量子力学的表象与表示

1、第五章量子力学的表象与表示§5.1幺正变换和反幺正变换1,幺正算符定义对任意两个波函数( r ) 、 ( r ) ，定义内积( ,)( r )(r ) dr(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是： 当微观粒子处在状态r 时，找到粒子处在状态r 的概率幅 。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数、，如果算符 U 恒使下式成立?)( ,)(5.2)(U ,U1而且有逆算符? 1? 1? ? 1I?为幺正算U存在，使得 UUUU，称这个算符 U符。”任一算符?定义为：?在任意、 中的矩阵元恒由A 的厄米算符 AA下式右方决定?, )(?)(5.3)( A, A由此

2、，幺正算符?有另一个等价的定义：U“算符 U? 为幺正算符的充要条件是? ?I(5.4a)或者说UUU U? 1。”(5.4b)UU?) (,?定义，证明：若 (U, U) 成立，则按 U( ,)?)?(U,U(UU , )由于、任意，所以? ?U UI又因为 U? 有唯一的逆算符? 1 存在，对上式右乘以 ? 1 ，即得UU? ? 1U U这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i,幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 UU1，则U1UU U 111 也是幺正, 所以U1 这里强调了

3、 U 1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为U 1 。算符。ii,两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.?是两个幺正算符，则证明：设 U、 V1? ? ?1?1(UV )V UV UUV所以 ? ?也是个幺正算符。U Viii, 若一个幺正算符? 和单位算符 I 相差一无穷小，这个幺正算符被U称为无穷小幺正算符 。这时 ? 可记为U?1?(5.5a)Ui F为一个无穷小参数。

4、于是?的逆算符 (准确到的一阶，以下同 )为U?11?(5.5b)?Ui F利用 U 的幺正性 ,? ?)(1?U U (1 i Fi F )1 i ( FF ) 1得到等式?(5.6)FF这说明，如将一个无穷小幺正算符?表示为上述形式，则其中的?UF 为厄米算符。 F? 也常称为幺正算符? 的生成元。于是，按以下方式可以U用厄米算符构造出一个幺正算符?U?1n ? nei?(5.7)Uin 0 n!这里，为任意实数。3, 幺正变换幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。 具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：对波函数：?( U );(5.8a)U对力学

5、量算符：?1?(U ).(5.8b)UU这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，( , ?) (U),(U) (U)(5.9)? ?1 ?)? ?)( ,?) 。这可以检验： 右边 (U,U UU(U, U) (UU,例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数( r )( p) 和算符 ?(r )?( p) ，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时?dr3/ 2 eip r(5.10a)U(2)? 1dpi rp(5.10b)3/ 2 eU(2)注意，这里算符?是一种积分变换，其中， r 为积分变数， p 为参量。U因此当 ? 和后面的算符或坐

6、标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符U或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p 作为参量保持不变（因此， p 类似于矩阵乘积中的行标保持固定，而 r 则是它的列标? 1的作用则相反， p 为积分变数， r 为参与后面取一致并求和） ；U量（此时 r 为行标， p 为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱 。比如?drip rp( r )3/ 2e(r )U(2)? 1dpirpr( p)3/ 2 e( p)U(2)? ?-1dr- i p rdpi r p=ehehUU(2h)3/23/2dr(2h)-i (p- p ) r=dp(2h)3 e

7、 h= dp (p - p )这说明，算符 UU 1 将任意动量函数p 变为同一函数恒等变换。还有，?2? 12? ppUU2 m2m? 1ipUr U由(5.13)和(5.14)式又可以得到?2?2? 1?p2? p? p( p )U( r ) UUU ( r )2m2m2m(5.11a)(5.11b)(5.12)p ，是一个（ 5.13）(5.14)(5.15)（5.15）式也可以换一种算法作直接变换来得到，即?2dr- ip r-2p3/2eh(r)U(r) =(2 )2m2m12iiip rp r( 2)3 / 2() e( r ) dp( r ) edr 2m= ( -2)( ip)

8、2dri=p2(r)e h(p)-p r2m(2 )3/22m?2p由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下， Hamilton 量 HV (r )2m2改变成为 H?pV ( ip ) 。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条2m件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：基本对易规则在? 变U换下确实是保持不变的，?(U )?(U )?(U )?(U )xp px i(5.16)xppx关于全部概率幅不变

9、是说应当有f rf p(5.17)这里， f (r ) 是粒子处在(r ) 态时，找到它处于( r ) 态的概率幅，即f (r )( r ) ( r ) drf 上标 (r ) 表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着，系统经受?： ( r )( p) ， ( r )( p) ，自变数成为 p 。于是变换之后，幺正变换 U这个概率幅应当表示为f ( p )( p ) ( p )dp现在来证明 (5.17)式：实际上，*p =dr dr*i p r - i p rdp p2 3 22 dp rr edr dr( r ) ( r ) ( rr )dr( r ) ( r )f ( r )这表明任何

10、概率幅的确没变。反过来也可以说， 两个量子体系， 如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的 。这里，“物理上等价” 的含义是从实验观测的角度说的。就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看，它们之间已无区别。 4,反幺正变换反幺正变换的全名是反线性的幺正变换 。为阐述其内容， 我们先定义反线性算符。一个反线性算符 A 满足?)?(5.18)A(AA这里 、 为任一复常数， 、 为任意波函数。 就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。这是与线性算符唯一

11、的然而是极本质的差别。反线性算符 A 的厄米共轭算符A 的定义是?(5.19)(,A)( A,) (,A)这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的 或 中抽出一个复数常系数。反线性的幺正算符? (反幺正算符 )定义为A? 1, )? 1)(5.20)(,A)( A( , A根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有? 1(5.21)AA这导致 ? ? ?。这和幺正算符相同。AAA AI反线性算符的进一步叙述参见附录一。§5.2 量子力学的 Dirac 符号表示1, Dirac 符号先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。

12、众所周知，所有同类三维矢量的线性组合构成了三维空间。为了表示这个空间中的任一矢量，可以在三维空间中事先选定一个坐标系 (比如某个笛卡儿坐标 )，于是任一矢量 A 在这个坐标系中便由相应的三个数 (是 A 与坐标轴单位矢 量 ei 的 标 积 ， 也 称 为 这 个 矢 量 在 这 个 坐 标 系 中 的 分 量 A ei Ai , i 1,2,3 )来表示。于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。 通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。但是，也可以不选取任何基矢，而只直接就将这些矢量写作为A 、 B 、.，并利用标积 A B 、矢积 AB等等，

13、形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。由于这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，所以它是一种抽象的、普适的表示方法。在量子力学中， 按照态叠加原理， 一个量子体系的所有可能状态将构成一个线性空间，这个由全部状态集合构成的线性空间通常称为Hilbert 空间 。体系的每一个状态对应于体系Hilbert 空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。所以状态Hilbert 空间又常称为态矢空间（或态空间）。这个Hilbert 空间的范数便是状态之间的内积N(,)1。在 Hilbert 空间中，所有态矢都称为 右矢，比如右矢 A ，等等。这里，记号 A 是对此态矢的某种标记。标记的办法以确切、简便为

14、准。比如用系统的好量子数组来标记（例如nlm ）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢 nlm可记为nlm；如果要强调态矢随时间的变化， 也可以记为nlmt ；另外还有 r ， p等等。这里， r （ p）是坐标（动量）算符的对应于本征值为 r （ p）?pp ）。的本征态，即有 r rr r （ p p对于每一个右矢A ，对应地还有一个 左矢 A2，它与该右矢互为厄米共轭 ，即A(A) 和AA(5.22)1注意，量子力学中的状态空间 Hilbert 空间不完全等同于数学中的Hilbert 空间。因为前者还包括了归一化到-函数的矢量，而后者无此类矢量。2左矢常称为

15、 bra ，右矢常称为 ket，这是 bracket 一字的左三个字母和右三个字母。于是，用于展开态矢的基矢也就有左基矢和右基矢之分了。有了左矢和右矢的概念，便可以引入内积投影 的定义。右矢A 向右矢 B 的投影是右矢 A 与对应左矢 B 的内积，即B A 在态矢 A 中发现态矢 B 的概率幅（5.23a）按量子力学基本假设，此式含意若用波函数表示便应当是B A*(5.23b)r A r drB这个内积关于 A 是线性的，关于 B 则是反线性的 。这可以设想从它们中各自抽出一个复数常系数，看是否经受复数共轭操作，便可以知道。由内积定义可知BAAB(5.23c)显然 A （或 A ）和自己的内积

16、A A 是个正数。 对于标记 (编号 )为分立的一组左（右）态矢，如果彼此间的内积为零，自己的内积为 1，称它们为正交归一的；对于标记 (编号 )为连续的一组左 （右）态矢，若它们之间的内积是 -函数，就称它们为正交归一的。于是对含连续参量的坐标本征态和动量本征态，归一化条件为 1r r =dp3 ei p (r -r' )/ = (r - r )(2 )(5.24)p p' =dr3 e- ir (p- p')/ = (p - p')(2 )和三维空间矢量解析的情况相似。 在量子体系的态矢空间中， 对态矢的描述可以不必事先选取基矢，而是采用抽象的态矢符号，以普

17、适的方式表示它们在状态空间中的变化。但是，为了能在态矢空间中进行具体的计算，需要选定一组特定的态矢作为基矢，用它们去展开任意态矢。这里，第一，为了运算方便，所选基矢最好是正交、归一的。就是说，规定基矢组和有如下正交归一的性质对分立编号：正交归一条件为ijij(5.25a)对连续编号：正交归一条件为()(5.25b)第二， 若要能够展开任意的态矢，选做基矢的一组态矢必须是完备的。可以证明，这要求基矢组必须满足以下条件对只有分立编号：完备条件为iiIi对只有连续编号：完备条件为dI(5.26a)(5.26b)一般情况下，一个完备的基矢组常常既包含分立的基矢集合，又包含1 后两者为连续表象。在这类表

18、象中正交归一化为-函数。这使量子力学的Hilbert 空间大于数学中由平方可积函数组成的传统的Hilbert 空间。详细还可参见下面叙述。着参数连续变化的基矢集合 （两集合之间也正交）。如同质子和电子耦合系统的能谱和状态空间那样，既有负能区分立的束缚态部分，也有正能区连续的散射态部分。因此，完备性条件的普遍形式应为I =i i + d (5.26c)i如果所选基矢是完备的，它应当能够展开任一态矢A ，于是有A= ai i+ a() d(5.27)i可以证明， 完备性条件 (5.26c)式与可以对任意态展开的(5.27)式相互等价。先证明由 (5.27)式可得（5.26c）式。用分立编号的左基矢

19、j 乘(5.27)式，注意基矢的正交归一性，展开式右边就简化为jA = ai ji = ai ij = a jii若用连续编号的左基矢乘(5.27)式，类似可得A a()d a( ) ()da()将这两个系数表达式再代入(5.27)式，即得AiAiiAdii AdAi由 A 的任意性，即得普遍的完备性条件 (5.26c)。反过来，由 (5.6)也可以得到 (5.27)式。因为A = I A =i i + d Ai=i i A + d Ai=i Ai + A di以后，常常将这些完备性条件作为单位算符，插入运算式中适当的地方，转入相应的基矢展式中，以便进行具体的运算。显然，当坐标算符本征值 r

20、连续变化取遍全空间时，坐标空间的本征矢 r , r 是完备的，因为用它们足以展开任何态矢。 注意这组基矢的编号是连续的。对动量算符本征矢情况类似。于是，对于坐标空间的本征基矢r , r ，以及动量空间的本征基矢p ,p ，有它们的完备性条件r dr r = I和p d pp = I(5.28)两式物理意义很明确： 前者表示，在空间任一点总可以找到粒子；后者表示，不论粒子处在何种状态，总可以对它作动量成份的分解。两个态矢A 和 B 之间的内积也可以具体地写出来。这时有AaiiiBbiii它们的内积为a()db ()dB Abi aj ijb ()a()() d dijbi ai b ( )a(

21、)d(5.29)i这正是三维空间中（取定某个笛卡尔坐标系之后）两个矢量之间标量积的简单推广。根据内积定义的物理解释：B A 为在 A 中发现 B 的概率幅，应当有r AA (r )(5.30a)这是因为，等式左边的含义是在 A 态中找到粒子位于 r 处的概率幅，而这正是等式右边波函数 A ( r) 的含义。同样，由内积解释还可以得到rp =ei p r/(5.30b)(2 )3/2p r =r p-i p r/= e*(5.30c)(2 )3/2这里，指数前面的分数是为了保证此类连续态能够归一化到-函数。以上是关于量子力学第一公设（波函数公设）的另一种表述将系统状态空间中的状态用 Hilber

22、t 空间中 Dirac 符号的态矢表示。这种将量子状态表示作态矢的方法是一种抽象的普适的描述方法。Dirac 符号表示的重点在于量子状态。 至于量子力学的第二公设 算符公设的表述形式 , 可以保留第一章中那样，也可以只抽象地设定各个算符的符号，而不进一步设定算符的表示形式 （例如，动量算p?符就只写成为 ?、坐标算符就为 r 等等）。关于量子力学的第三公设 测量公设，对状态 A 进行力学量的多次测量后所得平均值，现在用 Dirac 符号表示即为A ? A?(5.31a)A A A如果被测态已经归一化，则有?A ? A(5.31b)A注意，(5.31)式只说明它是算符 ? 在态矢 A 中的平均值

23、， 并未规定采用什麽样的基矢来展开，并未说明怎样去作相应的具体计算。关于量子力学的第四公设 Schrodinger方程，用 Dirac 符号表示就是dt?2p?t ,初条件t t 00（5.32）idtV r2m2, Dirac 符号的一些应用在后面用 Dirac 符号作大量具体计算之前，先证明两个广泛使用的态矢等式?irr pr(5.33a)?irp rr这里rr 是 r 坐标中的梯度算符，只负责对其后变数r的函数进行微商。这两个态矢等式的含义是：将第一（第二）个等式作用到任意的右矢（左矢）上，等号恒成立。具体意思见下面证明过程。证：用任一态矢A 右乘第一个等式的左边，得?r p A 。接着

24、，在态矢 A 的前面插入动量表象基矢的完备性条件，利用?ip r32，得r p p p r p p e2?A dpr p Ar p p peip r /= p (2 )3/2 A (p )dpiei p r /A ( p )dp 3 2r'2iA ( r )ir A .rr由于 A 是任意的并且不依赖于变数 r ，可从等式两边除去它。这表明存在如下左矢等式?irr pr证毕。第二个等式其实是第一个等式的厄米共轭， 也可作类似的证明（习题 10）。值得注意的是， 这里等式左边的 p 是量子力学的动量算符，而等式右边的只是对右矢r中本征值 r 的微商运算，不对其它态矢r作用。这从上面运算过

25、程可以清楚地看出。类似地，还有另外两个态矢等式?ipr pp?(5.33b)ipp rp可以插入坐标表象的完备条件进行类似证明（习题11）。3,关于 Dirac 符号的局限性用 Dirac 符号表示的矩阵元A ? B 可以有两种不同的理解：A?BA?B，或A?B如前面所说，这里的左矢 A ? 应理解为右矢 ? A 的厄米共轭。 若 ? 是厄米和幺正这两类算符 (更一般地，只要 ? 是线性算符 )，两种理解结果相同，于是这种含混不会引起问题。 因为， 不论 ? 是厄米还是幺正，都有A? BA ?B? A BB ? AB ( ?A )A ?B从内积两种表示相等( ( A, ?B )( ? A, B

26、 ) )1也可以看出这一点。但是，当 ? 为反线性算符时 (比如时间反演算符? )，这两种理解将导致不同的T结果。这是因为反线性算符 ?不存在通常意义下的厄米共轭算符 ? (参见前面反线性算符的厄米共轭算符定义（ 5.19）式 ) ：?A, B)(A, B) (此式左边关于 B 是反线性的，而右边 (不论 ? 取何形式 )关于 B 都是线性的，所以不论算符取何形式都无法这个等式成立。同样，对一个反线性算符 ?，也有A ? BA ? B因为，左边的内积关于 A 、 B 均为反线性的，而右边的内积关于A 、 B均为线性的。由此可知，必须分辨下面两种情况A ? B和 A?B或者返回到更精密的记号A

27、B， A,BA B(5.34)A , B?§5.3表象的概念1,波函数的标记和分类三维空间 de Broglie平面波需用三个本征值 ( px 、 py 、 pz )来标记分类，若三个中少一个，波函数的标记就不完全，出现对该本征值（量子数）的简并。但这个标记分类的办法并不是唯一的。换一个角度，也可以用另外三个本征值来分类和标记这个解集合中的元素。比如在球坐标下，这个解的集合便由全体自由粒子球面波(球坐标中三维自由方程解的集合，见第四章第四节)所组成，这时用量子数 ( n 、 l 、 m )来1 第二种理解 AB相应于(A, B) 。这是因为A(A )(A )A 。标记和分类。再比如，

28、既可以用量子数 ( nx 、 ny 、 nz )来标记三维各向同性谐振子的全部状态，也可以用量子数 ( n 、 l 、 m )来办到。标记中所用的一组 (与量子数对应的 ) 力学量应当可以同时测量，对应的一组力学量算符必须彼此都能对易，因为它们已经同时各自具有确定的本征值，由上面分析可以说： 任一量子体系的波函数集合总能用相互对易的一组力学量算符的本征值来区分和标记。如果这组算符数目选少了就出现态的分类不彻底，波函数标记不明确的现象，就是说，会出现量子态对（未被选入的）某个力学量本征值的简并。能够对一个量子体系全部状态进行彻底 (不出现简并 )地分类标记的最少数目力学量算符，称为这个量子体系的

29、完备力学量组。为了叙述简明和计算方便，通常选用该体系的守恒力学量作为完备力学量组中各力学量，就是说，常常用好量子数对态进行分类。应当指出，由于力学量的本征值有的连续变化，有的分立变化，因而不同的量子体系，其状态的分类和标记有的是连续的，有的是分立的，有的还是两者兼有。甚至同一量子体系，若从不同的观点对其状态进行分类，也可以有时是分立的有时则是连续的。这要看分类时所选用的算符完备组的性质而定。比如氢原子问题，在束缚态问题也即分立谱的范围内，可以选能量、轨道角动量及其第 3 分量这三个力学量做完备力学量组，对应的好量子数完备集为 nlm ，本征函数族为 nlm (r ) 。如果考虑与自旋有关的效应

30、，还应计入自旋角动量的第 3 分量，否则就会无法进一步区分各种不同的自旋状态。进一步，如果还考虑电离和散射等非束缚态，则还应当包括正能区的连续谱。这时也可以仍然采用上述这种分类将平面波按球面波展开，也可以引入动量矢量和自旋分量的量子数来作区分。此外，如果问题采用力学量 r 的本征值来分类 (同常它不是好量子数 )，则量子态便被标记为关于r 的一系列（平方可积的）连续函数及其线性叠加。这等于直接用波函数来标记状态。显然以上叙述也同样适用于对前面态矢作分类的情况。2,量子力学的表象概念众所周知，在三维空间中，为了描述任一个三维矢量，可以事先选定一组特定的彼此独立线性无关的矢量 ei , i 1,

31、2, 3 作为基矢。这组基矢是三个坐标轴上的三个单位矢量。从此以后，便可以用它们来展开三维空间中任一矢量，也即，任一矢量 A 就可以用它的坐标在这三个基矢上的投影 Ai （等于内积 A ei , ）来表示。通常在三维空间中说，选定了基矢就是选定了坐标系，向某组基矢投影便进入了该坐标系。坐标系有无穷多种取法。于是，三维空间中，同一矢量的表示A 即按这方法会有无穷多种。同一矢量各种表示之间可以相互转换，称为该矢量的坐标变换。不同坐标之间的变换取决于不同基矢组之间的转换。为了计算简单，通常选作基矢的三个矢量总是正交归一的（ ei e jij ）。总体来说，量子系统的情况和三维空间上面的叙述很类似，

32、但量子系统的态矢空间 Hilbert 空间通常是无穷维的，所以它的基矢通常有无穷多个：有时是可数无穷多，有时是连续变化的无穷多，这要看基矢所属力学量算符的性质而定。比如，选定一组基矢为可数无穷的情况，即选定 n , n 0,1,2, 之后，态矢空间中任一态矢组基矢进行展开， 其中展开系数 ann A 是 A 向基矢n 的投影（内积），Aannn 0由于内积可能是复数，所以另一条和三维空间情况不同的是，此时系数 an 可能是复数。由此，态矢A 便可以用这组复系数an 来表示，有时就称它们为该态矢（在这组基矢中）的波函数。而作用于态矢A 并使它变化的各种力学量厄米算符，便成了无穷维厄米矩阵，它们决

33、定着态矢的变化，成为态矢之间的某种映射。对于基矢为不可数无穷的情况，力学量厄米算符将是积分或微分算符的形式，参见下面叙述。每选择一组展开基矢，态空间便有了一种描述方式，就说是选取了一种表象。同时，将一个矢量方程向某组基矢投影，便意味着进入了相应的（由该组基矢所代表的）表象。 比如说，这从下面坐标表象、动量表象的例子可以明白。表象的改变意味着状态空间中基矢的改变。 表象变换是一种幺正变换。选用不同基矢去描述同一体系，得到的全部物理结论都应相同。举个例子便是前面坐标表象到动量表象的幺正变换。这也是下节Wigner 定理普遍结论：“不改变体系任何物理结论的变换 幺正或反幺正变换”的一个特例。同样，为

34、了计算简单，通常选择的基矢都是正交归一的：分立的、可数无穷情况归一为化ij ，连续的、不可数无穷情况归一化为函数。详细见下。和前节叙述相同， 作为基矢显然必须是完备的， 因为要用它们来展开任意的态矢。基矢不完备就不能展开任意的态矢。3,几种常用的表象几种常用的表象是坐标表象、 动量表象和能量表象， 它们分别相应于在状态空间对基矢的不同选取。坐标表象。 这是选取了坐标算符的本征态集合 r , r 作为态矢空间的展开基矢。 于是，如前面所说，取定这组基矢便是取定了坐标表象，任一矢量或矢量方程向这组基矢投影便是进入了这个表象（对于多因子乘积的、复杂一些的方程，在转入坐标表象时，需要在方程所有乘积中间

35、各自独立地插入坐标表象完备性条件）。坐标表象完备性条件见 (5.28)。与此相应，任一态矢A 的展开式就成为如下积分展开的形式，AdrrrAArrdr(5.35a)这些展开系数的集合构成了r 的一个连续函数rAA ( r) 。它们是态矢 A 向坐标表象基矢 r 上的投影坐标（即与左矢 r 内积，见内积定义 (5.23)）。全体坐标就是态矢 A 在坐标表象中的表示，也就是态矢A 的波函数。当然也可以不借助态矢的语言，完全在坐标表象中对应写出这个展开式。办法是将该式向坐标表象基矢r 投影，成为A rA r r r drA r r r dr(5.35b)此式完全使用坐标表象的波函数语言解释了上面展开

36、式。于是，第一章中说A ( r ) 是系统处在这样一个状态上，粒子坐标取r 的概率幅为A ( r ) ；现在有了等价的说法。可以将态矢形式 Schrodinger 方程 (5.32)式向坐标表象投影。为此注意，坐标表象的基矢不随时间变化，以及（ 5.33a）式，于是r i( t)r(t )i( r , t )it?2tt(5.36)p?( t )1( i)2V ( r )r ( t )r (V (r )2m2mr 1 ( i) 2V ( r ) ( r , t )2mr就得到以前的 Schrodinger 方程在坐标表象中的Schrodinger 波动方程。另外，在坐标表象中也可对任意矩阵元进

37、行计算。例如，对动量算符在坐标表象中的矩阵元，利用（ 5.33a）式，有?222rpir rr r(5.37)r2mr2m再比如，动能算符在两个任意态矢之间的矩阵元，在坐标表象中的计算办法是：在适当地方插入坐表表象的完备性条件这样做的实质即是将各个量均向坐标表象投影。如下：?2?2ApA r rpB dr drBr r2m2m2A ( r )( rr ) B (r )dr dr2m2A ( r ) ( rr )B (r ) dr dr2m2(5.38)A (r )() B ( r )dr?22mB 的具体解释。推导中第三步等号利用这就是在坐标表象里对 A p2m了两次分部积分和 A （或 B

38、）的束缚态边条件。动量表象。 这是选取了动量算符的本征态集合p , p 作为态矢空间的展开基矢。 任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入动量表象完备性条件，如同坐标表象中那样），便进入了动量表象。由于动量算符本征值 p 也是连续变化的，动量基矢编号也就是连续的，完备性条件见 (5.28)。而任一态矢 A 在动量表象的展开式为AdpppAApp dp(5.39a)这时，展开系数集合构成变数p 的一个连续函数p AA ( p ) 。在这个表象中，态矢A 便可以用它的坐标集合，即函数A ( p ) 来表示（有时称为动量波函数 )。同样地，也可以放弃态矢展开语言，完全在坐标表象中将

39、此展开式对应地写出来。办法是将这个矢量表达式向坐标表象基矢 r 投影，写成ip re（5.39b）A rA p3 dp22此式只使用坐标表象的波函数语言解释了 (5.39a)式：将任意态的波函数用动量本征态的波函数展开，得到的系数集合便是该态的动量波函数。也可以将 (5.39a)在动量表象中写出来。办法还是：将该式向动量表象基矢 p 投影。可得A pAp pp dp(5.39c)此式使用动量表象的语言表述了(5.39a)式。也可以写出动量表象中的(5.32)式，办法是将它向动量表象基矢投影。注意，动量表象基矢不随时间变化以及(5.33b)式，于是可得tptp, tp iiit?2tt?2p2p

40、pVip tV ip,tpV rt2m2mp2mp即p,tp2V ip, t(5.40)it2mp这就是动量表象中的Schrodinger方程，方程的自变数为（p,t）。由于势能 V的函数形式（通常比动能T ）复杂，算符 Vi通常很复杂，p除概念分析外，实际计算中动量表象远没有坐标表象有用。另外，在动量表象中也可对任意矩阵元进行计算。例如，对动量算符在动量表象中的矩阵元，利用（ 5.29）式，有?2p2p2pp p(5.41)ppp p2m2m2m(5.37)式一般矩阵元，也可知，动量算符在自己的表象中是对角的。对可以类似于坐标表象中的做法，通过插入动量表象完备条件，转入动量表象来表述。这里省

41、略。能量表象。此表象取一组分立的能量定态， 包括相互对易的三个算符（ H 、 L2 和 Lz ）的共同本征态nlm , nlm 作为展开基矢。 由于此时基矢编号 ( nlm )通常是分立的，所以完备性条件为nlmnlmnlm I（5.42）任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入能量表象基矢完备性条件） ，便进入了能量表象。任一态矢A 向此表象基矢投影的坐标集合是如下展式中一组系数Anlm nlmA ，AnlmAnlm nlm(5.43a)这组系数 Anlm 就是态矢 A 在能量表象中的表示，是态矢A 在能量表象中的“波函数”。可以在坐标表象中将 (5.43a)式重写出来，即将 (5.43a)式向坐标表象投影，得A ( r )An l m n l ( r )（5.