材料力学基础学习目标

1、会计学1材料力学基础学习目标材料力学基础学习目标第一节第一节 土木工程土木工程力学的任务和内容力学的任务和内容图0-1赵州桥纽约世贸中心上海世界环球金融中心悉尼歌剧院斜拉桥 三峡大坝图1-1图1-2（b）（c） 图1-3图1-6图1-7图1-9图1-11 第六章第六章 梁的弯曲梁的弯曲 一、弯曲变形和平面弯曲一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图8-1（a），杆件的轴线由直线变为

2、曲线，这种变），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形，简称形称为弯曲变形，简称弯曲弯曲。图 8-1（a）（b）a第一节第一节 梁的平面弯曲梁的平面弯曲(a)(b)图8-2（c）图8-3（d）（a）（b）（c）图8-4（a）sincosRFFFzyFxM coscosMxFxFMyZsinsinMxFxFMzyIzyMZMz.yyMyIzMy.yyZZMyMzKIzMIyM.)sincos(ZIyIMyZK0sincosyZIyItanzytanyz11II yyZZWMWMmax )sincos(maxmaxyZWWMyWWz、108/yzWW86/yzWWm6 . 3KN/m1q

3、3426，mm140hmm90bMPa10447. 0sin894. 0cos，kN.m62. 18/2max qlM35223522mm1089.16901406mm1094.26140906hbWbhWyZMPa76.8)1089.1447.01094.2894.0(1062.1)sincos(556maxmaxyZWWM5 . 1kN.m2 . 135 . 08 . 05 . 0kN.m5 . 135 . 021yZyZWWlPMlPM )(1maxyZZZWWMW 35yzmm103 .3bhMMWZ5 . 1bhmm96,mm144bhmm100,mm150bhFFeMenmFFNe

4、FMe.nmKNMZzzMZNIyMAF.KzzIyMAF.y、zMF2hyzzzzWMAFWMAFminminmaxmaxzzzzWMAFWMAFminmaxF24aFAN2max2aFWMANyy84222maxaFaFkN1001FkN452Fm2 . 0emm200bmm300hKN14521FFFKN92 . 0452eFMzMPa58.063002001093002001014563maxzzWMAFMPa42.563002001093002001014563maxzzWMAF0maxZZWMAF0620010920010145253hhmm372hmm380MPa78. 387.

5、 1908. 1638020010938020010145263maxZZWMAF图9-11Fz,yeyzeyFeM12MzFe1M2MzyyeeFMFMFFzN，NFKAFNNzMKzzy .IMZMyMKZMIM z .yyKyyzyz .y .IMIMAFZNMMZNYYZZNIzMIyMAF0yYZZNIzMIyMAF0y0z000zIFeyIFeAFyzZy010202zieyieyzzy22,yzziAIiAIz00zyzeiyy20100yzyeizz201ze、ye11zy 、yyzzNyyZzNWMWMAFWMWMAFminmaxyyzzNyyZzNWMWMAFWMWMAFm

6、inmaxkN.m105 . 2105 . 21kN.m1051051kN13333yzNMMFFyyzzNAWMWMAFMPa140A0612maxbhFebhFyhey61图9-13第二节第二节 梁的弯曲内力梁的弯曲内力图8-50yF0sAFFAsFF 剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为Nm，或kNm剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得，即:由得 00M0MaFAaFMA由得 二、剪力和弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定 为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力和弯矩具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定： (1)剪力的正

7、负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正(图8-6a)；反之，为负(图8-6b)。 (2)弯矩的正负号使梁段产生下侧受拉的弯矩为正(图8-7a)；反之，为负(图8-7b)。 如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面 上的 和 ，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出 截面上 的和 大小相等，方向相反，如图8-5(a)所示。mmSFMSFMmm图8-6图8-7 例例8-1 如图8-8(a)所示简支梁。已知 ， 试求截面1-1上的剪力和弯矩。kN301FkN302F图8-8解解:(1)求支座反力由 0AM得 064121BFFF又由 0BM得 062521AFFF由、得 kN35AFkN25BF

8、(2)求截面1-1上的内力1SF1M在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图8-8（b)，内力 和 均先假设为正的方向，列平衡方程： 由 0yF得 011SAFFF由 01M得 01211MFFA由、得 kN5303511FFFAkN401211FFMA 求得 和 均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。 如取1-1截面右段梁为研究对象(图8-8b)，可得出同样的结果。1SF1M 例例8-28-2 一悬臂梁，其尺寸及梁上

9、荷载如图8-9所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。图8-9 解解: : 对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图8-9(b)所示。由 0yF得 01FqaFS由 01M得 021FaaqaM得 kN131SFmkN181M1SF1SF1M1M求得 为正值，表示 的实际方向与假定的方向相同； 为负值，表示 的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。 （二）简易法求内力（二）简易法求内力 求梁的内力还可用简便的方法来进行，称为简易法简易法。通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。 1剪力的规律 计算剪力时，对截面左(或右

10、)段梁建立投影方程，经过移项后可得左ySFF或 右ySFF 上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，其投影取正号(图8-6a)；反之取负号(图8-6b)，此规律可记为“顺转剪力正”。 2求弯矩的规律计算弯矩时，对截面左(或右)段梁建立力矩方程，经过移项后可得左CMM或 右CMM 上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包包括力偶括力偶)对该截

11、面形心力矩的代数和。对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号(图8-7a)；反之取负号(图8-7b)，此规律可记为“下凸弯矩正”。 用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。 例例8-38-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。 图8-10解解: (1)求支座反力图图8-10由梁的整体平衡方程求得kN8AFkN7BF(2)计算1-1截面上的内力由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得kN211FFFASkN122311FFMAxx 以上两个

12、函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图剪力图和弯矩图弯矩图。以沿梁轴线的横坐标 表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩。在土建工程中，习惯上把正剪力画在 轴上方，负剪力画在 轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在 轴下方，负弯矩画在 轴上方，如图8-11所示。xxxxx图8-11 例例8-4 如图8-12()所示，一简支梁受均布荷载作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。 解解:(1)求支座反力由对称关系可得： qlFFBA21(2)列剪力方程和弯矩方程

13、取距A点(坐标原点)为处的任意截面，则梁的剪力方程和弯矩方程为：图8-12qxqlqxFxFAS21)()0(lx 22212121)(qxqlxqxxFxMA)0(lx (3)画剪力图和弯矩图 由式(1)可见， ( )是 的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线，给出两点可得：SFxx0 xqlFSA21lx qlFSB21当 时当 时 根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图8-12()所示。 由式(2)知， ( )是 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值，方可描绘出曲线的大致形状：xxM当 时 0 x0AM当 时 2lx 82qlMC当 时 l

14、x 0BM图8-13 根据上述结果，画出弯矩图，如图8-12()所示。 从上面的剪力图和弯矩图中可得出结论：在均在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值。次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值。 例例8-5 如图8-13(a)，一简支梁受集中荷载 作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。F解解:(1)求支座反力由梁的整体平衡得：0AMlFaFB0BMlFbFA (2)列剪力方程和弯矩方程 梁在 处有集中力作用，故 段和 段的剪力方程和弯矩方程不相同，要分段列出。 段：在距 端为 的任意截面处将梁假想截开，并考

15、虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：CACACCBA1xlFbFxFAS)(11)0(1ax 111)(xlFbxFxMA)0(1ax 段：在距 端为 的任意截面处假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为：CBA2xlFaFlFbFFxFAS)(22)(2lxa)()()(2222xllFaaxFxFxMA)(2lxa(3)画剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图: 图： 段剪力方程 ( )为常数，其剪力值为 ，剪力图是一条平行于 轴的直线，且在 轴上方。 段剪力方程 ( )也为常数，其剪力值为 ，剪力图也是一条平行于 轴的直线，但在 轴下方。画出全梁的剪力图，如图

16、8-13(b)所示。 SFACSF1xlFbxxCBSF2xlFaxx 图： 段弯矩 ( )是 的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只要计算两个截面的弯矩值，就可以画出弯矩图:MACM1x1x当 时， 当 时， 01x0AMlFabMCax 1根据上述计算结果，可画出 段弯矩图。ACCBM2x2x 段弯矩 ( )也是 的一次函数，弯矩图仍是一条斜直线。 ax 2lFabMClx 20BM当 时，当 时， 由上面两个弯矩值，画出 段弯矩图。整梁的弯矩图如图8-13(c)所示。CB 从上述剪力图和弯矩图中可得结论：（1）在无荷载作用梁段，剪力图为平行直线，弯矩图为斜直线；在无荷载作用梁段，剪力图为平行

17、直线，弯矩图为斜直线；（2）在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。 例例8-6 如图8-14(a)所示，一简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解：解：(1)求支座反力 由梁的整体平衡得： 0AMlMFeB图8-140BMlMFeA (2)列剪力方程和弯矩方程 梁在 截面处有集中力偶 作用，应分两段列出剪力

18、方程和弯矩方程。CeM 段：在 端为 的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：ACA1xlMFxFeAS)(1)0(1ax (1)111)(xlMxFxMeA)0(1ax (2)A 段：在 端为 的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则列出剪力方程和弯矩方程为：CBA2x(3)画剪力图和弯矩图 图：由式(1)、(3) 式可知，梁在 段和 段剪力都是常数，其值为 ，故剪力是一条在 轴上方且平行于 轴的直线，画出剪力图如图8-14(b)所示。SFACCBlMexxlMFxFeAS)(2)(2lxa(3)()(222xllMMxFxMeeA)(2lxa(4) 图：由式(2)、(

19、4) 式可知，梁在 段和 段内弯矩都是 的一次函数，故弯矩图是两段斜直线。MACCBx画出弯矩图如图8-14(c)所示。 由上述内力图可得出结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系 上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点，现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度三者之间的关系。 如图8-15(a)所示，梁上作用有任意的分布荷载 ( )，设 ( )以向上为正。现取分布荷

20、载作用下的一微段 作为研究对象，如图8-15（b）所示。qxqxdx图8-15考虑微段的平衡，由 得： 0yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS整理得： )()(xqdxxdFS（8-4-1） 得结论一：梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。 再由 得：0CM0)()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFxMS经过整理得 ：)()(xFdxxdMS（8-4-2） 结论二：结论二：梁上任一横截面上的

21、弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。将式(8-4-2)两边求导，可得：)()(22xFdxxMdS（8-4-3）结论三：梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度。因此可以由分布荷载集度的正负来确定弯矩图的凹凸方向。二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何

22、意义，可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。1无荷载梁段，即 时，弯矩图是一条斜直线。0)(xq2均布荷载梁段，即 常数时， 是 的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。 )(xq)(xMx 这时可能出现两种情况： 时，抛物线下凹； 时，抛物线上凸，如图8-16所示。0)(xq0)(xq图8-16 利用上述荷载、剪力和弯矩三者之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：(1) 分段，即根据梁上外力及支座等情况将梁分成若干段；(2) 根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；(3) 利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的值和值；(4)

23、 根据值和值逐段直接绘出梁的剪力图和弯矩图。例例8-7 一外伸梁，梁上荷载如图8-17(a)所示，已知 ，利用微分关系绘出梁的剪力图和弯矩图。m4l解：解：(1)求支座反力图8-17kN20BFkN8DF(2) 根据梁上的外力情况将梁分为 、 和 三段。ABBCCD(3) 计算控制截面剪力，画剪力图如图8-17（b）所示。(4) 计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-17(c)所示。 例例8-8 一简支梁，尺寸及梁上荷载如图8-18(a)所示，利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。解：解：(1) 求支座反力：kN6AFkN18CF(2) 根据梁上的荷载情况，将梁分为 和 两段，逐段画出内力图。AB

24、BC图8-18(3) 计算控制截面剪力，画剪力图如图8-18(b)所示。 (4) 计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-18(c)所示。一、叠加原理一、叠加原理 由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，图图8-198-19 每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。所以，当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数(内力、支座反力、应力和变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理叠加原理(图8-19)。第五节第五节 叠加法画弯矩图叠加法画弯矩图图8-19二、用叠加法画弯矩图二、用叠加法画弯矩图根据叠加原理来绘制梁的内力

25、图的方法称为叠加法叠加法。由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制，下面只介绍用叠加法作梁的弯矩图。其方法为：先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图，然后将各弯矩图中同一截面的弯矩代数相加，即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。例例8-9 试用叠加法画出图8-20所示简支梁的弯矩图。图8-20解：解：(1) 先将梁上荷载分为集中力偶 和均布荷载 两组。eMq(2) 分别画出 和 单独作用时的弯矩图(图8-20b、c)，然后将这两个弯矩图相叠加。叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。eMq例例8-10 用叠加法画出图8-21所示简支梁的弯矩图。解解：(1) 先将梁上荷载分为两组。其中集中

26、力偶 和 为一组，集中力 为一组。AeMBeMF(2) 分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图(图8-21b、c)，然后将这两个弯矩图相叠加。 图8-21CDACBD本节将推导纯弯曲情况下梁的正应力计算公式。1、实验现象、实验现象图8-22图8-23梁变形后，可看到下列变形现象： (1)驶所有的纵向线都变成为相互平行的曲线，且靠上部的纵向线缩短，靠下部的纵向线伸长。(2) 所有的竖直线仍保持为直线，且仍与纵向线正交，只是相对倾斜了一个角度。 (3) 原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。 根据上述实验现象，我们作如下分析： 根据现象(2)，梁横截面周边的所有横线仍保持为直线，且与纵向曲线垂直。

27、于是可以推断，变形后，梁的横截面仍为垂直于轴线的平面。此推断称为平面假设平面假设，它是建立梁横截面上的正应力计算公式的基础。 根据现象(1)，若设想梁是由无数纵向纤维所组成，由于靠上部纤维缩短，靠下部纤维伸长，则由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，我们称此层为中性层。中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴(图8-24)。 根据现象(1)、(3)，中性层下部纵向纤维伸长而截面的宽度减小，上部纵向纤维缩短而截面的宽度增大，这一变形现象表示梁的上部受压，下部受拉。若假设各纵向纤维间无相互挤压，则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。图8-242、正应力计算公式、正应力计算公式 根据

28、上面的分析，我们来进一步推导梁的正应力计算公式。（1）几何方面纵向纤维的线应变为ydxyd（a ） （2）物理方面 假设纵向纤维受单向拉伸或压缩，所以，当正应力不超过材料的比例极限时，由虎克定律可得yEE(b) 对于指定的横截面， 是常数。所以（b）式表明，正应力 与距离 成正比，即正应力沿截面高度按直线规律变化(图8-26)。中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘处的正应力最大。 Ey图8-26图8-27（3）静力学方面 上面虽已找到了正应力的分布规律，但还不能直接按(b)式计算正应力，这是因为曲率半径 以及中性轴的位置均未确定，这可以通过静力学方面来解决。 对于图8-27所

29、示梁的一个横截面，其微面积 上的法向微内力 组成一空间平行力系。因为横截面上没有轴力，只有位于梁对称平面内的弯矩 ，所以，各微内力沿 轴方向的合力为零，即： dAdAMxAdA0(c) 各微内力对中性轴的矩的和等于截面弯矩 ，即MMdAyA(d) 将式(b)代入式(c)得AAydAEydAE0 因为 0，所以必有E0AyydAAC 式中 为截面形心的坐标。因为截面积 O，则必有CyA0Cy 此式说明中性轴必通过截面的形心。这样，中性轴的位置便确定了。 将式(b)代入式(d)，得MdAyEydAyEAA2式中 ，是与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对轴的惯性矩惯性矩。故zAIdAy2zEIM

30、1(e)式(e)可确定中性层的曲率 ，式中 称为梁的抗弯刚度抗弯刚度。梁的抗弯刚度愈大，曲率就愈小，即梁的弯曲变形就愈小。将(e)式代入(b)式，得：1zEIyIMz(8-6-1)这就是梁横截面上的正应力计算公式梁横截面上的正应力计算公式。例例8-11 长为 的矩形截面悬臂梁，在自由端处作用一集中力 ，如图8-28所示。已知 ， ， ， ， ， ， 求C截面上K点的正应力。lFkN3Fmm180hmm120bmm60ymm3lmm2a 解解 (1)计算 截面的弯矩CmkN623FaMC图8-28(2)计算截面对中性轴的惯性矩4632mm1032.581218012012bhIz(3)计算c截面

31、上K点的正应力MPa17. 61032.586010666yIMzCK二、梁横截面上的剪应力二、梁横截面上的剪应力 在工程中，大多数梁是在横向力作用下发生剪切弯曲。剪切弯曲时横截面上的内力不仅有弯矩，而且还有剪力，因此横截面上除具有正应力外，还具有剪应力。由于剪应力的存在，就不能保证梁的横截面在变形时保持为平面，也不能保证各纵向纤维间不互相挤压。但试验结果及弹性力学的理论分析表明，剪力的存在对正应力的影响很小，如果把纯弯曲的正应力计算公式（8-6-1）用于剪切弯曲，其所产生的误差非常小，并不影响工程计算的精度要求。因此，梁在剪切弯曲时其正应力仍采用公式：进行计算。yIMz 至于梁的剪应力在横截

32、面上的分布情况，要比正应力复杂得多。剪应力公式的推导也是在某种假设前提下进行的，要根据截面的具体形状，对剪应力的分布适当地作出一些假设，才能导出计算公式。本节只简要地介绍几种常见截面形式的剪应力计算公式和剪应力的分布情况，对于计算式将不进行推导。 （一）矩形截面梁的剪应力一）矩形截面梁的剪应力图8-29（）（）（）bJSFzzS（8-6-2）式中： 所求应力点的水平线到截面下(或上)边缘间的面积 对 轴的静矩。zSAz22042222yhbyhyyhbyASz将上式及代入式(8-6-3)，得： 22346yhbha表明，剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化（图8-29（c）。在截面的上下边缘（

33、 ）处的剪应力为零；在中性轴处（ ）的剪应力最大，其值为2hy0yAFbhFSSmax2323即矩形截面上的最大剪应力为截面上平均剪应力( )的1.5倍。AFS/（二）工字形截面梁的剪应力（二）工字形截面梁的剪应力 工字形截面，由于翼缘上的竖向剪应力很小，计算时一般不予考虑，因此，我们也不作讨论。对腹板上的剪应力，我们可以作和矩形截面相同的假设，导出与矩形截面梁的剪应力计算公式形式完全相同的公式。即1bISFzzS（8-6-3） 为所求应力点到截面边缘间的面积(图8-30(a)中阴影面积)对中性轴的静矩。zS 剪应力沿腹板高度的分布规律也是按抛物线规律变化的，如图8-30(b)所示。其最大剪应

34、力(中性轴上)和最小剪应力相差不多，接近于均匀分布。通过分析可知，对工字形截面梁剪力主要由腹板承担，而弯矩主要由翼缘承担。图8-30（）（）图8-31（）（） T T字形截面也是工程中常用的截面形式，它是由两个矩形截面组成(图8-31(a)。下面的狭长矩形与工字形截面的腹板类似，这部分上的剪应力仍用式(8-6-3)计算。剪应力的分布仍按抛物线规律变化，最大剪应力仍发生在中性轴上，如图8-31(b)所示。例例8-12 一矩形截面简支梁如图8-32所示。已知 ， ， ， ， ，求 截面上 点的剪应力。mm3lmm160hmm60bmm401hkN3FmmK图8-32解解 (1)求支座反力及 截面上

35、的剪力mmkN3kN3BSBAFFFFF(2)计算截面的惯性矩及面积 。对中性轴的静矩分别为3404633mm10246040100mm101 .341216010012yAShbIzzA(3)计算 截面上 点的剪应力mmKMPa21. 0100101 .341024103643KdISFzzS第七节第七节 弯曲梁的强度计算弯曲梁的强度计算一、梁的正应力强度计算一、梁的正应力强度计算 在横向力的作用下，梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力。从应力分布规律可知，最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的位置；最大弯曲剪应力发生在中性轴处。为了保证梁能安全地工作，必须使梁内的最大应力不超过材料的容

36、许应力，因此，对上述两种应力应分别建立相应的强度条件。（一）正应力强度条件（一）正应力强度条件 梁内的最大正应力发生在弯矩最大的横截面且距中性轴最远的位置。该最大正应力的值为zmaxmaxzmaxmaxzmaxmaxWMyIMyIM/所以maxmaxzWM（8-7-1）这就是梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件。 对矩形截面(图8-33(a)621223maxbhhbhyIWzz对圆形截面(图8-33(b)3221644maxdddyIWzz图8-33（二）梁的正应力强度计算（二）梁的正应力强度计算 对梁的强度计算，利用强度条件式(8-7-1)，可以解决三种不同类型的问题。1强度校核强度校核

37、已知梁的截面形状、尺寸、梁所用的材料和所承受的荷载(即已知 和 )，可用式(8-7-1)校核构件是否满足强度要求，即是否有maxMmaxmaxzWM2选择截面选择截面 已知梁的材料和所承受的荷载(即已知 、 、 )，根据强度条件可先求出梁所需的抗弯截面模量，进而确定截面尺寸。将式(8-7-1)改写为zWmaxMmaxMWz求得后，再依选定的截面形状，确定截面尺寸。3确定容许荷载确定容许荷载 已知梁的材料、截面的形状、尺寸(即已知 和 )，根据强度条件可求出梁所能承受的最大弯矩，进而求出梁所能承受的最大荷载。将式(8-7-1)改写为zWmaxzWM求出 后，依 与荷载的关系，确定所承受荷载的最大

38、值。maxMmaxM二、梁的剪应力强度计算二、梁的剪应力强度计算（一）梁的剪应力强度条件梁的剪应力强度条件梁内的最大剪应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上。该最大剪应力的值应满足maxmaxmaxbJSFzzS这就是梁的剪应力强度条件梁的剪应力强度条件。 （二）梁的剪应力强度计算（二）梁的剪应力强度计算 在进行梁的强度计算时，必须同时满足梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，正应力强度条件往往是起主导作用的。在选择梁的截面时，通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸，然后再进行剪应力强度校核。对于某些特殊情况，梁的剪应力，强度条件也可能起控制作用。例如，梁的跨度很小，或在支座附近有较

39、大的集中力作用，这时梁可能出现弯矩较小，而剪力却很大的情况，这就必须注意剪应力强度条件是否满足。又如，对组合工宇钢梁，其腹板上的剪应力可能较大；对于木梁，在木材顺纹方向的抗剪能力很差。这些情况都应注意在进行正应力强度校核的同时，还要进行剪应力的强度校核。 例例8-13 如图8-34所示，一悬臂梁长 ，自由端受集中力 作用，梁由N022a工字钢制成，自重按 计算， 。试校核梁的正应力强度。mm5 . 1lkN32FkN/m33. 0qMPa160解解 (1)求最大弯矩的绝对值 mkN4 .485 . 133. 0215 . 132222maxqlFlM(2)查型钢表，N022a工字钢的抗弯截面系

40、数为：3cm309zW(3)校核正应力强度。160MPaMP.4836maxmaxzWM图8-34图8-35满足正应力强度条件。 例例8-14 一热轧普通工字钢截面简支梁，如图8-35(a)所示，已知： ， ， ，钢材的许用力 ，试选择工字钢的型号。m6lkN151FkN212FMPa170解解 （1）画弯矩图，确定 (图8-35（b）) maxMmkN38maxM（2）计算工字钢梁所需的抗弯截面系数为3336max1cm5 .223mm105 .2231701038MWz应选择N020a号工字钢。 前面讨论梁的强度计算时曾经指出，梁的弯曲强度主要是由正应力强度条件控

41、制的，所以，要提高梁的弯曲强度主要就是要提高梁的弯曲正应力强度。 从弯曲正应力的强度条件maxmaxzWM来看，最大正应力与弯矩 成正比，与抗弯截面模量 成反比，所以要提高梁的弯曲强度应从提高值 和降低值 人手，具体可从以下三方面考虑。MzWzWM一、选择合理的截面形状一、选择合理的截面形状 从弯曲强度方面考虑，最合理的截面形状是能用最少的材料获得最大抗弯截面模量。分析截面的合理形状，就是在截面面积相同的条件下，比较不同形状截面的值。 比较一下矩形截面、正方形截面及圆形截面的合理性。截面面积相同时，矩形比方形好，方形比圆形好。如果以同样面积做成工字形，将比矩形还要好。 工程中常用的空心板(图8

42、-37(a)，以及挖孔的薄腹梁(图8-37(b)等，其孔洞都是开在中性轴附近，这就减少了没有充分发挥作用的材料，而收到较好的经济效果。图8-37二、变截面梁二、变截面梁 在一般情况下，梁内不同横截面的弯矩不同。因此，在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。要想更好地发挥材料的作用，应该在弯矩比较大的地方采用较大的截面，在弯矩较小的地方采用较小的截面。这种截面沿梁轴变化的梁称为变截面梁变截面梁。最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大应力同时达到材料的容许应力，由)()(maxxWxMz得截面按式(8-8-1)而变化的梁，称为等强度梁等强度梁。

43、 )()(xMxWz(8-8-1) 从强度以及材料的利用上看，等强度梁是很理想的，但这种梁加工制造比较困难。而在实际工程中，构件往往只能设计成近似等强度的变截面梁。图8-38中所示就是实际工程中常用的几种变截面梁的形式。 图8-38三、合理安排梁的受力三、合理安排梁的受力1合理布置梁的支座图8-392合理布置荷载图8-40 为了保证梁在荷载作用下正常工作，除满足强度要求外，同时还需满足刚度要求。刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形在一定限度内，否则会影响结构的正常使用。例如，楼面梁变形过大时，会使下面的抹灰层开裂、脱落；吊车梁的变形过大时，将影响吊车的币常运行等等。一、弯曲变形的概念一、弯

44、曲变形的概念（一）挠曲线挠曲线 梁在荷载作用下产生弯曲变形后，其轴线为一条光滑的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线挠曲线或梁的弹性曲线。如图8-41的悬臂梁所示。 表示梁变形前的轴线， 表示梁变形后的挠曲线。AB/AB图8-41（二）挠度和转角挠度和转角1挠度挠度 梁任一横截面形心在垂直于梁轴线方向的竖向位移 称为挠挠度度，用 表示，单位为 ，并规定向下为正。2转角转角 梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的转转角角，用 表示，单位为 (弧度)，并规定顺时针转为正。/CCymmrad 二、求梁弯曲变形的方法二、求梁弯曲变形的方法 求梁的变形可用积分法和叠加法。 积分法是对挠曲线方程进

45、行两次积分，从而得到挠度和转角（从略）。 叠加法是在小变形线弹性范围内，几个荷载共同作用下梁的变形，可由每个荷载单独作用下梁的变形进行叠加（求代数和）而得到。 梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从教材表8-1中查得。例例8-17 试用叠加法计算图8-42所示简支梁的跨中挠度 与 截面的转角 。CyAA解解：可先分别计算与单独作用下的跨中挠度 和 ，由表8-1查得：1Cy2CyzCzCEIFlyEIqly4838453241、 共同作用下的跨中挠度则为qFzzCCCEIFlEIqlyyy4838453421同样，也可求得 截面的转角为AzzAAAEIFlEIql16242321图8-42 三、梁的

46、刚度条件三、梁的刚度条件 建筑工程中，通常只校核梁的最大挠度，通常是以挠度的许用值 与梁跨长 的比值 作为校核标准的。即梁在荷载作用下产生的最大挠度 与跨长 的比值不能超过 ：fllfmaxyf llflflylfmax这就是梁的刚度条件刚度条件。在工程设计中，一般先按强度条件设计，再用刚度条件校核。例例8-19 8-19 一简支梁由N028b工字钢制成，跨中承受一集中荷载 如图8-44所示。已知 ， ， ， ， 。试校核梁的强度和刚度。20KNFm9lGPa210E MPa1705001lf解解：(1) 计算最大弯矩mkN4549204maxFlM(2) 由型钢表查得N028b工字钢的有关数

47、据：43cm006.7480cm286.534zzIW(3) 校核强度170MPaMPa2 .8410286.534104536maxmaxzWM梁满足强度条件。(4) 校核刚度5001465110006.74801021048)109(102048432332lfEIFllfz梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用N N032a工字钢，其，则：4cm525.11075zI5001689110525.110751021048)109(102043233lflf改用N032a工字钢，满足刚度条件。四、提高梁刚度的措施四、提高梁刚度的措施（一）提高梁的抗弯刚度（二）减小梁的跨度（三）改善荷载的分布情

48、况 一、应力状态的概念一、应力状态的概念 （一）应力状态的概念 通过构件内某一点处所有不同截面上的应力情况的集合通过构件内某一点处所有不同截面上的应力情况的集合，称为一点处的一点处的应力状态应力状态。 在研究一点处的应力状态时，往往围绕该点取一个微小的正六面体，称为微元体微元体。作用在微元体上的应力可认为是均匀分布的。（二）应力状态分类 微元体上三对平面都存在应力的状态，称为空间应力状态空间应力状态，如图8-45()所示； 只有两对平面存在应力的状态，称为平面应力状态平面应力状态，如图8-45()所示； 只有一对平面存在应力的状态称为单向应力状态单向应力状态，如图8-45 ()所示。 若平面应

49、力状态的微元体中，正应力都等于零，仅有剪应力作用，则称为纯剪切应力状态(图8-45)。 本节主要研究平面应力状态。图8-45y二、平面应力状态分析二、平面应力状态分析分析平面应力状态的方法有两种，即解析法和图解法。这里只介绍解析法。（一）斜截面上的应力分析（一）斜截面上的应力分析解析法解析法设从受力构件中某一点取一微元体置于 平面内，如图8-46(a)所示 xy 已知 面上的应力 及 ， 面上的应力有 及 。根据剪应力互等定理 可求任一斜截面上的应力。xxxyyyyx图8-462sin2cos22xyxyx（8-10-1）2cos2sin2xyx（8-10-2）式(8-7-1)和式(8-7-2

50、)是计算平面应力状态下任一斜截面上应力的一般公式。例例8-12 图示微元体各面应力如图8-47所示，试求斜截面上的应力 、 。解解： MPa32.5223202125030250302sin2cos22xyxyxMPa66.18212023250302cos2sin2xyx图8-47（二）主平面和主应力（二）主平面和主应力 剪应力等于零的截面称为主平面主平面，主平面上的正应力称为主应力主应力，主应力即是正应力的极值。主平面位置可由上式确定，即：yxx22tan0（8-10-3）22maxmin22xyxyx（8-10-4）最大主应力和最小主应力：（三）剪应力极值及其平面位置（三）剪应力极值及其

51、平面位置xyx22tan1（8-10-5）22maxmin2xyx（8-10-6）例例8-20 求图8-49(a)所示一微元体的主应力与主平面，最大剪应力。 图8-49解解：(1) 确定微元体的主平面33. 1)20(2020222tan0yxx4 .6390,6 .2600(2) 计算主应力MPa2030202) 1(2021020222222maxmin13xyxyx由此，三个主应力分别为：MPa20, 0MPa,30321(3) 最大剪应力可由式(8-10-7)直接得出：MPa252)20(30221max 三、梁的主应力和主应力迹线三、梁的主应力和主应力迹线 （一）梁的主应力（一）梁的

52、主应力 梁在剪切弯曲时，横截面上除了上、下边缘及中性轴上各点处只有一种应力外，其余各点都同时存在正应力和剪应力。利用上一节的公式可以确定梁内任一点处的主应力。（二）主应力迹线的概念（二）主应力迹线的概念 图8-51(b)所示为一简支梁在均布荷载作用时的主应力迹线。其中，实线代表主拉应力迹线，虚线代表主压应力迹线。因为微元体的主拉应力和主压应力的方向总是相互垂直的，所以，主拉应力迹线和主压应力迹线总是正交的。梁的上、下边缘处，主应力迹线为水平线，梁的中性层处，主应力迹线的倾角为。在钢筋混凝土梁中，受拉钢筋的布置大致与主拉应力迹线一致(图8-51所示)。 图8-50图8-51crFcrFF crp

53、F lxywwFxMcr.)( )M xcr( )EIwM xF w EI2crFkEI20wk wsincoswAkxBkx0 x 0w 0B sinwAkxxl0w sin0Akl 0A )( f0w sin0kl kln 1,3,5,n 1n crFkllEI 2cr2EIFlElI22)( lEIPcrlcrFcrAFcrcrAlEIcr22AIiAiI或222222ilElEicr，则令il22EcrcrpPcrE22PPEPPEPp21crscppcrcrabab000p scrs0s0absb00p2crsc10.43ccs0.57E cststcrcrPnFFststcrn s

54、tcrcrn stcrn Q235钢16锰钢木材Q235钢16锰钢木材01020304050607080901001.0000.9950.9810.9580.9270.8880.8420.7890.7310.6690.6041.0000.9930.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.6680.5750.4700.3700.3001101201301401501601701801902000.5360.4660.4010.3490.3060.2720.2430.2180.1970.1

55、800.3840.3250.2790.2420.2130.1880.1680.1510.1360.1240.2480.2080.1780.1530.1330.1170.1040.0930.0830.075stcrnppncrFstststn 0nnststst n0pF1ls2lsnst n3maxp1(sin30 )(25 100.5) 1.25MFl315.63 10 (N m)15.63(kN m)3Npcos3025 10cos30FF321.65 10 (N)21.65(kN)333222102cm102 10 mm21.5cm21.5 10 mmzWA33maxNmax392415

56、.63 1021.65 10102 101021.5 1010zMFWA6163.2 10 (Pa)163.2(MPa)235Qss235 162(MPa)1.45nmax 但 max( ) 100% 0.7%5%Npp2sin3025(kN)CDFFF5(mm)4IdiA1.0p31.00.551101015 10li222932Pcrcr22206 10(20 10 )41104EdFA 352.8 10 (N)52.8(kN)crPcrwstwN52.82.11 1.825CDFnnF235Qxy0 . 1z6 . 0yxzKN35F MPa206212242622552(mm )A 3

57、3212242262226 151212zI 447.40 10 mm334424 1262221.41 10 (mm )1212yI47.40 1011.58(mm)552zzIiA41.41 105.05(mm)552yyIiA11.075064.811.58zzzli20.658068.95.05yyyli68.9y90.849(0.8440.849)0.84510st 0.845206174(MPa) 3st635 1063.4(MPa) 552 10FA13TCm6mm300MPa1011 68010.34li8022110.3988011656562 0.398(10 10 )(0

58、.3)281.34FA 22616010.34li22280028000.10916062 0.109(10 10 )(0.3)774FA KN77KN3 .281l(a)(b)(a)(b)Q235钢16锰钢木材Q235钢16锰钢木材01020304050607080901001.0000.9950.9810.9580.9270.8880.8420.7890.7310.6690.6041.0000.9930.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.6680.5750.4700.3700

59、.3001101201301401501601701801902000.5360.4660.4010.3490.3060.2720.2430.2180.1970.1800.3840.3250.2790.2420.2130.1880.1680.1510.1360.1240.2480.2080.1780.1530.1330.1170.1040.0930.0830.075按约束效用区分按约束效用区分，平面结构的支座一般可分为以下几类。 结构位移线位移：通常用构件轴线上各点位置的变化表示移动，称为线位移线位移。 角位移：用横截面绕中性轴的转角表示转动，称为角位移角位移。 （1）荷载（2）温度改变（3）

60、支座位移（4）制造误差； （5）材料收缩二、结构位移计算的目的二、结构位移计算的目的(1) 为了验算校核结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许的位移限值。(2) 为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，还必须考虑位移条件。FWCOSPABP常力作的功FFdFF力偶作的功MFdW作功的两个因素：作功的两个因素：力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移统称为统称为广义位移广义位移统称为统称为广