固体颗粒的群体沉降速度分析

1、固体颗粒的群体沉降速度分析郑邦民1,夏军强2（1.武汉大学 河流系，湖北 武汉430072; 2.清华大学 水利系，北京100084）摘要：从流体力学原理出发，数值模拟非均匀沙随机分布对流场的影响，推导出固体颗粒群体沉速的理论解。该公式不仅量纲和谐，浓度变化不超过极限浓度值，能反映含沙量与非均匀沙级配变化对群体沉速的影响，而且可避免其它公式量纲不和谐，计算中出现负值或降得过快的缺点。 采用黄河实测资料对该公式进行了验证，计算结果与实测资料基本符合。关键词：固体颗粒；群体沉速；干扰流核；极限浓度1引言泥沙在静止的活水中等速下沉时的速度，称为泥沙的沉降速度。在多沙河流的浑水中，泥沙颗粒的沉降特性比

2、活水中与低含沙水流中复杂。此时泥沙颗粒下沉相互干扰，部分颗粒或全部颗粒成群下沉，其下沉速度称为群体沉速 *'群 体颗粒沉降特性的研究具有十分重要的意义，它在多沙河流的河床演变分析和泥 沙数学模型计算中广泛应用。单个颗粒的沉速与群体沉降可以相差10倍，故50年前有人说泥沙运动严格地讲只有一个半理论。为此应进一步分析颗粒群体沉降 规律，使其在实际应用中不致有太大的误差。本文在研究流体力学粘性流中圆球绕流规律的基础上， 得出固体颗粒群体沉 速的理论解，它可反映泥沙浓度与组成对群体沉速的影响。 然后将该公式与现有 的群体沉速公式进行比较，并用黄河实测资料进行验证。2理论前提Navier_Sto

3、kes方程是流体力学的基本控制方程，它是求解流体力学诸多问 题中普遍应用的方程。对不可压缩粘性流体，在有势外力作用下，可得Helmholtz 涡量©方程一 4-(£Tdt上式中*为流速欠量：为哈密顿算子（Hamilton Operator） ； v为流体的运动粘滞系数;t为时间。一般情况下，三维流函数为向量，它与流速汀有如下关系丈次乂中。而流速与涡量 Q ,亦呈旋度关系，即。为了便于数值计算，它可写作一般曲线坐标系的张廿*玲=寸野玲。其中量形式：冲 和 。式中ui为逆变分量，Aj为协变导数，言为协变基向量，"皓r爵言 它不一定是正交基，也不一定为单位基。对正交曲线

4、坐标，则有其中Uk为单位正交（局部）基就上的物理分量;H为Lami系数或标量因子，它 反映微元弧长dd与坐标微元d之间的比，即dSi=H）d&根据上述关系，我们可以将涡量方程写作一般曲线坐标形式或正交曲线坐标 形式，以便丁数值计算。它可以用来计算形体绕流等外部流动。对丁二维流或在柱坐标、球坐标下的球对称，轴对称流动，式 （2）可以简化。例如，在球坐标下 有 Hi=1、H2=R H3=Rsin 0,可得 ds=dR dS2=d 0、 dS3=Rsin 0 dA上式中R、0、入为球坐标系下的三个坐标线。因轴对称时合挎诳且物理量汀只在R 0方向上有变化，故有 化=帼 同时可得R、0坐标线上的

5、速 度分量坦i这对小雷诺数下的圆球绕流，上述沉降分析是合适的。包定流情况有 惯性项畋皿0叩均可忽略。对丁外部绕流，流函数 顷是无源场，则有矿矽三。，因此可得s-vV = °。此时流函数诉与涡量C的关系方程。如果是轴对称流动，则涡量只有3=Q为标量，流函数亦只有 仙=小也为标量，而有Q +R n =0(4)即在小雷诺数时，对轴对称的圆球绕流，解Navier-Stokes方程，可变为解 流函数小满足的重调和方程 2V七=003单个球形颗粒在粘性流中匀速沉降解单个球形细颗粒在粘性流中匀速沉降的速度 3 0,可从流体力学分析得到。单个球形颗粒在粘性流中绕流时，其Stokes流函数为n =1/

6、4Vsin2 9( a 3/R-(3)式，可得圆球绕流时R、0坐(5-1)3 a R+2R2)。如将球坐标原点放在球心，利用 标线上的流速分量分别为U = if7 cos7也:他日+兽T(5-2)通过对作用丁球面上的压力积分，可求得圆球所受阻力为3n pdV其中V为球与流体的相对速度，当球体均匀沉降时，有效重力(怡-丫 )兀d3/6阻力相平衡。其中球体半径为a ,直径为d。一个球体直径为d所占的距离为d+l , N个均匀 颗粒占的距离当N(d+l)。一个球体体积为 兀d3/6, N个兀d3/6,所占空间为 N3(d+l)3 ,体积比浓度(mg当l Ad时，则St0;当l T0,均匀沙排列均匀，

7、得 S=0.5236。此为极限浓度Sm的下界，随机紧密填充可达 S=0.5612,如果为非均匀沙随机排列，该值还可以再取高一些。如S护0.65,但只要达到这种情况，流体将很难在颗粒间流动，因此，此下极限浓度值也是可用的，随着 l/d的改变，浓度值变化如表1所示表1浓度Sv随l/d 变化Table 1 Concentration S v change with the variable l/dl/d1005010752.710.50.30.2Sv0.5 X 10-50.4 X 10-5_ -44X 100.0010.0240.010.06550.1550.23830.303不论如何，只要我们随机

8、地给出粒径大小 d与它所在位置，我们可以求得其 它函数小及阻力值。因为对丁 Stokes解，可以按奇异子线性叠加而得，可数值 求解。而对丁过渡区及紊流区，则非理论可解，而由实验决定。随着浓度Sv的增加，颗粒沉速有由过渡区趋向滞流区， 紊流区趋向过渡区的趋势，因此重点放 在理论分析滞流区沉降是合适的。4现有的群体沉速公式目前，对单颗粒泥沙在静水中的沉降规律己基本掌握，但对群体颗粒的沉降 规律还有待丁深入研究。前人对颗粒群体沉速公式的研究，可大致划分为两类： 一是粗颗粒均匀沙的沉速，二是含较多细颗粒的非均匀沙沉速 1。(1) Batchelor(1972) 认为球体在低含沙水体中沉降时， 颗粒间及

9、颗粒与周围 水体的相互影响，其沉速与其在无限活水中沉速的差异， 是平均值不为0的随机 变量3。他从统计理论出发，最后推导出低含沙量情况下群体沉速的理论公式3s/ G0=1 - 6.55Sv(7)上式中当SV 0.05时，计算结果能与实验值基本符合；当S较大则偏差大建立如下群体沉速公式(8)(2) Richardson 和 Zaki4cos/ 项=(1-Sv)m上式中指数m与沙粒雷诺数(Red=30d/旅关。夏震寰和汪岗对细沙取 m=7时，上 式与试验资料符合较好5。(3) 王尚毅认为式(8)中当Sv=1时3s=0,这种计算结果不对6。因此将上式3s/ 词=(1- 6 &)m(9)上式中

10、m=2.5; 6与泥沙特性有关，对塘沽淤泥可取6=5.0(4) 钱意颖等人认为群体沉速的减小主要由丁浑水的容重与粘度变化所致, 得出了适用丁层流区的群体沉速公式7°小危勺巳初(一心7松) (10)上式中丫、格、卬分别为活水、泥沙及浑水的容重。(5) 万兆惠等人认为细的单颗粒泥沙在活水中下沉时有(乍-丫 )兀d3/6=3洵如。当为浑水时，上式仍成立，不过应以 伽代替 卬，m代替 丫，3s/(1-Sv)代替30。如浑水粘度采用日本森氏公式 m 0=1+3Sv/(1-Sv/0.52), 代入上式可得群体沉速公式83s/ 应=(1-Sv)2/1+3Sv/(1-Sv/0.52)(11)(6)

11、沙玉洁认为在层流区，主要是浑水的粘度影响泥沙沉速，因此可得如下群体沉速公9(12)上式中d50取mm且对d50在0.010mm附近的非均匀沙适用。(7) 费祥俊认为用非均匀沙的中值粒径或平均粒径作为代表粒径，按均匀沙 方法计算非均匀沙的平均沉速，将会导致较大的误差。因此应按各粒径组泥沙所 占的比例，加权平均后得到非均匀沙的平均沉速公式：10：(13)式中 Pi为第di粒径组泥沙所占的比例。浑水粘度期与含沙量大小和极限含沙量有关11 o(8) 张红武在沙玉活公式基础上，考虑到沉降过程中一部分活水将依附沙粒 同时下沉，结合试验结果，经推导得出如下群体沉速公式幻 /0 =(1-1.25,) 1(14

12、)上式中d50同样取mm但该式适用范围比沙玉洁公式大，近些年多用之丁黄河泥 沙数学模型计算。经数值计算我们发现，用式 (14)计算群体沉速，必须使。5本文的研究结果我们认为群体沉降公式在理论上要尽量合理，尽可能地有严格的两相流体力 学的依据，量纲上要和谐，同时计算结果要与实测资料基本符合， 才可用丁实际 计算。对丁本文提出的群体沉速公式，作以下分析与论证。5.1颗粒表面流速的分析从泥沙颗粒在浑水中受力情况进行分析：细颗粒泥沙沉降时阻力符合Stokes 公式的单个颗粒沉降规律，为此多个颗粒的阻力解是可以叠加的，只要是散粒体。我们可以在计算机上，做出随机变化的有限多个 (10121015个)泥沙颗

13、粒，粒径为0.100.01mm不均匀随机分布的泥沙颗粒受流体力的作用，从而得到由丁 泥沙下沉对周围流场的影响，这一影响并非简单地打一个(1-S v)的折扣，而是对丁周围流场的干扰，改变流函数、流线疏密形状的结果。由流速u°公式(5)中，可以看出：当 R=a处，u °=0,当Ra时，0 =90°时， u(=V,这说明颗粒对流场有干扰，颗粒扰动形成流核，远处 R>10a 时，u 8=V=3 0,流速等于沉速，球体匀速沉降，而当l不太大时，对 u °有一定影响。例如：&日 :+ 4 - 0.74/4 版左) 刀当 l=2 a ,R+l=3 a 时

14、，即 ss/ w=0.74 ;当 l= a 时，R+l=2 a 时，即 3 s/ w=0.577 ;当 l=0.1 a ,R+l=1.1a 时，则3 s/皿=0.131。这些都说明浓度 $的影响实质是对流场的影响。流体被干扰 的流核，使其在一定柱状范围，要带动一定量的流体运动，其相对运动速度(沉速)降低了。这一结果反映于(15)式中。5.2 浓度对群体沉降的影响浓度对颗粒沉降影响的研究，最早是 1906年A.Einstein 从Brown运动得到一阶 近似的理论结果，即 所/ =1+2.5$ "幻。1972年Batchelor等人得到浓度影响的 二阶近似理论结果(球体散颗粒)，相对粘

15、性 殴皿/ p=1+2.5S v+7.6S2 v。本文认为 低浓度 时的粘度改正应小些，高浓度时的粘度改正大些，非线性二阶式优于指数关系。图1给出了各家相对粘度公式的对比结果，可以看出Batchelor的二阶式居中。考虑到群体沉降的极限浓度Svm及非均匀沙的颗粒组成的影响，本文给出的泥沙颗粒的群体沉降公式有如下形式(15)叱. Q S&：,.) | J夕冬， 1+L d,*O-OS 100.15 以 20。.25 (UG 0.3b 0. 10陶WWR 5tO A.睥 inft Elatehclorci dlMautLe £( a图1相对粘度 皿与体积比浓度 Sv关系(牛顿体)

16、Fig.1 Relationship between relative viscosity皆 andvolumetric concentration S v上式中a为一修正系数，与混合沙的非均匀程度有关，对均匀沙，可取a =1当 S较小时，饥对30改正不大，这是合理的，且 3s/ G0值大些。在中等浓度 S 下，则3s/ gjd偏差大些，在高浓度S时，各家差别更大，如(12)式、(14)式很快 降为零。细粒泥沙的30本来就很小，取3s/ 03=0在实用上是不方便的。上式中 的极限浓度Sm,可采用方红卫确定的黄河干支流各站的结果 3、也可用费祥俊 提出的公式计算5。图2各家公式 皓/皿的计算结果

17、Fig.2 Calculated好/ co from different formulas5.3 各家公式比较与分析图2给出了式(15)、式(10)、式(12)、式(14)在不同浓度下均匀沙 (d=0.030mm)的群体 沉速的变化规律。由图可知，沙玉清公式(式12)与张红武公式(式14)的计 算结果较为接近。而本文提出的计算公式 (式15)与钱意颖等人(式10)的计算结果相差不多，但式(15)考虑了极限浓度的影响，这比较符合实际情况。若采用式(15)计算非均匀沙的群体沉速，取d25=0.018mm、d5o=0.030mm> d75=0.042mm,计算结果见图2。在相同的中值粒径和浓度

18、下，泥沙组成偏细，采用式(15)计算的群体沉速可比式(10)小。这是因为细颗粒增多，导致悬浮液体粘性增大，从而使群体沉速降低。因 此式(15)也可反映悬沙组成对群体沉速的影响。从公式形式上看，沙玉活公式(12)及类似公式(14)存在量纲不和谐的问题。 式(12)中 5厨,如要量纲合理，应当是畦J眼M ,其中&为无量纲系数； V为流速，可用沉速30代替，9为重力加速度。沙玉活利用明兹及赵乃熊试验结 果分析了 d50=0.10mm 10mnW均匀颗粒的群体沉速与非均匀沙对比。结果表明当d50小时3s/ os改正多些；d50大时3s/ os变化小些。 当d50=0.1mm©J 10

19、mn®J 化时，系数e在301.33间变动。这样大的变化是难以选用的。公式(14)亦有 此问题。关丁粒径d的影响，一般已考虑在 0中。对丁均匀沙而言，滞流区有0md2, 紊流区有气仁康，过渡区则介丁两者之间变化。如浓度 S之改变，使CDs与30 在同一区内，则无d之影响。如S之改变使3s由紊流区变为过渡区或滞流区， 则3s/顷中出现d的因素。但也不能认为其因子就是板庆沪。早年 沙 玉活提出的公式(12)及后人在沙”的基础上提出的公式(14)都没有给出理论证 明。式(14)反映出均匀沙在同流区 3s/ gjd的变化，无d之影响。不同区则 3s/项=6 dr指数r=1.50之间，有了沙式

20、(12)与张式(14),不难用曲线拟合方 式，给定系数6与指数丫。因此，不一定需要在CDs/ G0式中采用如(1-S 口届淑1MJL25底y这种形式，因为不一定是唯一的，只是近似的经 验表述(拟合)。它们都可能表示，随着d50之变细，3s/ G0减小这一定性的变化规 律。天然河道或水库中的泥沙，多为非均匀沙，其级配影响丁 也之中, d25或d75越小,则3 s/ G0降得越多,反之亦然。5.4 本文公式与实测资料的比较本文采用黄河支流水文站60年代的群体沉速实测资料，对式(15)的计算精 度作进一步的分析。选用的水文站分别为渭河的咸阳站、 华县站，泾河的张家山 站，北洛河的NFDA顿站。四站共

21、有882组有效的实测数据，各站的悬移质含沙 量大小及组成变化，如表2所示。表2各站的悬沙特征变化Table 2 Characteristics changes of suspended load at different hydrological stations含沙景：水文站有效数据(组)-3S/kg5m中值粒径d50/mm4 /巩华县站4110.14040.003 0.0590.701.51咸阳站2250.14670.003 0.0370.791.50张家山站590.15180.007 0.0730.821.18状头站1870.08810.004 0.0520.761.18在此采用费祥俊提

22、出的方法，按各粒径组泥沙所占的比例，加权平均后得到 非均匀沙的平均沉速公式。根据实测资料的率定，取式(15)中的参数a =1.76图3给出了实测与计算群体沉速的对比结果。由图可知，式(15)的计算结果与实 测值基本符合。由图可知，在泥沙组成较细，含沙量较大时，群体沉速较小，计 算值与实测值符合较好。当泥沙组成较粗时，计算值与实测值存在一定的误差。6结论本又从流 体力学的基本 原理出发，得 出非均匀沙的 群体沉速公 式，该公式具有如下特点：反映了浓度（或含沙量）的影响；浓度不超过极限浓度值；引入反映非均匀沙组成对群体沉速的影Fig.3响，它具有几何平均之意，既反映粒径的不均匀性，乂具有平均的代表性；计6 4 2 OJO.B U日是混in学一一廿而买治旗俺讽鹰女卧力图3实测与计算群体沉速的对比结果Comparison between observed and calculated