理论力学 第十四章虚位移原理

1、12 141 约束和约束方程约束和约束方程 142 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 143 虚位移虚位移 144 理想约束理想约束 145 虚位移原理虚位移原理 146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件 147 质点系在势力场中平衡的稳定性质点系在势力场中平衡的稳定性第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理3ABCDEG4问题的提出问题的提出静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？ 微小角度微小角度btgsatgs21平衡条件：平衡条件：021bFaF（a）杠杆杠杆由于在新的位置系统仍然平衡由于在新的位置系

2、统仍然平衡02211SFSF（b）条件（条件（a）和条件（）和条件（b）是等价的）是等价的杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功来建立。作的功来建立。对于一般的非自由质点系是否能写出类似的对于一般的非自由质点系是否能写出类似的平衡条件呢？答案是肯定的。平衡条件呢？答案是肯定的。5 一、约束一、约束图图6 ( , , )( )0jiifr r t 或或( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t 222xylryxl222ryxAA222()()BABAxxyyl0By 图图7 (0)AxrAyr0Avr图图8导弹导

3、弹A追击目标追击目标B，要求导弹速度方向，要求导弹速度方向总指向目标。总指向目标。0,0AABABAAABABAxyxxyyxzxxzz 图图9 2220 xylvt图图10222xyl 11 ( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t ( , )( )0jiiifx y z t ( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t 222xyl0Axr几何约束几何约束运动约束运动约束0Axr12 ( ,)( )0jiiiiiifx y z x y z ryxl222()()BABAxxyyl定常约束定常约束( , )( )0jiiiiiifx y z x y z t

4、 2220 xylvt非定常约束非定常约束13 ( , )0jiiiiiifx y z x y z t ( , )0jiiiiiifx y z x y z t 222xyl222xyl图图14 111( ,)0nnnf x y zxyz图图图图15一个自由一个自由质点质点在空间的位置：（在空间的位置：（ x, y, z ) 需用需用3个坐标表示个坐标表示一个自由一个自由质点系质点系在空间的位置：在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2n) 需需用用 3n个坐标表示，这个坐标表示，这3n个坐标是独立的。个坐标是独立的。 对一个非自由质点系，受对一个非自由质点系，受s个完整约束

5、，个完整约束，3n个坐标需满个坐标需满足足s个约束方程。只有个约束方程。只有（3n-s )个独立坐标。个独立坐标。通常，通常，n 与与 s 很很大而大而3n-s 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s 个相互独立的参数，要比用个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和个直角坐标和s个约束方程方个约束方程方便得多。便得多。一、一、自由度自由度 确定一个确定一个受完整约束的质点系的受完整约束的质点系的位置位置所需的独立坐标的所需的独立坐标的数目数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。自由度。16 对一个非自

6、由质点系，受对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由个完整约束，其自由度为度为 k=3n-s 。222xyl 例如：此球摆需满足一个例如：此球摆需满足一个约束方程约束方程此平面小球是受约束的，如此平面小球是受约束的，如是自由质点则需是自由质点则需2个坐标表示，个坐标表示，有有1个作用方程，个作用方程，2-1=1有一有一个个独立的坐标，所以，此球独立的坐标，所以，此球摆具有一摆具有一个个自由度自由度17ryxl222()()BABAxxyyl 又例如：曲柄连杆机构中，空间又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点两个点3n六六个坐标，个坐标，个约束方程即有个方程式，需满足和但55,BBBAAAz

7、yxzyx0 0 0 ,222BABAAzzyryx6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自自由度由度18222cossincossin 0AABBxryrxrlry二、二、广义坐标广义坐标 一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便，一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便，可选择任意变量来表示质点系的位置。可选择任意变量来表示质点系的位置。用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数，用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数，称为称为广义坐标广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以

8、取线位移（x, y, z, s 等等）也可以取角位移也可以取角位移（如如 , , , 等等）。19例例1：曲柄连杆机构中曲柄连杆机构中,可取曲柄可取曲柄OA的转角的转角为广义坐标，为广义坐标， 广义坐标选定后，质点广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。可表示为广义坐标的函数。则可惟一确定质点系的位置。则可惟一确定质点系的位置。0,sin,cosAAAzryrx0, 0,sincos222BBBzyrlrx在完整约束在完整约束情况下，情况下，广义坐标广义坐标的数目就等于的数目就等于自由度数目自由度数目。20例例2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动

9、。双锤摆。设只在铅直平面内摆动。2212212221212211)()( ),( , ),(byyxxayxyxyx两个两个自由度自由度 取广义坐标取广义坐标，coscos , sinsincos , sin2211baybaxayax约束方程约束方程在完整约束在完整约束情况下，情况下，广义坐标广义坐标的数目就等于的数目就等于自由度数目自由度数目。21 一般地，设有由一般地，设有由n个质点组成的质点系，受到个质点组成的质点系，受到s个完整、个完整、双面和定常约束，具有双面和定常约束，具有k=3n-1个自由度，取个自由度，取k个广义坐标个广义坐标q1、q2、qk确定质点系的位置，质点系内各质点的

10、坐标及确定质点系的位置，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。矢径可表为广义坐标的函数。12121212( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni22 在给定瞬时，质点（或质点系）在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束符合约束的的无限小无限小的的假假想的想的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的虚位移虚位移。一、虚位移一、虚位移 虚位移可以是虚位移可以是线位移线位移，也可以是，也可以是角位移角位移。通常用变分符。通常用变分符号号 表示虚位移。表示虚位移。 M23

11、 二、虚位移与微小实位移的区别和联系二、虚位移与微小实位移的区别和联系1、虚位移与微小实位移的虚位移与微小实位移的区别区别实实位移是在一定的时间内位移是在一定的时间内实际实际发生的位移，发生的位移，与质点系的与质点系的受力受力和和初始条件初始条件有关，有有关，有确定的方向确定的方向；虚虚位移是位移是假想假想的、实际并的、实际并未未发生位移，并发生位移，并不不经历时间经历时间与质点系的与质点系的受力受力和和初始条件初始条件无关，无关，有多种可能的方向有多种可能的方向，是无限小量。是无限小量。2、虚位移与微小实位移的虚位移与微小实位移的联系联系实位移和虚位移都要满足实位移和虚位移都要满足约束约束。

12、 在在定常定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；约束下，微小的实位移必然是虚位移之一； 而在而在非定常非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。约束下，微小实位移不再是虚位移之一。24 图图25 图图26 三、分析虚位移的方法三、分析虚位移的方法 由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因此由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因此各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位移各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位移个个数数就等于质点系就等于质点系自由度数自由度数。1、几何法、几何法 在在定常约束定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。下，微小的实位移必然是虚位移之一。 drvd

13、t因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的速度方向上分析，故可用运动学中求各质点速度方向上分析，故可用运动学中求各质点速速度度之间的之间的关系关系来分析各质点来分析各质点虚位移虚位移之间的之间的关系关系。27 2、解析法、解析法质点系中各质点系中各质点质点的坐标可表示为的坐标可表示为广义坐标广义坐标的函数，质点系的任意的函数，质点系的任意虚位移可用广义坐标虚位移可用广义坐标（ q1,q2,qk）的的k个独立的变分来表示，个独立的变分来表示，各质点的虚位移各质点的虚位移 以及在直角坐标上的投影可以表示为：以及在直角坐标上的投影可以表示为：ir1212121

14、2( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni28 质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点系的任意虚位移可用系的任意虚位移可用广义坐标广义坐标（ q1,q2,qk）的的k个独个独立的变立的变 来表示，求来表示，求变分变分的方法与求的方法与求微分微分类似。各质点的虚位移类似。各质点的虚位移 以及在直角坐标上的投以及在直角坐标上的投影可以表示为：影可以表示为：ir12( ,)iikrr q qq1(1,2, )kiijjjrrq inqkqqq,.,2

15、129 121121211212112kiiiiikjjkjkiiiiikjjkjkiiiiikjjkjxxxxxqqqqqqqqyyyyyqqqqqqqqzzzzzqqqqqqqq(1,2,)in12121212( ,)( ,)( ,)( ,)iikiikiikiikxx q qqyy q qqzz q qqrr q qq), 2 , 1(ni30 例例1、分析图示机构在图示位置时，点、分析图示机构在图示位置时，点C、A与与B的虚位移。的虚位移。 (已知已知 OC=BC= a， OA=l )看书看书p321例题例题1 CArarl1、几何法、几何法12sin2 sinCBrP CarP Ba

16、解：此为一个自由度系统，解：此为一个自由度系统， 取取OA杆与杆与x 轴夹角轴夹角为广义坐标。为广义坐标。31 0 , sin2cos , sincos , sin , BBAACCACyaxlylxayaxlrar将将C、A、B点的坐标表示成点的坐标表示成广义坐标广义坐标 的函数，得的函数，得0 , cos2sin , cossin , cosBBAACCyaxlylxayax2、解析法、解析法对广义坐标对广义坐标 求变分，得各点虚求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：位移在相应坐标轴上的投影：sin, cossin, cos2sin, 0CCAABBxayaxlylxay 32 一、虚

17、功一、虚功力力 在质点发生的虚位移在质点发生的虚位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，记为，记为 。 FrWxyzWFrWFxFyFz二、理想约束二、理想约束（书（书p257) 如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，则称这种约束为则称这种约束为理想约束理想约束。 质点系受有理想约束的条件：质点系受有理想约束的条件：0NiiNWFr是该质点的虚位移的约束力，质点为作用在质点系中任一式中，iiiNrMF33 理想约束的例子：理想约束的例子：1、光滑支承面、光滑支承面2、光滑铰链、光滑铰链3、无重刚杆、无重刚杆4、不可伸长的柔索、不

18、可伸长的柔索5、刚体在粗糙面上的纯滚动、刚体在粗糙面上的纯滚动0NNWFr()0NNSCWFFr0NNNWFrFr一般，没有摩擦的约束都属于此类一般，没有摩擦的约束都属于此类34 一、虚位移原理（虚功原理）一、虚位移原理（虚功原理） 具有具有双面双面、理想理想约束的质点系，在给定位置平衡的约束的质点系，在给定位置平衡的必要必要与与充分充分条件是：作用于质点系的所有条件是：作用于质点系的所有主动力主动力在任何在任何虚位移虚位移上所作上所作的的虚功之和虚功之和等于等于零零。即。即0iiFr()0i xii yii ziFxFyFz解析式：解析式：作用点的任一虚位移为力一主动力，为作用在质点系上的任

19、iiiFrF此方程又叫此方程又叫静力学普遍方程静力学普遍方程35 证明证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有必要性：即质点系处于平衡时，必有0iiFr 质点系处于平衡质点系处于平衡 选取任一质点选取任一质点Mi也平衡。也平衡。0iNiFF对质点对质点Mi 的任一虚位移的任一虚位移 ，有，有ir()0iNiiFFr()0iNiiFFr0iiiNiFrFr由于是理想约束由于是理想约束0iiFr0NiiFr所以所以对整个质点系：对整个质点系：36 (2) 充分性：即当质点系满足充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。，质点系一定平衡。若若 ，而质点系不平衡，则至少有第，而质点系不平衡，则至

20、少有第i个质点不平衡。个质点不平衡。0iiFr0iiFr 在在 方向上产生实位移方向上产生实位移 ，取，取 ，则，则iRidriirdr()0iNiiRiiFFrFr()0iNiiFFr对质点系：对质点系：(理想约束下，理想约束下， )0NiiFr 0iFr与前题条件矛盾与前题条件矛盾故故 时质点系必处于平衡。时质点系必处于平衡。0iFr 0iNiRiFFF37 38 图图39 40 41 r42 图图43 r几何法几何法44 ABCDEG45 图图46 解析法解析法（1）系统自由度）系统自由度k=1（2）（3） B，G（4）ABCDEG（5）由由 的任意性的任意性47 48 49 50 51

21、 52 53 54 ABMFCaaaaD55 56 FBxDAMFCaaaarDrBrCC*AB57 58 BMFCAFByDrBrCrD59 虚位移原理虚位移原理0iiFr其中：各主动力作用点的虚位移其中：各主动力作用点的虚位移 并不独立，并不独立，需要在求解时找到虚位移之间的关系。需要在求解时找到虚位移之间的关系。ir又又12( ,)(1,2, )iikrr q qqin1(1,2, )kiijjjrrq inq代入虚功方程：代入虚功方程：111()0knniiiiiijjjrFrFqq（广义坐标的变分是独立的）（广义坐标的变分是独立的）60 111()0knniiiiiijjjrFrFq

22、q11()kijjjniirqFq11()niiikjjjrFqq0交换求和次序：交换求和次序：61 111111121112222221212222kknnnnnnkkkkrrrFFFqqqrrrFFFqqqrrrFFFqqqqqqqqqqqq11212()iiikiknirrrqqqqqFq11()kniijjijrFqq 62 11()0niijjijkqrFq jq 是相互独立的广义坐标的变分，可以认为是是相互独立的广义坐标的变分，可以认为是对应于广义坐标的对应于广义坐标的广义虚位移广义虚位移。1niiijrFqjq为对应于广义坐标为对应于广义坐标 的广义力的广义力记为：记为：1niQjiijrFFq1()niiiixiyizijjjxyzFFFqqq63 11()0niijjijkqrFq 可改写为：可改写为：10kQjjjFq完整约束系统，广义坐标的变分完整约束