[工学]弹塑性力学第七章轴的扭转ppt课件

1、第七章第七章 轴的改动轴的改动 圆轴的弹性改动圆轴的弹性改动 非圆截面杆件的弹性改动非圆截面杆件的弹性改动 圆轴的弹塑性改动圆轴的弹塑性改动 非圆截面杆件的弹塑性改动非圆截面杆件的弹塑性改动71 圆轴的弹性改动圆轴的弹性改动应力分量：应力分量：xyzoMt trxyoyxb btzxtzxtzytzyt tRrpIMr t t24RIp pzxIMy b bt tt tsinpzyIMx b bt tt tsin0 xyzyxt t 应力分量：应力分量：xyoyxb btzxtzxtzytzyt tRrpzxIMy t tpzyIMx t t0 xyzyxt t 0 zyxzxyxxt tt

2、t 0 zyxzyyxyt t t t0 zyxzyzxz t tt t应力边境条件：应力边境条件：xzxyxxFnml t tt t yzyyxyFnml t t t tzzyzxzFnml t tt t侧面：侧面：端面：端面：0, nRymRxl1, 0, 0 nml0, zzyyzxxFFFt tt tMdAxFyFdAFdAFAyxAyAx )(, 0, 0FxFyM2222222zyx 0)1(222 xx 0)1(222 yy 0)1(222 zz 0)1(22 yxxyt t 0)1(22 zyyzt t 0)1(22 xzzxt t 弹性解：弹性解：pzxIMy t tpzyI

3、Mx t t0 xyzyxt t 2. 应变分量：应变分量：pzxIMy t tpzyIMx t t0 xyzyxt t xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEGt t t t )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEGt t t t )1(2 zxzxzxEGt t t t )1(2 0 xy 0 x pzyzyGIMxG t t 0 y 0 z pzxzxGIMyG t t xux yvy zwz yuxvxy zvywyz xwzuzx 0 xy 0 x pzyGIMx 0 y 0 z pzxGIMy 2. 位移分量：位移分量：),(1zyfu ),(2xzfv ),(3yxfw

4、0),(),(12 yzyfxxzfpGIMxzxzfyyxf ),(),(23pGIMyxyxfzzyf ),(),(31pGIMxzxzfyyxf ),(),(23pGIMyxyxfzzyf ),(),(310),(232 yyxf0),(232 xyxfxycycxccyxf32103),( zxbxbzbbxzf32102),( yzazayaazyf32101),( 0),(),(12 yzyfxxzf0)(3321 zbabapGIMxxcbcb )(3321pGIMyyacac )(33210 , 03321 babapGIMcbcb 3321 , 0pGIMacac 3321

5、, 0ppGIMGIMbaccacbba 3331221210yzzcybazyfupGIM 1201),(ycxccyxfw2103),( zxxbzcbxzfvpGIM 2202),(xyzccbwcvbua 212000000, yxwwzxxzvvyzzyuuxyGIMzxGIMyzpp 000位移分量：位移分量：位移条件：位移条件： 1坐标原点固定：坐标原点固定： 2原点的单元固定：原点的单元固定：xyzoMt tr0000 wvu yxwwzxxzvvyzzyuuxyGIMzxGIMyzpp 000位移分量：位移分量：1坐标原点固定：坐标原点固定：0 xyz 2原点的单元固定：原点

6、的单元固定：v 过原点沿过原点沿 z 向的线段在向的线段在 xoz、zoy 面内不转动：面内不转动：0 zvzuv 过原点沿过原点沿 x 向的线段在向的线段在 xoy面内不转动：面内不转动：0 xv刚体位移为零。刚体位移为零。 0wzxvyzuppGIMGIMpGIM 单位长度的单位长度的相对改动角相对改动角 0wzxvyzu pGIM 0wzxvyzu 平截面平截面假设假设xyuvuqrzzGIMrup 0 ru rxyxytg xytg A72 非圆截面杆件的弹性改动非圆截面杆件的弹性改动一、应力分量一、应力分量yxoyxb btzxtzxtzytzyr0 zxt t0 zyt t0 xy

7、zyxt t 0 zyxzxyxxt tt t 0 zyxzyyxyt t t t0 zyxzyzxz t tt t平衡微分方程平衡微分方程xyzoM0 zzxt t0 zzyt t),(yxzyzyt tt t ),(yxzxzxt tt t 0 yxzyzxt tt tyxzyzx )(t tt txyzyzx t t t t),(yx 存在存在）函函数数（：扭扭转转应应力力Prandtl),(yx 2222222zyx 0)1(222 xx 0)1(222 yy 0)1(222 zz 0)1(22 yxxyt t 0)1(22 zyyzt t 0)1(22 xzzxt t yzx t t

8、xzy t t02 zyt t02 x 02 x02 zxt t02 y 02 yC 2边境条件：边境条件：0 zxyxxnmlt tt t 0 zyyxynmlt t t t0 zyzxznml t tt t侧面：侧面：0, ndsdxmdsdylxodydxN Nds0 xdsdxydsdy 0 dsd 1Cs xyzyzx t t t t0 s 侧面边境条件：侧面边境条件：0 s 多连域：多连域：0 es constis 端面：端面：1, 0, 0 nml0, zzyyzxxFxFyF t t t t0 AxdAFxyoyx RrFxFyMdxdyMdAxFyFAyx )(0 AydAF

9、0 Adxdyy AB BAAdyydxdxdyy BAdx dxAB dxdyxxdxdyyyM dyyydxdxdyyyBA dydxBA dyydxBABA dxdy dxdyM 2二、二、 应变分量：应变分量：0 xyzyxt t xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEGt t t t )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEGt t t t )1(2 zxzxzxEGt t t t )1(2 0 xy 0 x xGGzyzy t t 10 y 0 z yGGzxzx t t 1xyzyzx t t t txux yvy zwz yuxvxy zvywyz xwzuzx 0 xy

10、 0 x 0 y 0 z 三、位移分量：三、位移分量：xGzy 1yGzx 1v不计刚体位移不计刚体位移 为单位长度的相对改动角为单位长度的相对改动角zxvyzu rzu 0 ruzuyGxw 1zvxGyw 1wzuyGxw 1zvxGyw 1zxvyzu 2221yGyxw 2221xGyxw Gyx22222 G22 C 2 GC2 GC2 解题步骤：解题步骤：1确定改动应力函数：确定改动应力函数： 2确定应力函数中的待定常数：确定应力函数中的待定常数： 3确定应力分量：确定应力分量： 5确定单位长度的改动角及位移分量：确定单位长度的改动角及位移分量：),(0yxs C 2 dxdyM

11、20 xyzyxt t xyzyzx t t t tGC2 zxvyzu zuyGxw 1zvxGyw 1wxy0AiAabcdFxFyxFyFzyyzxx t t t tMdAxFyFAyx )( dxdyxxdxdyyyM dyyydyyydxdxdyyydcba dydyyydxdcbadcba dydydxdxdyyydcba Accbbdxdydxyy Abcisdxdydxyy AisidxdyA AisidxdyAM 22constis 0 es v多连体：多连体：oabxy012222 byax 1,2222byaxmyx 0 s C 2 Cbabam 22222M端面边境条件

12、：端面边境条件： dxdyM 2 dxdybyaxm122222yAIdAx 2ba34 xAIdAy 234ab abAdAA abm abMm 1,2222byaxabMyx 应力分量：应力分量：abMm 1,2222byaxabMyx yzx t txzy t tyabM32 xbaM32 22zyzxt tt tt t 42422byaxabM ababMbyzx 22max t tt tzxt tzyt tmaxt toabxy012222 byaxM单位长度的改动角：单位长度的改动角：GC2 Cbabam 22222 3322baGMba zxvyzu zuyGxw 1zvxGyw

13、 1位移分量：位移分量： 3322baGMba 3322baGMzybau 3322baGMzxbav 3322baGMxba 3322baGMyba 3322baGMxybaw 扭杆的横截面不再坚持为平面，而翘曲为曲面。扭杆的横截面不再坚持为平面，而翘曲为曲面。oabxy012222 byaxMoabxy0222 ayx 222,ayxmyx 0 ar Gm242 2 Gm M端面边境条件：端面边境条件： abrrdrarmabbm 22)(222222)(44abm )(44abMm 22abmbr AisidAAM 22 22arm 22244)(,ayxabMyx yzx t txzy

14、 t t)(244abMy )(244abMx )(244baGM 四、弹性改动的薄膜比较四、弹性改动的薄膜比较v比较：比较：两个概念完全不同的问题，假设数学表达式一样，两个概念完全不同的问题，假设数学表达式一样，可借助比较直观的简单问题讨论复杂的笼统的问题。可借助比较直观的简单问题讨论复杂的笼统的问题。v薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函数在数学上是类似的，故可用比较方法求改动问题的解答。数在数学上是类似的，故可用比较方法求改动问题的解答。2边境外形与扭杆横截面一样。边境外形与扭杆横截面一样。1薄膜均匀张在程度边境上。薄膜均匀

15、张在程度边境上。3给薄膜施加均匀压力。给薄膜施加均匀压力。q薄膜上的点产生垂度薄膜上的点产生垂度薄膜具有柔顺性薄膜具有柔顺性薄膜只受外表张力作用薄膜只受外表张力作用z(x,y)qz(x,y)公式推导：公式推导：1建立坐标系：建立坐标系：xyoxzo2取微元体：取微元体：dxdy薄膜单位长度上的张力：薄膜单位长度上的张力：TTdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya ab bdxxzzz xz a aa atan dxxzzxb b0 zFxzTdydxxzzxTdy yzTdxdyyzzyTdx 0 qdxdy02222 qyzxzTTqz 2qz(x,y)xyoxzodxdy薄

16、膜在周边上的挠度：薄膜在周边上的挠度：TdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya ab bdxxzzz xz a aa atan dxxzzxb bTqz 2 G22 0 sz0 s 薄膜与支承面间体积的薄膜与支承面间体积的2倍：倍： zdxdyV22 dxdyM 2 GTq2 令令：VMz2, 1薄膜的垂度对应改动应力函数，薄膜与支承面体积的薄膜的垂度对应改动应力函数，薄膜与支承面体积的2倍对应扭矩。倍对应扭矩。 讨论：讨论： GTq2 令令：VMz2, 2薄膜在薄膜在 y 方向斜率对应扭杆在同一点处方向斜率对应扭杆在同一点处 x 方向的剪应力。薄膜在方向的剪应力。薄膜在 x

17、方向斜率对应扭杆在同一点处方向斜率对应扭杆在同一点处 y 方向的剪应力的大小。方向的剪应力的大小。z yyzzx t txxzyx t tv 扭杆横截面上某一点沿恣意方向的剪应力，等于薄膜对扭杆横截面上某一点沿恣意方向的剪应力，等于薄膜对应点处沿垂直方向的斜率。应点处沿垂直方向的斜率。v 最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。Tqz 2 G22 0 sz0 s zdxdyV2 dxdyM yz yzx t txz xyx t t22zyzxt tt tt t 22xy t t grad jyixgrad v 剪应力剪应力 t 等于等于 j 的梯度的模，方向沿的梯度的模

18、，方向沿 j=const 曲线薄膜曲线薄膜中的等高线的切线方向。中的等高线的切线方向。v j 的等值线称剪应力迹线。的等值线称剪应力迹线。v 最大剪应力产生于最大剪应力产生于j 的梯度最大处薄膜中等高线密度最的梯度最大处薄膜中等高线密度最大处。大处。3 3剪应力环量定理：剪应力环量定理： 在改动应力函数的闭合曲线上，剪应力沿其迹线的回路积分剪在改动应力函数的闭合曲线上，剪应力沿其迹线的回路积分剪应力环量与所围面积成正比。应力环量与所围面积成正比。AGds t t2 Adst t证明：证明：jxiy t tjdyidxds dyxdxyds t t AdxdyyPxQQdyPdxGreen :

19、Adxdyyx2222 Adxdy 2 AdxdyG 24 4利用薄膜比较不仅可用实验方法模拟改动问题，而且有利用薄膜比较不仅可用实验方法模拟改动问题，而且有助于寻觅应力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出助于寻觅应力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出最大剪应力的位置。最大剪应力的位置。abxyzxabxzz(y)0 x y G22 Gy222 212CyCyG abxyzxxzz(y)212CyCyG 002 bys 024212 CbCbG 40221bGCC )4(22byG dxdyM 2 22224222bbaadybydxG Gab33 33GabM )4(3223byabM M

20、abxy33GabM )4(3223byabM yabMyzx36 t t0 zyt t2max3abM t t2by M21maxabMb bt t 3GabMb b 1b bb bba1234510 0.1410.2080.2229 0.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246五、薄壁杆件的改动五、薄壁杆件的改动1. 开口薄壁杆件开口薄壁杆件biaiM第第 i 个长条：个长条：33iiibGaM 23iiiibaM t t331iiibaGM 331iiibaGMM 33iibaMG 33iiiiibaMbaM 33iiba

21、GM 33iiiibaMb t t薄膜比较薄膜比较2. 闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件外边境：外边境：a at ttan 0 e VM2 dsMxyd dha ayxq无重刚无重刚性平板性平板内边境：内边境：consti 0 ezhzi 取：取：hGTqi 2d dt th Ah2 AMh2 A：杆壁中心线包围的面积：杆壁中心线包围的面积d dt tAM2 最大剪应力发生在壁厚最小处。最大剪应力发生在壁厚最小处。剪应力环量定理：剪应力环量定理：AGds t t2 AGdsAM d d212 d dGdsAM2122 d dt tAM2 d dGdsAM2122 dsGAMd d 142dsMxyd

22、dqha ayx等厚薄壁杆件：等厚薄壁杆件：d d 24GAMs S ：杆壁中心线全长：杆壁中心线全长 剪力流剪力流S1、 S2、 S3 ：剪应力：剪应力t1、 t2、 t3作用线全长作用线全长3. 具有两个内边境的闭口薄壁杆件具有两个内边境的闭口薄壁杆件A1d3d3A2d1d1qh2h1h3t1t1t2t2d dt th h t td d111h d dt t222h d dt t333h d dt t21hh 221133d dt td dt td dt t VM2 )(22211hAhA )(2222111t td dt td dAAM 剪应力环量定理：剪应力环量定理：AGds t t2

23、 233221331122AGssAGss t tt t t tt t d2d2t3t3A1d3d3qh23. 具有两个内边境的闭口薄壁杆件具有两个内边境的闭口薄壁杆件A2d1d1d2d2h1h3t1t1t2t2t3t3221133d dt td dt td dt t )(2222111t td dt td dAAM 解答：解答：233221331122AGssAGss t tt t t tt t 12321311AsAAsWMd dd dt t 21321312AsAAsWMd dd dt t 2121213AsAsWMd dd dt t 3311121ssGAt tt t 22132122

24、132212312AAsAsAsW d dd dd dd dd dd d21321AA d dd dd d11214d dt tt tAM 1112GAst t 03 t t74 圆轴的弹塑性改动圆轴的弹塑性改动 理想弹塑性资料：理想弹塑性资料： t t1.弹性极限扭矩弹性极限扭矩xyzoMt trttxyoMeRpIMr t t24RIp pIMR maxt t3max2RM t t 弹性解：弹性解：屈服条件：屈服条件：st tt t maxseRMt t 321 2. 弹塑性阶段弹塑性阶段ttxyoMeRxyoMpReMM Rrrrrrrpspspt tt tt t0ttrp AprdAM

25、t t Rrsrsppprdrrrdrrrr t t t t220 Rrsrpsppdrrdrrr20322 t t t t 3341132RrRMpspt t 3. 塑性极限扭矩塑性极限扭矩xyoMpRttrp0 prst tt t 3341132RrRMpspt t xyoMlRtt323slRMt t elMM34 seRMt t 321 4. 剩余应力：当扭矩加至剩余应力：当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。的应力。Mp : Rrrrrrrpspspt tt tt t0卸去的应力：卸去的应力： 按弹性计算按弹性计算ppeIrM t t 3341

26、132RrRMpspt t 341134RrRrpst t剩余应力：剩余应力：ert tt tt t RrrRrRrrrrRrRrrppsppps333341341041341t tt trt tr rst t3st tRrp74 非圆截面杆件的弹塑性改动非圆截面杆件的弹塑性改动一、弹性解一、弹性解 0 se Ge22 dxdyMe 20 xyzyxt t xyezyezx t t t t22zyzxt tt tt t ),(yxe 22xyee t tegrad jyixgradeee 二、全塑性解二、全塑性解0 xyzyxt t xypzypzx t t t t ,22zyzxt tt t

27、t t ),(yxp 22xypp t t塑性应力函数塑性应力函数平衡方程：平衡方程：0 yxzyzxt tt t屈服条件：屈服条件：Tresca ：Mises ：st tt t max 2222sxyppt tt t 22s 223s t t 22223 sxypp t t jyixgradppp kgradp 0 sp dxdyMpl 2kgradp MTkss32 全塑性条件下构件内应力函数应满足的根本方程全塑性条件下构件内应力函数应满足的根本方程边境条件：边境条件：侧面上无面力：侧面上无面力： 端面上：端面上：kgradp 0 sp dxdyMpl 2),(yxp xypzypzx t

28、 t t t讨论：讨论：v对于理想弹塑性资料，剪切屈服极限对于理想弹塑性资料，剪切屈服极限 k 为常数，为常数， | grad p |=k 阐明：应力函数阐明：应力函数 p 所代表的曲面斜所代表的曲面斜率为常数。率为常数。v p (x,y) 是一个等倾斜面构成的多面体，其坡度是一个等倾斜面构成的多面体，其坡度为为k.v一切一切 p (x,y)的等值线是相互平行的，且与截面的的等值线是相互平行的，且与截面的周边境平行。周边境平行。v截面上的总剪应力截面上的总剪应力 t 与与 p (x,y) 的等值线相切。的等值线相切。v塑性极限扭矩塑性极限扭矩Ml 是塑性应力函数所代表曲面所界是塑性应力函数所代表曲面所界体积的体积的 2 倍。倍。vNadai: 沙堆比较法。沙堆比较法。 v Nadai 沙堆比较法：沙堆比较法：v作一个外形与杆件截面一样的底板。作一个外形与杆件截面一样的底板。v在底板上堆放干沙，直至不能再添加为止。在底板上堆放干沙，直至不能再添加为止。v沙子的内摩擦系数为常数，沙堆外表为斜率