121232(2 )2()cossin21111()()()cos()sin2222d xdxdyxyxyxdtdtdtxctctuxydxyxuxcctcctdtzc 再由得流体力学第二章2021-12-7791230( , , )( , , )2cos( -2 )sincos( - )sintx y za b ccacabccxatabtybta btzc初始条件得迹线方程流体力学第二章2021-12-7802.

29、3 连续流体线的保持性流体力学第二章2021-12-781在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的面称作流体面，若流体面处处光滑，则称作光滑流体面。2.3 2.3 连续流体线的保持性连续流体线的保持性在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的线称作流体线，若流体线处处可微，则称作连续流体线(即光滑流体线)。概念连续流体线与光滑流体面流体力学第二章2021-12-782 连续流体线的保持性：连续可微（指参数方程连续可微，这种流体线必然光滑。）的流体线在运动过程中始终保持为连续可微的流体线，并且其上的流体质点的排列顺序不随时间变化，流体线两端的质点仍保持在流体线两端。 光滑流体面的保

30、持性：光滑流体面的保持性是指：光滑流体面在运动过程中始终保持为光滑流体面，并且其上的流体质点的排列顺序不随时间变化。流体力学第二章2021-12-7832.4 流体微团的运动分析流体力学第二章2021-12-7842.4 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 流体微团与流体质点是两个不同的概念。在连续介质的概念中流体质点是可以忽略线性尺度效应（如膨胀、变形、转动等）的最小单元，而流体微团则是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小的流体团。 任何一个刚体的运动都可以分解为平动和转动之和。对于流体来说，还多了一个变形运动。流体力学第二章2021-12-785刚体的运动是由于平移和绕刚体的运动

31、是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。某瞬时轴的转动两部分组成。流体微团的运动，一般除了平移、流体微团的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形转动外，还要发生变形（角变形和线变形）和线变形）xxyy（a ） 刚体刚体（b） 流体流体平移平移转动转动线变线变形形角变角变形形 流体力学第二章2021-12-786刚体平移、旋转流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形流体微元的运动分析流体力学第二章2021-12-787原来正交的微元六面体在原来正交的微元六面体在 t时间间隔后将变成斜平行微时间间隔后将变成斜平行微元六面体。如图所示。元六面体。如图所示。 2.4.1 2

32、.4.1 流体微团运动的几何分析流体微团运动的几何分析流体力学第二章2021-12-788流体微元的速度：流体力学第二章2021-12-789线变形速率：单位时间内流体线的相对伸长。xxxlux txyyvyzzwzx方向线变形xlA BABA AB Buuuxtu tx txx 是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因流体力学第二章2021-12-790流体力学第二章2021-12-791uvwxx tyy tzz txyz由于微元体在x,y,z方向有伸长，所以微元体的体积会发生变化，经过t时间后，其体积变为其体积相对变化了uvwx

33、x tyy tzz tx y zxyzx y z tuvwVdivVxyz 上式表明了速度散度为微元体积的的相对体积膨胀率。对于不可压缩流体：0divV 流体力学第二章2021-12-792旋转角速度：vxdtAAvxdtxxxuydtBBuydtyyy逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负两正交微元流体线角速度的平均值，也即角平分线的旋转角速度流体力学第二章2021-12-79312xwvyz12yuwzx12zvuxy1122xyzijkVrotV1122zvudtdtxy是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：流体力学第二章2021-12-794角变形速率：直角边与角平分线夹角

34、的变化速度。微团的角变形：1122xyvudtdtxy流体力学第二章2021-12-79512yzwvyz12zxuwzx12xyvuxy存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理流体力学第二章2021-12-796综上所述，正交六面体的运动可分解成：整体的平移运动、流体的旋转运动、线变形及角变形运动。,xyzxxyyzzyzzxxy ,uxuyuzvxvyvzwxwywz 这九个分量又是由下列九个量组合而成 :与此相应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率、角变形速率。除平移外，六面体的运动状态，在一般情况下需要九个独立分量来描述，即 流体力学第

35、二章2021-12-797例：平面流场u=ky，v=0（k0），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：cy 0 xxux0yyvy122xyvukxy122zvukxy xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）流体力学第二章2021-12-798例：平面流场u=ky，v= kx （k0），分析流场运动特征解：流线方程：cyxkxdykydx22（流线是同心圆族）线变形：0 xxyy（无线变形）角变形：0 xy（无角变形）旋转角速度：kkkz21（逆时针的旋转）刚体旋转流动流体力学第二章2021-12-799流体微团的运动平移、转动、角变形

36、和线变形转动12xwvyz12yuwzx12zvuxy角变形12yzwvyz12zxuwzx12xyvuxyxxuxyyvyzzwz线变形流体力学第二章2021-12-71000000, , , , , , , , ,Vx y z tux y z t ivx y z t jwx y z t k2.4.2 海姆霍兹速度分解定理流体力学第二章2021-12-710100000000000000, , ,AVxx yy zz tVVVVx y z txyzxyzuuuuxyz ixyzvvvvxyzjxyzwwxx 00wwyz kyz ,AAAAVxx yy zz tuxx yy zz t ivx

37、x yy zz t jwxx yy zz t k展开展开流体力学第二章2021-12-7102,1111222211112222V xx yy zz tuwvuuvuwuuzyxyz izxxyxxyxzvuwvuvvwvvxzxyxyyzyxyyz 11112222zjwvuwuwvwwwyxxyz kyzzxzxzyz ,yzxxxyxzzxyxyyyzxyzxzyzzV xx yy zz tuzyxyz ivxzxyz jwyxxyz k 得到得到平移速度平移速度旋转引起的旋转引起的相对速度相对速度变形引起的变形引起的相对速度相对速度流体力学第二章2021-12-710312yzzxxy

38、zy ixz jyx kVrr 而变形引起的速度可以表示为：而变形引起的速度可以表示为：对于由于对于由于A A点绕点绕OO点旋转在点旋转在A A点引起的速度：点引起的速度：xxxyxzyxyyyzzxzyzzxyErz 流体力学第二章2021-12-71040012AVVVrEr 海姆霍兹速度分解定理可简述分解如下：点O邻近的任一点上的速度可分成三个部分：于是A点的速度可以表示为：（3）变形在A点引起的速度。（1）与O点相同的平移速度；（2）绕O点转动在A点引起的速度；0V因为V表示流体有无旋转，所以若称为无旋运动0V若称为有旋运动流体力学第二章2021-12-7105海姆霍兹速度分解定理对流

39、体力学的发展的影响:(1)把旋转运动从一般运动中分离出来.(2)把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体的变形速率与流体的应力联系起来，这对粘性规律的研究有重大的影响。(3)揭示了流体运动与刚体运动的区别在于前者与后者相比多了变形引起的速度项。流体力学第二章2021-12-71062.5 有旋运动的一般性质流体力学第二章2021-12-71072.5.1 2.5.1 涡量场涡量场有旋运动又叫旋涡运动.流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来决定的，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定的。 2.5 2.5 有旋运动的一般性质有旋运动的一般性质观看录像观看录像流体力学第

40、二章2021-12-7108上式也称作涡量连续方程。 V 0 流体速度的旋度在流体力学中常简称为涡量，而在气象学上称为涡度 .涡量场有一个重要特性，即涡量的散度为零。涡量涡量流体力学第二章2021-12-7109涡线是这样一条曲线，于某给定时刻,曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体的涡量方向一致，如图所示。 2.5.2 2.5.2 涡线、涡管、涡通量、环量涡线、涡管、涡通量、环量0dr涡线涡线涡线的方程 在直角坐标系中xyzdxdydz根据涡线定义，空间任一点只能作一条涡线。流体力学第二章2021-12-7110涡管涡管 在涡量场中任取一条非涡线的可缩封闭曲线（可缩封闭曲线是指此曲线可收缩到

41、一点而不越过流场的周界），在同一时刻过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称作涡管，如图所示。流体力学第二章2021-12-7111涡通量涡通量 通过某一开口曲面的涡量总和称作涡通量，如图所示。AJndA流体力学第二章2021-12-7112速度环量速度环量 在流场中任取一封闭曲线L，速度沿该封闭曲线的线积分称为曲线L的速度环量.LLV dludxvdywdz为统一起见，规定积分时的绕行方向是逆时针方向，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧，如图所示。流体力学第二章2021-12-7113涡管强度守恒定理：在同一时刻，同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭曲线为边界的曲面上的涡通量相同。

42、1231212312AAAAAAJndAn dAn dAn dAn dAn dA 2.5.3 2.5.3 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 证明: 流体力学第二章2021-12-7114另一方面根据高斯定理,有 12120AAAJndAdn dAn dA 由涡强守恒定理可以得出两个结论：v对于同一个微元涡管来说，在截面积越小的地方，流体旋转的角速度越大。v涡管截面不可能收缩到零. 涡管不能始于或终于流体，而只能成为环形，或者始于边界，终于边界，或者伸展到无穷远。流体力学第二章2021-12-7115LAAV dlVndAndAJ 速度环量与涡通量有密切的关系。若A是以封闭周线L为周界的曲面，如

43、L为可缩曲线，则由斯托克斯公式得可缩封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意开口曲面的涡通量。在同一涡管上绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等。流体力学第二章2021-12-7116已知柱坐标系上的速度场为求：（1）曲线 的速度环量。 （2）通过上述圆平面的涡通量。Ve cr 222xya22202LVe caV dlca dca 解2()(),0iVe crc xiy ec ixyucy vcx w 22zzvuckckxy （2）已知速度场为（1）圆周上的速度为例题因此通过圆平面的涡通量为222AAJndAck kdAca 流体力学第二章2021-12-7117DdldlVV dlt

44、V tdltDtDdlDdlV dlor dVDtDt 由图知2.5.4 2.5.4 封闭流体线的速度环量对时间的变化封闭流体线的速度环量对时间的变化率率凯尔文定理：封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线的加速度的环量。证明证明22DDVDdlDVDVVV dldlVdlV dVdldDtDtDtDtDt而流体力学第二章2021-12-711822lllDDVVV dldldDtDt202lllDDDV dlV dlDtDtDtVd将此式对流体线积分得根据积分原理考虑llDDVV dldlDtDt流体力学第二章2021-12-71192.6 无旋运动的一般性质流体力学第二章202

45、1-12-7120对于无旋流场，处处满足 0,( , , , )VVx y z t 2.6.1 2.6.1 速度有势速度有势任意时刻，在流体中速度旋度处处为零的流动称作无旋流动。无旋流场存在着一系列重要性质，这些性质无论对于可压缩流动还是不可压缩流动都是存在的。向量分析原理：旋度等于0的矢量必为一标量的梯度。显然，速度势与速度分量的关系在直角坐标系中为,uvwxyz流体力学第二章2021-12-7121速度势函数的引入可把含有三个未知数的速度问题化成单一变量的问题无旋必然有势，有势必然无旋。故无旋流场又称为位势流场或简称位势流。只要满足无旋条件，必有速度势存在，而不论流体是否可压缩，也不论是定常流动还是不定常流动。流体力学第二章2021-12-7122例：平面点源（汇）流动：例：平面点源（汇）流动：（1 1）问是否为无旋（有势）运动。）问是否为无旋（有势）运动。（2 2）若无旋（有势），求流速势）若无旋（有势），求流速势 。（3 3）是否为不可压缩流体。）是否为不可压缩流体。2222,0CxCyuvwxyxy解（解（1）2222222()2()uCxyyxyvCxyxxyuvyx所以为有势流。所以为有势流。流体力学第二章2021-12-71232222(2)ddddd()()CxCyu xv yxyxyxy22222r22222r22()()dddddlncons