概率与数理统计(八)

1、第八章假设检验一、假设检验的根本思想和概念1、根本思想我们以教材例8-1来说明假设检验的根本思想和概念。例：味精厂用一台包装机自动包装味精，袋装味精的重量X N(),0.0152)。机器正常时，其均值=0.5公斤，某日开工后，随机抽取9袋味精, 其净重(公斤)为：0.497, 0.506，0.518, 0.524, 0.498, 0.511，0.520，0.515，0.512问这台包装机是否正常？此例随机抽样取的9袋味精重量都不是正好0.5公斤，这种实际重量和标准 重量不一致的现象，在实际中是经常出现的。造成这种差异不外乎有两种原因： 一是偶然因素影响，如电压波动，金属部件热胀冷缩，称量仪器误

2、差等，称为随 机误差，随机误差是无法防止的；二是条件因素影响，如机器缺陷，部件损耗等， 称为条件误差，那是我们要设法解决的。如果我们断定标准重量已不是0.5公斤,那么原因很可能是第二种原因造成的包装机器工作不正常。问题就是如何根据样本观测值推断“=0.5是否为真？我们不妨先假设包装机是正常的，在统计中用如下符号表示：H 0:丄=0.5, H1- 0.5其中Ho为待检验的假设，称为原假设；H1是与原假设相对立的假设，称为备择假设。我们的任务就是要依据样本观测值在这两对立的假设中作出选择。由于样本均值x是的一个很好的估计，故当Ho为真时，| x-0.5|应很小， 如果| X-0.5|过分大，我们应

3、疑心H。不正确而拒绝H。接受H1。现在的问题究 竟| x-0.5|取值在什么范围才算“比拟大？ “|X-0.5|比拟大这个事件概率有 多少？如果概率很小可以认为是“不可能发生的。我们的方法是构造一个适当的统计量，这里我们构造X-0u=w当Ho为真时，uN(0, 1),对于给定的很小的数0：1，例如取-=0.05|>匕是2P|u|> 七 =P|2个小概率事件,0-/ / n|> 七=：2小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的当:- =0.05我们查附表得u 一 =uo25=1.96,又n=9,；二=0.015,由样本计算得ix =0.511=|u|=|x-二/.n 0.015

4、/3|=2.2>1.96小概率事件居然发生了，这与“ H0:.L = %=0.5的推断矛盾，于是拒绝H0 而认为这台包装机不正常。类似于反证法2、统计假设的概念在许多实际问题中，常需要根据理论与经验对总体X的分布函数或其所含的一些参数作出某种假设H。，这种假设H。称为统计假设。“|u|> u：.这个事件虽是小概率事件，但小概率事件它仍然可能发生发生的概率a ，因此假设根据| u|> U就拒绝Ho也有可能犯错误，就是犯错误的概率2很小，仅为a，换句话说当| u|> 时，拒绝Ho这一判断可信度是1- a2x _这里我们称u=X/ 0为检验统计量，而称区域 W=|u|_Uj为

5、拒绝域。W=|u|亠 u ；-=-二，-u JU二，在假设检验中，小概率a常取0.05,0.01,或0.1, a称为显著性水平。如在 上例中可以说包装机的包装规格与 0.5公斤有显著差异，而显著性水平为 0.05。 作为拒绝域的边界数值，称为临界值，如 W=|u|_u=时，临界值为-口二与u ； 当a =0.05，临界值为-1.96与1.96。3、两类错误数理统计的任务是用样本去推断总体，即从局部去推断整体，当然有可能犯 错误。一类错误是：在H。成立的情况下，样本落入了拒绝域 W，因而H。被拒绝， 称这种错误为第一类错误，又称拒真错误，一般记犯第一类错误的概率为另一类错误是：在H。不成立的情况

6、下，样本未落入拒绝域 W,因而H。被接 受，称这种错误为第二类错误，又称取伪错误，并记犯第二类错误的概率为我们借用条件概率的表示方法简单如下：第一类错误拒真P拒绝H ° | H °为真= a第二类错误取伪P接受H。|H。不真= B二、正态总体均值的假设检验1、u检验重点1方差，单个正态总体均值检验设Xi,X2Xn，是从总体N.二，二02中抽取的一个样本，二0是常数，假设:H。："%,Hi： 八 °其中为数构造检验统计量x - 在假设H °成立时uN0,1,拒绝域 W= , -口空Ju, +o0 ,假设样本算出的u值落在W内，那么作出拒绝H0，否

7、那么认为与H0相容。2方差时，两个正态总体均值的检验了解设X叮打，丫N卩2戸22 其中 12 , 2为常数，Xi,X2Xm和yi,y2yn分别是取自X和丫的样本，且互相独立。假设：Ho：叫=J,H 2检验假设 5=9，等价于假设叫-=0，而X-y是I的好的估计量，且当H。为真时，有x y于是对于给定显著水平a，查表可得临界值U舟使P|U|> U =a从而得拒绝域W=：，uj u，+：再由样本计算u的观测值假设u W,贝册绝H。，否那么就认为H。与相容.2、t检验重点1方差未知时，单个正态总体的均值检验设Xi,X2Xn，是从总体N,：二2中抽取的一个样本，其中二2是未知，假设：H°

8、;： 7,Hi：°其中为数由于二2是未知，故不能用u=X0二。八n进行检验,这时最自然的想法就是用样本方差s2替代总体方差C2，因而构造检验统计量前已经知道，当H。为真时tt( n-1),于是对于给定显著性水平a,查t分布表n -1使得即得拒绝域 W=(-：,-嘗(n-1)(t二(n-1) , +二) 通过样本观测值计算检验统计量t,假设t W，那么拒绝H。，否那么就认为H。与相容P172 例 8-2(2)方差未知时，两个正态总体均值的检验(略)三、正态总体方差的假设检验(了解)1、2检验设XX2xn，是从总体N(i，匚2)中抽取的一个样本，二2未知，假设：H 0 :CT2 =0 ,

9、 比 Q 2其中匚0为常数自然想到看二2的无偏估计s2,当Ho为真时，s2应在二：周围波动，如果s2/；0 很大或很小，那么应拒绝H。，因此构造检验统计量2_(n - 1)s2前，在假设H0成立时22 (n-1)，于是给定显著性水平a，查2表2 2 可得 ：.(n-1 )与1 ：.(n-1),使1 2 222P 2 空 :.(n-1) = P 2>:. (n-1) =a /21 2222从而可得拒绝域 W=(0,1 :. (n-1) ) (:. (n-1 ),+：)1 22假设由样本观测值计算出2的值,2W,那么拒绝Ho，否那么认为与H1相容。2、F检验(了解)检验两个独立正态总体的未知

10、方差是否相等，用F检验设X(卩1,6 ),丫N(卩2®2 )X1,X2Xm和y1,y2yn分别是取自X和丫的样本，且互相独立。假设：Ho ：匚 1=二 2,2由于Si是G的无偏估计，S2是二2的无偏估计，当Ho为真时，自然想到Si与22SS2应该差不多，其比值T2不会太大或太小，前，在假设Ho成立时2s2F(m_1, n _1)S2这样我们取F为检验统计量，对于给定显著性水平，查表确定临界值F/m-1,n -1) F 僅伸-1,n-1)2 2使 pFw 匚_： (m -1,n)= pF> FJm-1, n -1)取得拒绝域 W=(0，(m", n") (FJ

11、m-1, n")，+：2 2假设由样本观测值计算得F值，当F W时那么拒绝Ho，即认为两总体的方差有显著差异，否那么认为与H1相容，即认为两总体的方差无显著差异。第九章回归分析在现实世界中，不少变量之间是存在着一定关系的， 这种关系大体分为两类， 一类是确定性的关系，即函数关系，例如，电学中的电压 V,电流I,电阻三者之间 有匸V/R的函数关系；另一类是非确定性的，这类变量之间有一定关系却又并不 完全确定，例如人的血压与年龄有关，农作物的产量与施肥量有关，这些变量之 间有一定联系，但又不能用普通函数关系式表达。事实上，这些变量是或至少有 一个是随机变量，这种非确定的函数关系称为相关关

12、系。回归分析是研究相关关 系的一种数学工具，是数理统计中常用的统计方法之一，在生产实践和科学研究 中有广泛的应用。一、回归直线方程的建立我们以教材例9-1为例，说明线性回归分析中最简单的一元线性回归分析某种合金的抗拉强度y(kg,mm2)与其中的含碳量x (%)有关，现测12对数据 如表所示：X0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.043.545.045.545.047.549.053.050.055.055.060.0个随机变量，实际观测值 y是丫的疋一个可能取值，随着X变化的丫观测值线性变化的趋势可表示为为了了解其相关关系的

13、表达形式， 在坐标上以(Xi, yi)为点,i=1,2,12 为点画出散点图，这些点大致散布在某 条直线附近，又不完全在一条直线上， 从而可认为y与x的关系根本上是线性 的，而这些点与直线的偏离是其它一切 随机因素影响造成的。一般来说，含碳 量x是一个可测的或可控制的普通变 量，而对任意含碳量X,相应的抗拉强度丫丫= ： o： 1X ；其中IX表示丫随X变化的线性局部是一切随机因素影响的总和一般地,将X取一组不同的值X1, X , Xn，通过试验得到对应丫的值 yi,y2,，yn，这样就得到n对观测值(Xi, yi)，i=1,2,，n。由丫=5必；，可以认为Xi,yi之间有如下关系：yi很；i

14、 (i=1,2，,n)；i N (0,1)此式就是一元线性回归的数学模型回归分析的根本问题是依据样本(Xi, yi)，i=1,2, ,n解决如下问题：(1)求出未知参数j1的点估计值-0， -1，称y=：o+ :1X为y关于x的一元线性回归方程，其图像(直线)称为回归直线， m称为回归系数，飞称为回归常数。(2)回归方程显著性检验.实际问题中丫，X之间是否存在线性关系yio +x 是要经过检验的。利用回归方程进行预测和控制二、最小二乘法要求出y=L+ + x就是要求出-I的点估计-0 , -1，而求出此估计一个 自然又直观的想法便是希望对一切 Xi，观测值yi与回归值£二y必的偏离最厲n.、n小。即选取'-0， '-1使7-yi2=v yi - -o -、x2最小，此法称为最小二乘法， 它涉及高等数学内容，这里直接给出由最小二乘法得出的计算y，.公式。由数据xyi，i=1,2,n计算nn°2 2 2Lxx =二(Xi -X)二二 xi - nxi4i £n nLxy = 6 (Xi xj(yi Xi)=， Xi % nxynAi4那么最小二乘估计为：本例根据样本计算得Lxx =0.0186LXy =2.4292Lyy=335.2292LxyLxx=130.6022-0 =28.5340所以：y