广东省2020届高三数学一模试卷(理科)-学生版+解析版

1、- 1 - 2020 年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（ 5 分）已知集合2|60ax xx，集合|1bx x，则 ()(rabie)a 3 ，)b (1， 3c (1,3)d (3,)2（ 5 分）设复数z 满足 (2 )34ziiig，则复数 z 在复平面内对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（ 5 分）设等差数列na的前n项和为ns ，若28515aaa ，则9s 等于 ()a18b36c45d604（ 5 分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下

2、列命题正确的是 ()a若/ /m，/ /n，则/ /mnb若，则/ /c若/ /m，/ /n，且 m， n，则/ /d若 m， n，且，则 mn5（ 5 分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()a3b2c2d36（ 5 分）已知1112xn，122xe，3x 满足33xelnx ，则下列各选项正确的是()a132xxxb123xxxc213xxxd312xxx7（ 5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是- 2 - 一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数1 9的一种方法 例如：3 可表示为“” ，26 可表示为“”现有 6 根算筹，据此表示方法

3、，若算筹不能剩余，则可以用1 9 这 9数字表示两位数的个数为()a13b14c15d168 （ 5分）在矩形 abcd 中，3ab，4ad，ac 与bd相交于点 o ，过点a作aebd，垂足为e，则(ae ecuuu r uuu rg)a725b1225c125d144259（ 5 分）函数2( )(1)sin1xf xxe图象的大致形状是()abcd10（ 5 分） 2 位男生和3 位女生共 5 位同学站成一排，若3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()- 3 - a36b24c72d14411（ 5 分）已知函数( )sin(2)6f xx，若方程3( )5f x的解为1

4、x ，212(0)xxx，则12sin()(xx)a35b45c23d3312（ 5 分）已知函数244( )()xf xklnxkx，4k，) ，曲线( )yf x 上总存在两点1(m x ，1)y，2(n x ，2)y，使曲线( )yf x 在m， n 两点处的切线互相平行，则12xx 的取值范围为()a8(,)5b16(,)5c8,)5d16,)5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分13（ 5 分）已知数列na满足11a，111(*,2)nnaaannn，则当1n时，na14（ 5 分）设当 x时，函数( )sin3 cosf xxx 取得最大值，则tan()415（

5、 5 分）已知函数322( )f xxaxbxa 在1x处有极小值10，则ab16（ 5分）在三棱锥sabc 中，2sbscabbcac，侧面 sbc 与底面 abc 垂直，则三棱锥sabc 外接球的表面积是三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （ 12 分 ） 在 锐 角abc 中 ， 角a，b， c 对 应 的 边 分 别 是a， b ，c， 且3cos2sin()102aa（1）求角a的大小；- 4 - （2）若abc 的面积3 3s，3

6、b求 sinc 的值18（ 12 分）在等比数列na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aa aa a（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnba ，数列 nb的前n项和为ns ，当312123nssssn取最大值时，求n的值19 （12 分）如图，在多面体abcdef 中，四边形 abcd 是边长为433的菱形，60bcd，ac 与bd交于点 o ，平面 fbc平面 abcd ，/ /efab ， fbfc ，2 33ef（1）求证： oe平面 abcd ；（2）若fbc 为等边三角形，点q 为ae的中点，求二面角qbca的余弦值- 5 - 20（12 分）某种规

7、格的矩形瓷砖(600600)mmmm 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg 都服从正态分布2(,)n，并把质量在(3 ,3 )uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10 片进行检查，求至少有1 片是废品的概率；（） 若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差”()mm 为 |600|600|ab，按行业生产标准，其中“优等” 、“一级” 、 “合格” 瓷砖的 “尺寸误差” 范围分别是0 ，0.2 、0.2 ，0.5 、0.5 ，1.0 （正品瓷砖中没有“

8、尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5 元、 6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100 片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（） 记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元 ) ， 求的分布列及数学期望()e（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36 元的概率附 ： 若 随 机 变

9、 量z服 从 正 态 分 布2(,)n， 则(33 )0.9974pz；100.99740.9743，40.80.4096 ，580.32768 - 6 - 21（ 12 分）已知函数( )1()af xlnxxa arx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）若存在11,xxfxxx使成立，求整数a的最小值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22（ 10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线 c 的参数方程为cos3sin(sin3cosxy为参数），坐标原点 o 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长

10、度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26（1）求曲线 c 和直线 l 的直角坐标方程；（2）直线 l 与y轴的交点为p，经过点p的动直线m与曲线 c 交于a、b两点，证明：| |papbg为定值- 7 - 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数( )|1| 2| ()f xxxmmr （1）若2m时，解不等式( )3f x ,；（2）若关于x的不等式( )|23|f xx,在0 x， 1上有解，求实数m的取值范围- 8 - 2020 年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一

11、项是符合题目要求的1（ 5 分）已知集合2|60ax xx，集合|1bx x，则 ()(rabie)a 3 ，)b (1， 3c (1,3)d (3,)【解答】 解：| 23axx，|2rax x,e或3x，()|33rabx xie，) 故选：a2（ 5 分）设复数z 满足 (2 )34ziiig，则复数 z 在复平面内对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【解答】 解：设复数zabi，(2 )(2)3423ziiaibibg，4a；4a，5b；复数45zi ，45zi ，复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限故选：b3（ 5 分）设等差数列na的前n项和为ns ，若28

12、515aaa ，则9s 等于 ()a18b36c45d60【解答】 解：28515aaaq，- 9 - 55a，9592452sa故选： c 4（ 5 分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ()a若/ /m，/ /n，则/ /mnb若，则/ /c若/ /m，/ /n，且 m， n，则/ /d若 m， n，且，则 mn【解答】 解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在a中，若/ /m，/ /n，则m与n相交、平行或异面，故a错误；在b中，若，则与相交或平行，故b错误；在 c 中，若/ /m，/ /n，且 m， n，则与相交或平行，故c 错误；在d中，

13、若 m， n，且，则线面垂直、 面面垂直的性质定理得mn ，故d正确故选：d5（ 5 分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()a3b2c2d3【解答】 解：第一个因式取2x ，第二个因式取21x，可得4451( 1)5c；第一个因式取2，第二个因式取5( 1) ，可得52( 1)2- 10 - 2521(2)(1)xx的展开式的常数项是5( 2)3故选：d6（ 5 分）已知1112xn，122xe，3x 满足33xelnx ，则下列各选项正确的是()a132xxxb123xxxc213xxxd312xxx【解答】 解：依题意，因为ylnx 为 (0,) 上的增函数，所以111102x

14、nln；应为xye 为r上的增函数，且0 xe，所以1220 xe，01e；3x 满足33xelnx ，所以30 x，所以30 xe，所以301lnxln ，又因为 ylnx 为 (0,) 的增函数，所以31x，综上：123xxx 故选：b7（ 5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数1 9的一种方法 例如：3 可表示为“” ，26 可表示为“”现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9 这 9数字表示两位数的个数为()- 11 - a13b14c15d16【解答】 解：根据题意，现有6 根算筹，

15、可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5， 1、9，2、4， 2、8，6、4，6、8，3、 7 中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示 2714 个两位数；数字组合3、3， 7、7，每组可以表示2 个两位数，则可以表示224个两位数；则一共可以表示12416 个两位数；故选：d8 （ 5分）在矩形 abcd 中，3ab，4ad，ac 与bd相交于点 o ，过点a作aebd，垂足为e，则(ae ecuuu r uuu rg)a725b1225c125d14425【解答】 解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形 abcd 中，3a

16、b，4ad，则(0,3)a，(0,0)b，(4,0)c，(4,3)d；直线bd的方程为34yx ；- 12 - 由aebd，则直线ae的方程为433yx ，即433yx；由34433yxyx，解得36252725xy，36(25e，27)25所以36(25aeuuu r，48)25，64(25ecu uu r，27)25，所以36644827144()()2525252525ae ecuuu r u uu rg故选：d9（ 5 分）函数2( )(1)sin1xf xxe图象的大致形状是()abcd【解答】 解：21( )(1)sinsin11xxxef xxxeeg，则111()sin()(

17、sin )sin( )111xxxxxxeeefxxxxf xeeeggg，则( )f x 是偶函数，则图象关于y轴对称，排除b，d，当1x时， f （1）1sin101eeg，排除a，故选： c 10（ 5 分） 2 位男生和3 位女生共 5 位同学站成一排，若3 位女生中有且只有两位女生相- 13 - 邻，则不同排法的种数是()a36b24c72d144【解答】 解：根据题意， 把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2 位男生全排列后形成的3 个空中的 2 个空中，故有22232372a a a种，故选： c 11（ 5 分）已知函数( )sin(2)6

18、f xx，若方程3( )5f x的解为1x ，212(0)xxx，则12sin()(xx)a35b45c23d33【解答】 解：因为 0 x，112(,)666x，又因为方程3( )5fx的解为1x ，212(0)xxx，1223xx，2123xx ，12112sin()sin(2)cos(2)36xxxx，因为12212,3xxxx ，103x，12(,)662x，由113()sin(2)65f xx，得14cos(2)65x，124sin()5xx，故选：b- 14 - 12（ 5 分）已知函数244( )()xf xklnxkx，4k，) ，曲线( )yf x 上总存在两点1(m x ，

19、1)y，2(n x ，2)y，使曲线( )yf x 在m， n 两点处的切线互相平行，则12xx 的取值范围为()a8(,)5b16(,)5c8,)5d16,)5【解答】 解：函数244( )()xf xklnxkx，导数2414( )()1fxkkxxg由题意可得121()()(fxfxx ，20 x，且12)xx即有221122444411kkkkxxxx，化为121244()()xxkx xk，而21212()2xxx x，2121244()()()2xxxxkk，化为12164xxkk对4k，) 都成立，令4( )g kkk，4k，) ，24( )10g kk，对4k，) 恒成立，即(

20、 )g k 在 4 ，) 递增，( )g kg （4）5 ，161645kk,，12165xx，即12xx 的取值范围是16(5，) - 15 - 故选：b二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分13（5 分）已知数列 na满足11a，111(*,2)nnaaannn，则当1n时，na12n【解答】 解： q 数列 na满足11a，111nnaaa*(nn ，2)n，则0112a，1222a，2342a，3482a，由此可得当1n时，12nna故答案为：12n14 （5 分） 设当 x时， 函数( )sin3cosf xxx 取得最大值， 则 tan()423【解答】 解：(

21、)sin3cos2sin()3f xxxx；q 当 x时，函数( )f x 取得最大值2,32kkz；26k， kz；- 16 - 313tan()tan(2)tan()2346446313k故答案为：2315（ 5 分）已知函数322( )f xxaxbxa 在1x处有极小值10，则 ab15【解答】 解：2( )32fxxaxbq，q 函数322( )f xxaxbxa 在1x处有极小值10，f （1）0， f （1）10，320ab，2110aba，解得4a，11b或3a，3b，当4a，11b时，2( )3811(31)(1)fxxxxx，此时1x是极小值点；当3a，3b时，22( )3

22、633(1)fxxxx，此时1x不是极小值点4a，11b，15ab故答案： 1516（ 5分）在三棱锥sabc 中，2sbscabbcac，侧面 sbc 与底面 abc 垂- 17 - 直，则三棱锥sabc 外接球的表面积是133【解答】 解：如图所示，取bc 的中点d，连接 sd ，ad设 g 为abc 的中心， o 为三棱锥 sabc 外接球的球心连接 og ， og ， os 取 sd 的中点e，连接 oe 则 od 为棱锥 sabc 外接球的半径oedg 为矩形22221139(3)(3)326oddgde三棱锥 sabc 外接球的表面积239134()63故答案为：133三、解答题：

23、共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （ 12 分 ） 在 锐 角abc 中 ， 角a，b， c 对 应 的 边 分 别 是a， b ，c， 且3cos2sin()102aa（1）求角a的大小；（2）若abc 的面积3 3s，3b求 sinc 的值- 18 - 【解答】 解：（ 1）3cos2sin()102aaqcos2cos10aa，可得：22coscos0aa，解得：1cos2a，或 cos0a，abcq为锐角三角形，1cos2a，可得：3a（2）1

24、13sin3 3222abcsbcabcqg，可得：12bc，又3b，可得：4c，在abc 中，由余弦定理可知，22212cos1692342512132abcbca，13a，在abc 中，由正弦定理可知：sinsinacac，可得：34sin2 392sin1313cacag18（ 12 分）在等比数列na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aa aa a（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnba ，数列 nb的前n项和为ns ，当312123nssssn取最大值时，求n的值【解答】 解：（ 1）232637225aa aa a，可得2223355352()25

25、aa aaaa，由42a，即312a q，由 01q，可得10a，0na，- 19 - 可得355aa，即24115a qa q，由 解得1(22q舍去），116a，则15116 ()22nnnag；（2）22loglog 2nnba55nn ，可得219(45)22nnnsnn，92nsnn，则127941222nsssnn221917117289(4)()2244216nnnnn，可得8n或 9 时，1212nsssn取最大值18则n的值为 8 或 919 （12 分）如图，在多面体abcdef 中，四边形 abcd 是边长为433的菱形，60bcd，ac 与bd交于点 o ，平面 fbc

26、平面 abcd ，/ /efab ， fbfc ，2 33ef（1）求证： oe平面 abcd ；（2）若fbc 为等边三角形，点q 为ae的中点，求二面角qbca的余弦值【解答】 证明：（ 1）如图，取bc 中点 g ，连接 fg ， og ，- 20 - 因为 fbfc ，所以 fgbc ，又因为平面fbc平面 abcd ，平面 fbc平面 abcdbc ， fg平面 fbc ，所以 fg平面 abcd ，o ， g 分别为bd， bc 中点，所以/ /ogab，12ogab因为2 3132efab ，/ /efab，所以四边形efgo 为平行四边形，所以/ /oefg ，所以 oe平面

27、abcd （2）如图，以ac 所在直线为x轴，bd所在直线为y轴， oe 所在直线为z 轴建立空间坐标系，显然二面角qbca 为锐二面角，设该二面角为，向量(0nr，0，1) 是平面 abc 的法向量，设平面qbc 的法向量(vxr，y， 1) ，由题意可知sin602fgoebf，所以( 2c， 0， 0) ，(0b，2 33， 0) ，(0e，0， 2) ，(1q，0，1)所以(1bquuu r，2 33， 1)，(3cquuu r， 0， 1) ，则00v bqv cquuu rrguuu rrg，即2 3103310 xyx，所以1(3vr，33， 1) ，- 21 - 所以|13 1

28、3cos|131313n vnvr rgrr20（12 分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mmmm 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg 都服从正态分布2(,)n，并把质量在(3 ,3 )uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10 片进行检查，求至少有1 片是废品的概率；（） 若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差”()mm 为 |600|600|ab，按行业生产标准，其中“优等” 、“一级” 、 “合格” 瓷砖的 “尺寸误差” 范围分别是0 ，

29、0.2 、0.2 ，0.5 、0.5 ，1.0 （正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5 元、 6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100 片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（） 记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元 ) ， 求的分布列及数学期望()e（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该

30、- 22 - 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36 元的概率附 ： 若 随 机 变 量z服 从 正 态 分 布2(,)n， 则(33 )0.9974pz；100.99740.9743，40.80.4096 ，580.32768 【解答】 解：（）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(3 ,3 )uu之内的概率为0.9974 ， 则 这10 片 质 量 全 都 在 (3 ,3 )uu之 内 （ 即 没 有 废 品 ） 的 概 率 为100.99740.9743；则这 10 片中至少有1 片是废品的概率为10.97430.0257 ；（3 分）（）（）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，

31、将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、 0.1；则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10 元；（4 分）计算(15)0.70.70.49p，(14)0.70.220.28p，(12.5)0.70.120.14p，(13)0.20.20.04p，(11.5)0.20.120.04p，(10)0.10.10.01p，- 23 - 得到的分布列如下：15141312.511.510p0.490.280.040.140.040.01（6 分）数学期望为( )150.49140.28130.0412.50.1411.50.041

32、00.01e7.353.920.521.750.460.114.1（元 ) ；（8 分）（）设乙陶瓷厂5 片该规格的正品瓷砖中有n片“优等”品，则有5n 片“一级”品，由已知 7.56.5(5)36nn ，解得3.5n，则n取 4 或 5；故所求的概率为44550.80.20.8pc0.40960.327680.73728 （12 分）21（ 12 分）已知函数( )1()af xlnxxa arx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）若存在11,xxfxxx使成立，求整数a的最小值【解答】 解：（ 1）由题意可知，0 x，2221( )1axxafxxxx，方程20 xxa对应的14a

33、，- 24 - 当140a,，即14a时，当(0,)x时，( )0fx ,，( )f x 在 (0,) 上单调递减；（2 分）当104a时，方程20 xxa的两根为1142a，且114114022aa，此时，( )f x 在114114(,)22aa上( )0fx，函数( )f x 单调递增，在114114(0,),(,)22aa上( )0fx，函数( )f x 单调递减；（4 分）当0a,时，11402a，11402a，此时当114(0,),( )02axfx，( )f x 单调递增，当114(,)2ax时，( )0fx，( )f x 单调递减；（6 分）综上：当0a,时，114(0,)2ax，( )f x 单调递增，当114(,)2ax时，( )f x 单调递减；当104a时，( )f x 在114114(,)22aa上单调递增，在114114(0,),(,)22aa上单调递减；当14a时，( )f x 在 (0,) 上单调递减；（ 7 分）（2）原式等价于(1)21xaxlnxx，即存在1x，使211xlnxxax成立设