线性方程组解的结构与向量空间学习教案

1、会计学1第一页，共42页。1 学习(xux)目的及思路2 齐次线性方程组解的结构(jigu)3 非齐次线性方程组解的结构4 向量空间第1页/共41页第二页，共42页。 sectionsectionsectionsection1学习目的(md)及思路第2页/共41页第三页，共42页。第四章掌握齐次线性方程组解的结构及齐次线性方程组解的表示方法； 掌握非常齐次线性组解的结构及有无解的判定(pndng)方法，在有解的情况下，会求出它的所有解；掌握向量组的正交化过程。的结构非的结构矩阵第3页/共41页第四页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章重点(zhngdin) 线性方程组解的

2、结构及解的求法难点 线性方程组解的 求解第4页/共41页第五页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第一章“ 工 欲 善 其 事 ， 必 先 利 其 器工 欲 善 其 事 ， 必 先 利 其 器 ” 长期以来“线性代数”课程一直采用板书式的教学方式，教学手段比较落后然而经典线性代数的课程中介绍的都是手工推导的方法，不适合高阶矩阵的分析与计算，学生初学起来比较吃力所以需要引入计算机数学语言来解决这些估计(gj)问题，利用计算机的仿真软件处理代数问题可以达到事半功倍的效果。因此，我们补充了二方面内容，一方面用MATLAB仿真直观显示问题的几何意义，另一方面用MATLAB软件辅助运算，使

3、学生获得用软件辅助解决复杂数学问题的能力。第5页/共41页第六页，共42页。 sectionsectionsectionsection2齐次线性方程组解的结构(jigu)第6页/共41页第七页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章齐次线性方程组的一般形式为 或矩阵形式为000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0AX第7页/共41页第八页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章定义1 设 是齐次线性方程组的一组解向 量，满足 (1) 线性无关， (2)方程组的任意一个解都可由 线性表示； 则称 为方程组的一

4、个基础解系. r,21r，21r，21r,21问题一 齐次线性方程组的基础解系是否一定存在？问题二 若齐次线性方程组存在基础解系，那它含有(hn yu)多少个解 向量？第8页/共41页第九页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章性质1 若 为方程组的解，则 也是方程组的解. 21,XX21X证明(zhngmng) 因为 000)(2121AAA所以 是方程组的解. 21X性质2 若 为方程组的解， 是任意实数， 则 也是方程组的解. XX证明(zhngmng) 00)()(AA因为 所以 也是方程组的解. X第9页/共41页第十页，共42页。例1 求齐次线性方程组的通解与基础

5、解系02203402220224321432143214321xxx-xxxxxxxxxxxxx解 对系数矩阵A进行(jnxng)初等行变换,化为行最简形0000000034210352011221341122121221A线性代数(xin xn di sh) 第四章第10页/共41页第十一页，共42页。其对应(duyng)同解方程组为432431342352xxxxxx4433432431342352xxxxxxxxxx线性代数(xin xn di sh) 第四章或第11页/共41页第十二页，共42页。令 依次等于 ，从而得到方程组的通解43xx ，21cc，1034350122214321

6、ccxxxx基础(jch)解系 TT103435012221，线性代数(xin xn di sh) 第四章第12页/共41页第十三页，共42页。341001xx 得基础(jch)解系 TT103435012221，1034350122214321ccxxxx通解(tngji)21cc，为任意常数线性代数 第四章注：说明不一定存在基础解系，基础解系中解向量 的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。第13页/共41页第十四页，共42页。第四章第14页/共41页第十五页，共42页。 sectionsectionsectionsection3非齐次线性方程组解的结构(jigu)第15页/共41页第十六页

7、，共42页。 非齐次线性方程组一般形式为 矩阵形式为 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bAx 线性代数(xin xn di sh) 第四章第16页/共41页第十七页，共42页。设 及 都是非齐次线性方程组的解， 则 是其导出组的解. 1x2x21x0)(2121bbAAA21xxxxbbAAA0)(x线性代数(xin xn di sh) 第四章第17页/共41页第十八页，共42页。定理1 若 是非齐次线性方程组的一个已知解， 是 其导出组的通解，则非齐次线性方程组的通解为x线性代数(xin xn di sh) 第四章第18页

8、/共41页第十九页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章例1 求解非齐次线性方程组7737169334154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解 对增广(zn un)矩阵B施行初等行 变换，先化为行阶梯形 再化为行最简形.第19页/共41页第二十页，共42页。0000000000322131103727320186412043260432601115177371161933411111151B可见 =24（未知数个数），所以方程组有无穷多组解，其同解方程组为)()(BRAR线性代数(xin xn di sh) 第四章第20页/共41页第二十一页，共

9、42页。4433432431322131372732xxxxxxxxxx若取 ，则由上式可得方程组的一个特解0,043xx线性代数(xin xn di sh) 第四章第21页/共41页第二十二页，共42页。原方程组的导出组的一个(y )基础解系为10212701313221，003237故原方程组的通解为 2211ccx21,cc为任意常数线性代数(xin xn di sh) 第四章特解第22页/共41页第二十三页，共42页。第四章第23页/共41页第二十四页，共42页。 sectionsectionsectionsection4向量(xingling)空间第24页/共41页第二十五页，共42

10、页。定义1 设有n 维列向量 令 称 为向量x与y的内积. nnyyyyxxxx2121，nnyxyxyxyx2211,yx时 ， 其 内 积 可 用 矩 阵 形 式(xngsh)表示为nnTyyyxxxyxyx2121),(,线性代数(xin xn di sh) 第四章当x 与y 都是n 维列向量第25页/共41页第二十六页，共42页。定义(dngy)2 设有n 维列向量nxxxx21令 称 为向量x的范数（或长度）. 22221,nxxxxxxx定义3 设 ， , 令0 x0yyxyx,arccos称为向量(xingling)与向量(xingling)的夹角.线性代数 第四章第26页/共4

11、1页第二十七页，共42页。第四章定义4 设x,y 是两个n 维向量，若 =0，则称x与y正交. ,yx定义5 若非零向量 两两正交，则称该向量组是 正交向量组. 称由单位向量组成的正交向量组为标准 向量组，或单位正交向量组. r,21定义6 如果n 阶方阵A 满足 （即 ） 则称A 为正交矩阵, 称线性变换 为正交变换.EAAT1 AATAXY 第27页/共41页第二十八页，共42页。010100001313232323132323231cossinsincos，EnTnTT,121jijijTi当当01nji, 2 , 1,线性代数(xin xn di sh) 第四章第28页/共41页第二十

12、九页，共42页。定理2 方阵为正交矩阵的充分(chngfn)必要条件是它的列（或行）向 量都是单位向量，且两两正交. 性质(xngzh): 正交变换保持向量的长度不变.线性代数 第四章第29页/共41页第三十页，共42页。定义7 设n 维向量的全体构成的集合为 , V 是 的非空子集. 若V 对于向量加法及数乘两种运算封闭，即对任意的 和常数 都有 那么就称V 为 的一个子空间. nRnRV,VV,nR线性代数(xin xn di sh) 第四章第30页/共41页第三十一页，共42页。设V 为 的子空间，若V 中的向量组 满足 （1） 线性无关； （2）V 中任意一个向量都可由 线性表示. 那

13、么向量组 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数，记作 ；并称V 为一个 r 维向量子空间. nRr,21r,21r,21r,21rV dim正交基：两两正交的向量(xingling)组成的基.正交规范基：由单位向量(xingling)组成的正交基.线性代数(xin xn di sh) 第四章第31页/共41页第三十二页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第四章线性代数第四章第32页/共41页第三十三页，共42页。打开(d ki)微信扫一扫线性代数学到老第33页/共41页第三十四页，共42页。第一章蓝色主色调：四种(s zhn)红色黑色白色第34页/共41页第三十五页，共42页。

14、线性代数(xin xn di sh) 第一章第35页/共41页第三十六页，共42页。小标题：微软雅黑28蓝色文字内容(nirng)：微软雅黑24蓝色行距：1.3倍行距线性代数(xin xn di sh) 第一章第36页/共41页第三十七页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第一章24721262612412111231231231122462262724xxxxxxxxx 6100298024721()()3R AR B例1 求解(qi ji)线性方程组故线性方程组有唯一解123476xxx解第37页/共41页第三十八页，共42页。24微软雅黑蓝色20微软雅黑蓝色线性代数(xin xn di sh) 第一章24微软雅黑蓝色20微软雅黑蓝色24微软雅黑蓝色20微软雅黑蓝色24微软雅黑蓝色20微软雅黑蓝色第38页/共41页第三十九页，共42页。线性代数(xin xn di sh) 第一章第39页/共41页第四十页，共42页。