天津市西青区2019-2020学年高三第一学期期末考试数学试题(解析版)

1、天津市西青区2019-2020 学年度第一学期期末考试高三数学试卷一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 .将正确箸案填在下面的括号内.1.若集合 a 1, 0, 1, 2, 3, 5 ，集合 b2 , 3, 4, 5, 6, 7，则集合a b 等于（）a. 2b. 2，3c. 2 ，3，5d. 2 ，3，5，7【答案】 c 【解析】【分析】根据集合的交运算即可求得结果. 【详解】因a1, 0,1, 2, 3, 5，b2 , 3, 4, 5, 6, 7，a b2, 3, 5故选： c【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题

2、. 2.在abc 中，角 a, b, c 的对边分别为a, b, c,abc 的面积为s，且 2s（ a+b）2c2，则 tanc（）a. 34b. 43c. 43d. 34【答案】 c 【解析】【分析】利用面积公式，以及余弦定理对已知条件进行转化，再利用同角三角函数关系，将正余弦转化为正切，解方程即可求得 . 【详解】 abc 中， sabc12ab sinc，由余弦定理：c2a2+b22abcosc，且 2s（ a+b）2c2， absinc（ a+b）2（ a2+b22abcosc） ，整理得 sinc2cosc2，（ sinc2cosc）242222sinccoscsin ccos c

3、4，化简可得3tan2c+4tanc0c（0，180） ，tanc43，故选： c【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用，涉及同角三角函数关系，属基础题. 3.设a，rb，则“ab”是“2()0ab a”的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 b 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可【详解】 解：若 a0，b1，满足 ab，但（ a b）a20 不成立，若“（ a b）a20，则 ab 且 a0，则 ab 成立，故“ ab”是“（ ab）a20”的必要不充分条件，故选 b【点睛】 本题主要考查充分条

4、件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可4.已知 a log23log23，blog0.5 ，c 0.91.1，则（）a. cabb. abcc. acbd. bca【答案】 a 【解析】【分析】将数据与 0 或者 1 进行比较，从而区分大小. 【详解】 alog2132log23（12，1） ，blog0.5 0，c0.91.11cab故选： a【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0 或者 1 进行比较，从而区分大小. 5.正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第 j 列的数记为ija，例如43a9，则64 4a等于（）a. 2018b. 2019c.

5、2020d. 2021【答案】 c 【解析】【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1 行第 1 列的数为1，此时11a11 1211，第 2 行第 1 列的数为2，此时21a221212，第 3 行第 1 列的数为4，此时31a331214，据此分析可得：第64行第 1 列的数为64 1a64641212017，则64 4a2020；故选： c【点睛】本题考查归纳推理能力，要善于发现数据之间的规律，属基础题. 6.双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别为1f、2f，渐近线为12,l l，点p在第一象限内且在1l上，若2122,

6、lpf lpfp则双曲线的离心率为、 、a. 3b. 2c. 5d. 2【答案】 b 【解析】分析 ：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点p 的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线1pf的斜率及直线2pf的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得,a b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率. 详解 ：设双曲线渐近线1l的方程为byxa，2l的方程为byxa，则设p点坐标为( ,)bxxa，则直线1pf的斜率10()bxbxakxca xc，直线2pf的斜率20()bxbxakxca xc，由21lpf，则()1()bxba xca，即221()b xaxc（1）由22lpf

7、p，则()bxba xca，解得2xc（2） ，联立（ 1） （2） ， 整理得：223ba，由双曲线的离心率2212cbeaa，所以双曲线的离心率为2，故选 b. 点睛 ：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点p 的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到,a b的关系， 之后借助于双曲线中, ,a b c的关系以及离心率的公式求得结果. 7.设函数 f（ x） sin（ x+ ）3cos（ x+） （0，| |2）的图象与直线y2 的两个相邻的交点之间的距离为 ，且 f（x）+f（ x） 0，若 g（ x） sin

8、（ x+ ） ，则（）a. g（ x）在（ 0，2）上单调递增b. g（x）在 （0，6）上单调递减c. g（x）在（12，512）上单调递增d. g（x）在（6，2）上单调递减【答案】 c 【解析】【分析】根据fx奇偶性和周期性求得参数，再求g x的单调区间即可. 【详解】函数f（x） sin（ x+ ）3cos（ x+ ） 2sin（ x+3） 由于函数的图象与直线y2 的两个相邻的交点之间的距离为 ，所以 t ，解得 2由于 f（x）+f（ x） 0，所以函数为奇函数所以3k （kz） ，由于 | |2，所以当 k0 时， 3所以 g（x） sin（2x3） 令：222232kxk（kz

9、） ，解得：51212kxk（k z） ，当 k0 时， g（x）在（12，512）上单调递增故选： c【点睛】本题考查由三角函数的性质求解三角函数的解析式，以及正弦型三角函数的单调区间. 8.已知32log,031108,333xxfxxxx,a b c d, ,是互不相同的正数,且f af bf cf d,则abcd的取值范围是（）a. 18,28b. 18,25c. 20,25d. 21,24【答案】 d 【解析】试题分析：不妨设abcd，由图像知1,10,34abcdc，所以2(10)(5)25(21,24)abcdccc，选 d. 考点：函数图像【思路点睛】 （1）运用函数图象解决问

10、题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上.9.已知 i 为虚数单位， z21i，则 |z|_ 【答案】2【解析】【分析】通过复数的除法，先计算出复数z，再计算其模长即可. 【详解】 z2 121111iiiii，|z|2故答案为：2. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数模长的计算，属基础题. 10. 在某市“创建文明城市”活动中，对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率

11、分布直方图(如图)，但是年龄组为25,30的数据不慎丢失，据此估计这800 名志愿者年龄在25,30的人数为 _ 【答案】 160 【解析】试题分析：设年龄在25,30的志愿者的频率是p，则有50.0150.0750.0650.021p，解得0.2p，故区间25,30内的人数是800 0.2160. 考点：频率分布直方图. 11. 在一次医疗救助活动中，需要从 a 医院某科室的6 名男医生、 4 名女医生中分别抽调3 名男医生、 2 名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_ 种. (用数字作答 )【答案】60【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列

12、组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2 名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660c c.故答案为60【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置 )性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置 )为主体，即先满足特殊元素(或位置 )，再考虑其他元素(或位置 )12. 已知四面体pabc 的外接球的球心o 在 ab 上，且 po平面 abc，2ac3ab，若四面体pabc的体积为32，则该球的体积为_【答案】4 3【解析】【分析】根据四面体是球的内接四

13、面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算 . 【详解】设该球的半径为r，则 ab2r， 2ac3ab32r，ac3r，由于 ab 是球的直径，所以abc 在大圆所在平面内且有acbc，在 rtabc 中，由勾股定理，得：bc2 ab2ac2r2，所以 rt abc 面积 s12bc ac32r2，又 po平面 abc，且 por，四面体pabc 的体积为32，vpabc13r32r232，即3r39，r333，所以：球的体积v43 r3433343 故答案为：4 3. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四

14、面体的几何形态，从而解决问题. 13.已知 ab0， a+b 3，则2221baab的最小值为 _的【答案】32【解析】【分析】根据3ab，巧妙配凑出1，使得均值不等式可以使用，再用均值不等式求解最小值. 【详解】 ab0，a+b3， a+2+b+16则221216baab（a+2）+（b+1）2221baab222212116216bbaaababa2+b2+2ab213()62ab，当且仅当b（b+1） a（a+2） ，a+b3，即53b，a43时取等号故答案为：32【点睛】本题考查均值不等式的使用，重点是1 的配凑，属基础题. 14. 在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，1obodocu

15、uu ruu u ru uu r，0obocodu uu ru uu ruuu rr， a （1， 1） ， 则ad obuu u r uuu r的取值范围为 _【答案】 122，122【解析】【分析】用,od oauuu r uuu r向量表示aduuu r，将问题转化为求解,oa obuuu r uuu r向量夹角范围的问题，即可求解. 【详解】因为bcdn是单位圆的内接等边三角形，故ad obuuu r uu u r=odoaobod oboa obu uu ru uu ruuu ruuu r uu u ruuu r uuu r120,od ob cosoa ob cos oa obu

16、uu r uuu ru uu r uuu ruuu r u uu r12,2cos oa obuu u r uuu r又因为,0,oa obuu u r u uu r故,1,1cos oa obuu u r uuu r则112,222ad obuuu r uu u r. 故答案为：112,222. 【点睛】本题用用向量求解范围问题，涉及到向量的数量积运算，属基础题. 三、解答题：本大题共6 小题，共 80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在 abc 中，内角a, b, c 所对的边分别为a, b, c已知 a2, c3，又知 bsinaacos（b6） （）求角b 的大小、

17、b 边的长：（）求sin（2ab）的值【答案】（） b3，b7； （）3 314【解析】【分析】（1） 将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角b， 再利用余弦定理，求得b边即可；（2）由（ 1）中所求，结合正弦定理，即可求得,sina cosa，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可 . 【详解】（） bsinaacos（b6） bsina a（32cosb12sinb） ，由正弦定理可得sinbsinasina（32cosb12sinb） ， sina0 ，sinbsinasina（32cosb12sinb） ，可得 sin（b3） 0，b（ 0，

18、） ， b3（3，23） ，b30，可得 b3a2，c3，由余弦定理可得b22124922 372acaccosb（）b3，a2，b7 由正弦定理absinasinb，可得 sina217a sinbb，cosa22 717sin a，sin2a2sinacosa4 37，cos2a2cos2a117，sin（2ab） sin2acosbcos2asinb4 31133 3727214【点睛】本题考查三角恒等变换，以及利用正余弦定理解三角形，涉及倍角公式，正余弦和差角公式，属综合性基础题 . 16. 为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛比赛规则：每个参赛者

19、回答a、b 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1 分，答错得0 分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩小明估计答对a组每道题的概率均为34，答对 b 组每道题的概率均为23（）按此估计求小明a 组题得分比b 组题得分多1 分的概率；（）记小明在比赛中的得分为 ，按此估计 的分布列和数学期望e 【答案】（）724； （）分布列见详解，176【解析】【分析】（1）分析满足题意的事件，然后分别计算出概率，再用概率加法公式计算即可；（2）先根据题意求得 可取的值，再根据题意，分别求出概率，通过分布列计算数学期望即可. 【详解】（）设小明a组题得 1 分， b 组题得 0 分为事件m，a组题得

20、2分，b组题得1分为事件n，则小明 a 组题得分比b 组题得分多1 分的概率：p（mn） p（m）+p（n）1212223322231(1)1( )443334cc724（）由题意小明在比赛中的得分 的可能取值为0，1，2，3， 4（单位：分）则 p（ 0）（ 134）2（123）21144，p（1）12122233222351(1)1(1)44333472cc，p（ 2）222211223232223337( ) (1)(1) ()1143433344144cc，p（3）2112223223325( )11( )43344312cc，p（ 4）（34）2（23）214， 的分布列为：0123

21、4p11445723714451214e1537511701234144721441246【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属基础题；此类题目要认真分析题意，搞清楚每个事件背后的具体情况，是重中之重. 17. 已知 an为等差数列， 前 n项和为 sn（nn*） ，bn 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，b2+b312，b3 a42a1，s1111b4（）求 an 和bn的通项公式；（）求数列 an? bn的前n项和为tn（nn*） 【答案】（） an3n2，bn2n； （） tn（ 6n 7）?2n+4【解析】【分析】（1） 根据题意， 用等差数列和等比数列的基本

22、量解方程，从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式；（2）根据通项公式的特点，选用错位相减法求数列的前n项和 . 【详解】（）由题意，设等差数列an的公差为d，等比数列 bn的公比为q，则 q0故 2q（1+q） 12，解得 q2，由题意，得11132811 101111 162adaad，解得113adan1+3（ n1） 3n2；bn2?2n12n（）由（）知，an? bn（ 3n 2）?2ntna1b1+a2b2+ anbn 1?2+4?22+ （3n2）?2n，2tn1?22+4?23+ （3n 5）?2n+（3n2）?2n+1，得 tn1?2+3?22+3?23+ +3?2n（ 3

23、n2）?2n+12+6?（2+22+ +2n1）（ 3n2）?2n+12+6?12(12)12n（3n2）?2n+1（ 106n）?2n10tn（ 6n10）?2n+10【点睛】本题考查用基本量求解数列的通项公式，以及错位相减法求解数列的前n项和，属基础题. 18. 如图， 在多面体 abcdef 中， 四边形 abcd 为平行四边形， 平面 ade平面 cdef ， ade60 ， de cf，cdde，ad2，dedc3，cf4，点g是棱cf上的动点（）当 cg3 时，求证eg平面 abf；（）求直线be与平面 abcd 所成角的正弦值；（）若二面角g aed 所成角的余弦值为2211，求

24、线段cg 的长【答案】（）证明见详解； （）3 38； （）4233cg【解析】【分析】（1）通过证明直线abeg，从而由线线平行推证线面平行；（2）过 a 作 de 垂线 ao，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；（3）由（ 2）中所建的直角坐标系，根据二面角gaed 所成角的余弦值，求得g 点的坐标，即可求得cg 的长度 . 【详解】（）证明：由已知得cgde 且 cgde，故四边形 cdeg 为平行四边形，cdeg，四边形 abcd 为平行四边形，cdab， ab eg，又 eg? 平面 abf，ab? 平面 abf，eg平面

25、abf（）过点a 作 aode 交 de 于点 o，过点 o 作 okcd 交 cf 于点 k由（ 1）知平面ade平面 cdef ，平面 ade 平面 cdef de，ao? 平面 ade，ao平面 cdef ， cdde， okde，以 o 为原点建立如图的空间直角坐标系，则 d（0， 1，0） ， e（0，2，0） ，c（3， 1，0） ，f（3，3， 0） ，0 03a，d（0， 1， 0） ，3,0,0,0,1,33,2,3dcdabeuuu ruuu ru uu r，设平面 abcd 的法向量为, ,mx y zr，即030 xyz，令 z 1，则3y，0,3,1mr，直线 be

26、与平面 abcd 所成角的正弦值为3 38，（）由题意得，g（ 3，4 1，0） 0,2,33,43,0aeceuuu ru uu r，设平面 aeg 的法向量为, ,px y zr，即2303430yzxy，令 y3，则2 3z，x34 ，34 ,3,23pr，容易得平面aed 的法向量为1,0,0qr，故可得24322114321，解得214(43)3，42433， |cg|cf|44233，|cg| 4 ，4233cg【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点在于坐标系的选择. 19. 已知椭圆c：2222=

27、1xyab（ ab0） ，四点 p1（1,1 ） ，p2（0,1 ） ， p3（ 1，32、p4、 1、32）中恰有三点在椭圆c上. （）求c的方程；（）设直线l 不经过 p2点且与 c相交于 a，b两点 . 若直线 p2a与直线 p2b的斜率的和为1，证明： l 过定点 . 【答案】 (1)2214xy.(2) 证明见解析 . 【解析】试题分析： （ 1）根据3p，4p两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知c经过3p，4p两点 . 另外由222211134abab知，c不经过点p1，所以点p2在c上. 因此234,p p p在椭圆上，代入其标准方程，即可求出c的方程；（2）先设直线p2a与直线

28、p2b的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l： ykxm （1m） ，将 ykxm 代入2214xy，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出12kk，根据121kk列出等式表示出k和m的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于3p，4p两点关于y轴对称，故由题设知c经过3p，4p两点 . 又由222211134abab知，c不经过点p1，所以点p2在c上. 因此222111314bab，解得2241ab. 故c方程为2214xy. （2）设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，

29、设l：x=t，由题设知0t，且2t，可得a，b的坐标分别为（t，242t） ， （t，242t）. 则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设. 从而可设l：ykxm（1m）. 将ykxm代入2214xy得222418440kxkmxm由题设可知22=16 410km.设a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，则x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk. 而12121211yykkxx121211kxmkxmxx的12121221kx xmxxx x. 由题设121kk，故12122110kx xmxx. 即22244821104141mkmkmkk解得12mk.

30、当且仅当1m时，0，欲使l：12myxm，即1122myx，所以l过定点（ 2，1）点睛 : 椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况 . 另外， 在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 20. 已知函数2lnh xaxx.（1）当1a时，求h x在2,2h处的切线方程；（2）令22afxxh x，已知函数fx有两个极值点12,x x，且1212x x，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下， 若存在021,22x，使不等式20