湖南省2020届高三上学期月考试题数学(理)

1、答案第 1 页，总 11 页2020 届高三月考数学（理科）试题测试时间： 120 分钟卷面总分： 150 分注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设,ar i为虚数单位 .若复数2(1)zaai是纯虚数，则复数3aii在复面上对应的点的坐标为（）3, 2a. （-）32b.（，- ）3,1c.（

2、）31d.（，）2已知集合2222log4,3200ax yxbx xmxmm，若ba，则实数m的取值范围为（）a4，b4，c2，d2，3已知31sin,cos,43为锐角，则sin的值为（）a3 72 212b32 1412c3 72 212d32 14124周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、 谷雨、 立夏、 小满、 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、 立春、春分日影长之和为315 尺，前九个节气日影长之和为855 尺，则立夏日影长为（）a15 尺b 25 尺c3 5 尺d45 尺5已知函数22,2( )1(3) ,24xxf

3、xxx，则定积分41( )f x dx的值为 ( ) a948b144c12d3246已知6cos()43，则sin2的值为（）a13b23c13d237若定义在 ? 上的偶函数 ? (? )满足 ? ( ? + 2) = ? ( ? )且?0,1时， ? ( ? ) = ? ，则方程5( )logf xx的零点个数是（）a5个b 6个c7个d8个8已知抛物线c：24yx的焦点为f，准线为l，p 是l上一点， q 是直线 pf 与 c 的一个交点，若4fpfquu u ruuu r，则qf=（） a52b2 c32d1 9已知函数32( )31f xaxx，若( )f x 存在唯一的零点0 x

4、，且00 x，则a的取值范围是 ( )a 2,b1,c, 2d, 110设函数 f(x)sin(2x4)90,8x，若方程 f(x)a 恰好有三个根， 分别为 x1，x2，x3(x1x2x3)，则 x12x2x3的值为 () a b.34c.32d.7411已知函数2( )1(0)xf xxex与)ln(2axxxg图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a.)1,(eb.),(ec.(,1)d.(1,)e12. 设 anbncn的三边长分别为an,bn,cn， anbncn的面积为 sn， n=1,2,3, 若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn1cnan2，cn1bnan2

5、，则 ( ) asn为递减数列b. sn为递增数列c. s2n1 为递增数列， s2n为递减数列d. s2n1 为递减数列， s2n为递增数列二、填空题：本题共4小题，每小题5 分。13( )ln,f xxx设函数( )f x图像上点p 处的切线的倾斜角为， 则的取值范围是_. 14已知平面向量ar (1,2)，br(4,2)，crarmbr(mr)，且cr与ar的夹角等于cr与br的夹角，则m_. 15 已知cba,分 别为abc三个 内角cba,的对边， a=1 ，且(1)(sinsin)sin,babcbc（则abc面积的最大值为_16已知函数23fxxx，xr 若方程10fxa x恰有

6、 3 个互异的实数根，则实数a的取值集合为_答案第 3 页，总 11 页三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.( 本小题满分12 分）已知函数f(x)sin( x+6) b. (1)若函数 f(x)的图象关于直线x6对称，且 0,3，求函数f(x)的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x 0，712时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围18. （本小题满分12 分）衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包。他一直在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是100g, 上下浮动0.5g. 在这位同学眼中，这运用数学

7、语言表达就是：肉包的质量服从期望为100g, 标准差为0.5g 的正态分布。（1）假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少于 100g 的概率。（2）出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到25 个肉包质量（ x）的数据（单位： g）如下表：98.3 97.2 96.6 101.0 100.8 95.4 95.2 96.9 96.8 99.8 101.1 99.7 99.2 100.1 100.6 95.7 95.0 96.9 97.1 97.5 95.2 95.9 98.7 100.0 96.1 设从这 25 个肉包中任取2个，其质量不少于100g 的

8、肉包个数记为，求的分布列及e（）；（3）该同学计算这25 个肉包质量 (x) 的平均值x=97.872g,标准差是2.016g,他认定面点师在制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门。食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点师也承认自己的错误,并同意作出改正。该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉包。他又认真记录了25 个肉包的质量，并算得他们的平均值为100.26g,标准差是0.508g.于是该同学又一次将面点师举报了。请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说该同学又一次举报的理由。19（本小题满分12 分）如图， 在四棱锥 ?- ?中，pa底面 abcd ，adab，a

9、bcd,ad=dc=ap=2,ab=1.点? 为棱 ? 的中点。（1）证明： pd面 abe；（2）若 f为棱 pc上一点，满足bfac ，求二面角 f - ab - d的余弦值。20（本小题满分12 分）如图，曲线c由上半椭圆22122:1(0,0)yxcabyab和部分抛物线22:1cyx0y连接而成，12,cc的公共点为,a b，其中1c的离心率为32. （）求,a b的值；（）过点b的直线l与12,c c分别交于,p q（均异于点,a b），若paq为钝角，求直线l的斜率的范围. 21（本小题满分12 分）已知函数2( )8lnf xxxax(1)当1x时，( )f x取得极值，求?

10、的值(2)当函数( )f x有两个极值点12,x x12()xx，且1x1时总有21111ln(2)(43)1axmxxx成立，求m 的取值范围（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4 一 4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线1c的参数方程为2cos(sinxy参数） ，以原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2c是圆心的极坐标为（7,2）且经过极点的圆（1）求曲线c1的极坐标方程和c2的普通方程；（2）已知射线(0)3分別与曲线c1，c2交于点 a， b（点 b 异于坐标原点o

11、），求线段 ab 的长 . 23选修 4 一 5：不等式选讲：（10 分）已知函数( )|2 |f xkx，kr，且(2)0f x的解集为 1,1. （1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且111123kakbkc，求证：1231999abc. 答案第 5 页，总 11 页2020 届高三月考数学（理科）答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案b d d d c c d c a c c b 1342（， ）14.m=121534161,9【解析】试题分析：（方法一） 在同一坐标系中画23fxxx和1g xa x的图象（如图） ，问题转化为fx与g x图象恰有三个

12、交点当1ya x与23yxx（或1ya x与23yxx） 相切时，fx与g x图象恰有三个交点 把1ya x代入23yxx，得231xxa x，即230 xa xa，由0，得2340aa，解得1a或9a（方法二）显然1a，231xxax令1tx，则4,44,tt，45,19,tt结合图象可得1a或9a。考点：方程的根与函数的零点17、解：(1)函数 f(x) sin(x+6) b，且函数 f(x)的图象关于直线x6对称， 66k 2(kz)，且0,3 ， 2.由 2k 2 2x62k 2(kz)，解得k 3xk 6(kz)，函数f(x)的单调递增区间为k 3，k 6(kz)(2)由(1)知 f

13、(x)sin 2x6b. x 0，712， 2x66，43.当 2x66，2，即 x 0，6时，函数f(x)单调递增；当2x62，43，即 x6，712时，函数f(x)单调递减又 f(0)f3， 当 f3 0f712或 f60 时，函数 f(x)有且只有一个零点，即 sin43 bsin56或 1b0，13(,122. 故实数 b 的取值范围为13(,122. 18、（1） 由已知可得该同学从该食堂购买任意一个肉包，其质量不少于 100g 的概率为12，所以该同学从该食堂任意购买 2 个肉包，其质量不少于 100g 的肉包数概率为111224。（2）的取值可以是0,1,2. p（=0）=191

14、83420.572524600p（=1）=1966192280.3825242524600 p（=2）650.0525240 1 2 p 0.57 0.38 0.05 （3）该同学经过仔细思考，认为标准差代表了肉包重量的误差，可以理解成面点师手艺的精度， 这个数字在短时间内很难改变，这对面包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，该同学断定只能是随机性出现了问题也就是肉包的来源不是随机的，而是人为设定的， 最大的可能就是每当该同学到来时，面点师从现有肉包中挑选一个较大的给了该同学，而面点师的制作方式根本没有改变肉包质量的平均值从 97.872g 提高到了 100.26g 也充分说明了这一点 .

15、答案第 7 页，总 11 页19 (1)证明见解析 .(2) 1010. 详解：依题意，以点? 为原点，以 ? 、ad、ap为轴建立空间直角坐标系如图，可得 ? (1,0,0) ,? (2,2,0),? ( 0,2,0) ,? (0,0,2)由? 为棱 ? 的中点，得 ? ( 1,1,1)（1）向量 ? ? = ( 0,1,1),? = (0,2, -2 )故? ? ? = 0, ? ? ,又 ab面 pad.所以 ab面 pd。故 pd面 abe（2）? ? ? ? ? = (1,2,0) ,? ? ? ? ? = (-2, -2,2 ),? ? ? ? ? = (2,2,0),? = (

16、1,0,0)由点 ? 在棱 ?上，设 ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ,0 ?1故? ? ? ? = ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? = (1 - 2?, 2 -2?, 2? )由? ? ，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0因此， 2(1 - 2? ) + 2(2 -2? ) = 0,?=34即? ? ? ? = (-12,12,32)设?1? ? ? ? = ( ?, ?, ? )为平面 ?的法向量，则 ?1? ? ? ? ? = 0?1? ? ? ? ? ? ? ? = 0，即 ?= 0-12? +12?

17、+32? = 0不妨令 ? = 1，可得 ?1? ? ? ? = ( 0,3,-1 )为平面 ?的一个法向量取平面 ?的法向量 ?2? ? ? ? = ( 0,0,1)，则 cos? ?1? ? ? ? ,?2? ? ? ? ?=?1? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? |?1? ? ? ? ? |?|?2? ? ? ? ? |=110=1010所以二面角 ?- ? -? 的余弦值为 1010点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（ 1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

18、的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系；（ 5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20 () 2,1ab; ()8153kk且. 【解析】1 ）由 上半椭 圆22122:1(0,0)yxcabyab和部 分抛物22:10cyxy公共点为,a b，得1b，设2c的半焦距为c，由32cea及2221acb，解得2a；（2）由（1）知，上半椭圆1c的方程为22104yxy，1,0b，易知， 直线l与x轴不重合也不垂直，故可设其方程为10yk xk，并代入1c的方程中，整理得：22224240kxk xk，由韦达定理得2224pbkxxk，又1,0

19、b，得2244pkxk，从而求得284pkyk，继而得 点p的 坐标 为22248,44kkkk， 同理 ，由21010yk xkyxy得 点q的 坐 标为21,2kkk，最后由0ap aqu uu r uuu r,apaquu u ruuu r与不共线解得8153kk且，21（） ?= 6;（） m 1. 【解析】试题分析：求导后，代入?= 1，?(?) 取得极值，从而计算出? 的值，并进行验证(2)由函数?(?) 有两个极值点算出0 ? 8，继而算出 0 ?1 0，构造新函数 ?(?)= 2ln?+(?-2)(?2-1)?，分类讨论 ?= 2、? 2、? 0)，? (1)= 0，则 ?=

20、6检验 ?= 6时， ?(?)=2(?-1)(?-3)?(? 0) ，所以 ?(0,1) 时， ?(?) 0，?(?) 为增函数；?(1,3) 时， ? (?) 0，?(?) 为减函数，所以?= 1为极大值点（） ?(?) 定义域为 (0, +)，有两个极值点?1,?2(?1 0?(0)= ? 0?= 2 0，所以 0 ? 8答案第 9 页，总 11 页?1+ ?2= 4?1?2=?20 ?1 ?2.所以 ?2= 4 -?1?= 2?1?2= 2?1(4 - ?1)0 ?1 ?2，所以 0 ?1 2这样原问题即0 ?1 (? -2)(4 + 3?1- ?12)成立即2?1(4-?1)ln?11

21、-?1 (? - 2)(4 - ?1)(?1+ 1)即2?1ln?11-?1 (? -2)(?1+ 1)即2?1ln?11-?1- (? -2)(?1+ 1) 0，即?11-?12ln?1+(?-2)(?12-1)?1 0且0 ?1 01 ?1 2时?11-?1 0设?(?)= 2ln?+(?-2)(?2-1)?(0 ? 2)? (?)=(? - 2)?2+ 2? + (? - 2)?2(0 ? 0，所以 ?(?)在(0,2) 上为增函数且?(1) = 0，所以， ?(1,2) 时， ?(?) 0不合题意舍去 . ? 2时， ?(?) 0同舍去? 2时（） ?0，即 ?1时可知 ?(?) 0，在 (0,2) 上?(?)为减函数且 ?(1) = 0，这样 0 ? 0，1 ? 2时?(?) 0成立（） ? 0，即 ? ? 1开口向下，且 1 的函数值为 2(? - 1) 0令?= min12-?,2 ，则 ?(1, ?) 时， ? (?) 0， ?(?)为增函数， ?(1) = 0所以， ?(?) 0故舍去综上可知： ?1点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参，